本文提出了一种基于Nédélec有限元空间的间断Galerkin（DG）方法，用于求解三维有界Lipschitz多面体上磁流体动力学模型产生的四阶旋度方程。我们证明了该方法对一个涉及四阶卷曲算子的模型问题具有最优误差估计。此外，给出了一些二维数值结果来验证理论结果。

本文研究三维混合非均匀边值问题的谱方法。在Jacobi加权Sobolev空间中建立了三维勒让德近似的一些结果，改进和推广了现有结果，并在偏微分方程的数值解中发挥了重要作用。我们还开发了一种提升技术，使用该技术可以轻松处理混合非均匀边界条件。作为应用实例，给出了三个具有混合非均匀边界条件的模型问题的谱格式。证明了所提算法的空间谱精度。给出了有效的实现。数值结果表明其具有较高的精度，并很好地验证了理论分析。

我们考虑标量波的逆散射问题。我们分析了逆Born级数的收敛性，并研究了它在二维和三维球对称介质的数值模拟中的应用。

针对Stokes方程，我们在矩形网格上构造了一种新的稳定有限体积方法。该方法采用最低等阶协调有限元对（分段双线性速度和压力）以及速度和压力的分段常数测试空间。我们证明了该方法的稳定性，并证明了速度在$H^1$范数和压力在$L^2$范数下的第一最优收敛速度。此外，还导出了速度在$L^2$范数下的二阶最优误差估计。包括对理论结果的数值实验。

本文提出了一种带误差控制的自适应有限元方法，用于求解不连续系数弹性问题。方法中的网格不需要适合接口。我们建立了一个基于残差的后验误差估计，它是与$λ$无关的乘法常数；拉美常数$λ$控制不可压缩性。然后对误差估计进行了实现和测试，得到了有希望的数值结果，这些结果将显示自适应算法的竞争行为。

本文研究具有不确定输运速度的标量输运方程的初边值问题。我们在早期的工作中已经证明，随机空间（或参数空间）中精确解的正则性可以由给定的数据确定。反过来，这些正则性结果对高阶数值方法的收敛性分析至关重要。在这项工作中，我们将证明随机Galerkin和配置方法在一些正则性结果或假设下的谱收敛性。由于我们的主要目标是研究随机空间中离散化引入的误差，因此将忽略求解相应确定性问题的误差。

研究了二维平面界面准连续介质方法中虚力引起的误差。对于一个特殊情况，我们推导了误差的解析表达式，并利用该表达式证明了虚力可能导致解的梯度出现有限大小的误差。对误差的逐点估计表明，误差从代数上远离界面衰减，这比一维问题的速度慢得多，因为一维问题的误差从界面以指数形式衰减。