本文研究了粘塑性（Herschel-Bulkley）流体自由表面流动的数值模拟方法。该方法基于用于捕捉自由曲面演化的水平集方法，以及用于流体和水平集方程离散化的局部细化和动态调整的八叉树笛卡尔交错网格。采用正则化模型处理本构关系的不可微性。我们考虑在交错网格上对牛顿流动方程的稳定近似进行扩展，以便在自由边界演化和网格动态细化或粗化的情况下近似粘塑性模型和水平方程。该数值方法首先针对牛顿情况进行了验证。在这种情况下，当网格细化时，观察到数值解与实验数据的收敛性。我们进一步计算了几个三维粘塑性Herschel-Bulkley流体在倾斜平面上的溃坝问题。数值解与实验研究进行了定性比较。通过计算自由振荡的粘塑性液滴给出了另一个数值例子，其中流体的运动由表面张力驱动。综合考虑的技术和算法（level-set方法、动态自适应八叉树笛卡尔网格上的紧凑离散化、正则化和表面张力近似），可以有效地在可能复杂的三维几何体中建模粘塑性自由表面流动。

本文使用三种版本的WENO格式WENO-JS、WENO-M和WENO-Z进行一维爆轰波模拟，并基于五阶特征进行空间通量重构。给出了以ZND解析解为初始条件求解双曲守恒律方程组的数值格式。对一维稳态和非稳态爆轰波进行了数值模拟。在超速系数$f=1.8$的稳定情况下，由WENO-JS和WENO-Z计算的爆轰波阵面峰值压力的时间历程达到理论稳态。相比之下，由WENO-M格式计算的峰值压力时间历程未能达到理论稳态，并在理论稳态附近振荡。在具有过驱动因子$f＝1.6$和$f＝1.3$的不稳定情况下，随着分辨率（定义为每一半反应区长度的网格点数量）的增加，所有WENO方案的结果彼此一致。此外，对于过驱动因子$f=1.6$，网格收敛研究表明，高阶WENO格式在达到预测峰值压力方面比其他现有的低阶格式（如非分裂格式、带minmod限制器的Roe解算器和带superbee限制器的Roe解算器）收敛得更快。对于超速因子$f=1.3$，峰值压力的时间历程显示出越来越混乱的行为，即使在高分辨率下也是如此。在超速系数$f=1.1$的情况下，根据理论研究，发生爆炸，导致爆炸的不同WENO方案出现的时间略有不同。

在早期方法中，具有多重平移温度的动力学模型[K.Xu，H.Liu和J.Jiang，Phys.Fluids19，016101（2007）]，以模拟非平衡流。在本文中，我们没有使用$x$、$y$和$z$-方向上的三个温度，而是将平动温度定义为二阶对称张量。在新的框架下，将明确指出温度张量和压力张量之间的差异。基于多级BGK型碰撞模型和Chapman-Enskog展开，导出了三维空间中相应的宏观气体动力学方程。零阶展开给出了与Levermore相似的10力矩闭合方程[C.D.Levermole，J.Stat.Phys]83第1021页（1996）]。导出的气体动力学方程可以看作是一阶展开中10个矩方程的正则化。新的气体动力学方程与Navier-Stokes方程具有相同的结构，但Navier-Stokes方程中的应力-应变关系被带温差的代数方程所取代。与此同时，在勒弗莫尔的10分钟闭合过程中没有的热流恢复了。因此，粘性项和热传导项在单一各向异性温度概念下统一。在连续流动状态下，新的气体动力学方程自动恢复标准的Navier-Stokes方程。我们的气体动力学方程是Navier-Stokes方程到近连续流动状态的自然扩展，可以用于微流计算。两个例子，即在过渡流区中的力驱动Poiseuille流和Couette流，用于验证模型。给出了分析和数值结果。理论上，玻尔兹曼方程也可以应用于当前的多阶段气体演化模型，以导出近连续流动状态下的广义宏观控制方程。在Chapman-Enskog方法中，不使用Maxwellian作为膨胀点，也可以使用多重温度高斯作为膨胀点。

我们将理想气体的传统动力学方案推广到带有多组分硬化气体状态方程的欧拉方程。在仔细分析传统动力学方案在接触不连续面上的振荡机制的基础上，我们提出了一种新的多组分硬化气体的非振荡动力学（NOK）方案。构造的基本思想是使用通量分裂技术构造不依赖于平衡态具体形式的数值通量。新方案不仅可以避免传统动力学方案（如动能通量矢量分裂（KFVS）和BGK方案）中观察到的材料界面附近压力和速度的虚假振荡，而且可以处理加筋气体状态方程。此外，我们还对NOK格式的一致性条件、截断误差和正性进行了仔细的分析。通过一系列一维和二维数值试验，证明了新格式在模拟光滑、弱、强激波区问题时的准确性和鲁棒性。

基于双线性有限元的渐近展开，提出了一种新的外推公式和外推级联多重网格法（EXCMG）。所提方法的关键成分是一些新的外推和二次插值，用于在精细网格上提供更好的初始值。在三重网格的情况下，详细分析了新初始值的误差。数值实验表明，EXCMG具有较高的精度和效率。

利用一些恒等式，提出了求解具有弱奇异核的Volterra或Fredholm积分方程及其相应的积分微分方程的谱配置方法。对于一类在有界区域上满足一定正则性条件的函数，我们得到了这两类方程的几何或超几何收敛速度。数值结果证实了我们的理论分析。