本文提出了两种基于帧小波的反褶积算法。基于framelet的方法的基本思想是通过[26]的酉扩张原理，构造一个framelet系统，其中一个掩码是给定的（离散）卷积核，将反卷积问题转换为帧域中的修复问题，如[6,9]所介绍的。第一种算法统一了我们以前在高分辨率图像重建和红外截点图像恢复方面的工作，第二种算法是我们以前基于帧的反褶积算法和[14，16]给出的迭代阈值算法的组合。采用近端前向-后向分裂（PFBS）方法，给出了算法在无限维环境下的强收敛性。因此，它统一了无限维和有限维设置的迭代算法，并简化了[6]算法的收敛性证明。

我们比较了具有最低阶有限元离散化的泊松问题的13种不同的后验误差估计。基于残差的误差估计量与广泛的平均估计量和基于局部问题的估计量竞争。在我们的五个基准问题中，我们还研究了两个具有不连续各向同性扩散的示例及其对估计器性能的影响。（由DFG研究中心MATHEON提供支持。）

本文发展了两种协调有限元方法来求解四阶双波方程，该方程是一个简化的Ginzburg-Landau型模型，用于在没有外加磁场的情况下计算$d$波超导体。与双调和算子$\Delta^2不同，双波算子$\Box^2不是椭圆算子，因此双波方程的能量空间比双调和方程的能量空间大得多。这使得为双波方程构造低阶协调有限元成为可能。然而，这种有限元的存在和构造强烈依赖于网格。在本文中，我们首先描述了允许和不允许构造低阶协调有限元来逼近双波方程的网格条件。然后构造一个三次和四次协调有限元。证明了这两个元素都具有期望的逼近性质，并给出了能量范数下的最优阶误差估计，以及$H^1$和$L^2$范数下次优（在某些情况下为最优）阶误差估计。最后，通过数值实验验证了所提出的有限元方法的有效性，并验证了理论误差界。

在磁共振弹性成像中，人们试图通过测量全身的位移场来重建剪切模量。在本文中，我们提出了一种优化方法，通过简单地最小化一个差异泛函来解决这个问题。为了恢复均匀介质中的复杂异常，我们首先观察到波场中包含的信息应分解为两部分，即异常周围区域的“近场”部分和远离异常区域的“远场”部分。理论上和数值上都可以证明，分离这些尺度可以提供局部和精确的重建。

研究了一种基于无限脉冲响应（IIR）模型的卷积混合声源信号分离的时域去相关方法。IIR模型使用较少的参数来捕捉物理混合过程，对于寻找低维分离溶液很有用。我们提出了用于解相关混合信号的反演公式，并推导了包含混合信号二阶时滞统计量的滤波方程。然后，我们提出了一个$l_1$约束极小化问题，并用迭代方法进行了求解。对录制的混音进行的数值实验表明，我们的方法能够在低维参数空间中进行声音分离，与已知的infomax方法相比，具有良好的感知质量和较低的相关系数。

我们考虑用有限元方法逼近反应扩散方程组。每个方程中的最高导数乘以一个参数$\varepsilon\in（0,1]$，作为$\varεsilon\rightarrow 0$，系统的解将包含边界层。我们从[Melenk，IMA J.Numer.Anal.17（1997），第577-601]扩展了相应标量问题的分析，构造一个有限元格式，其中包括边界附近大小为$\mathcal{O}（\varepsilon p）$的元素，其中$p$是近似多项式的次数。我们表明，在分析输入数据的假设下，当误差在与问题相关的能量范数中测量时，该方法产生指数收敛率，与$varepsilon$无关。文中还给出了支持该理论的数值计算，结果表明，当使用最大范数误差时，该方法可以获得稳健的指数收敛速度。

我们提出了一种新的迭代重建算法来改进单光子发射计算层析成像的代数重建技术（ART）。我们的方法是求解线性方程组的Kaczmarz迭代算法的推广，并在算法的每一步引入了由衰减Radon变换算子导出的精确和隐式衰减校正。在强非均匀衰减和不完全测量数据存在的情况下，通过各种数值实验测试了该算法的性能。我们还测试了算法处理中等噪声数据的能力。仿真研究表明，该方法与ART相比，重建图像的质量有了显著提高。此外，在算法中加入滤波过程后，在面对噪声数据的情况下，收敛速度得到了提高，稳定性得到了提高。

我们提出并分析了一维情况下具有不连续系数的模型特征值问题的$C^0$谱元方法。证明了分段常系数情形的超几何收敛速度，并通过数值试验进行了验证。此外，对于简化模型，建立了高斯-洛巴托配置方法和谱Galerkin方法之间的渐近等价性。