本文的初步分析给出了泊松模型问题中最低阶Courant、Crouzeix-Raviart非协调和Raviart-Tomas混合有限元方法先验误差估计中常数的显式表达式。这三个常数及其对三角剖分中某些最大角度的依赖性实际上都是可比较的，并允许进行精确的先验误差控制。

从数值的角度讨论了一个发散度为$L^2$的$L^∞$有界二维向量场的求解问题。找到这样一个向量场的系统方法是引入一个涉及$L^∞的非光滑变分问题$-规范。为了从变分法中解决这个问题，我们使用了一种依赖于精心选择的增广拉格朗日泛函和混合有限元近似的方法。Uzawa算法允许将微分算子与$L^∞引入的非线性解耦$-范数，并导致求解一系列Stokes-like系统和无限族局部非线性问题。还考虑了一种基于$L^2$-正则化的更简单方法。在考虑非光滑数据时，利用适当的数值积分技术进行了数值实验；它们可以比较本文中讨论的两种方法的优点，并显示相关方法捕获$L^∞的能力$-有界解。

本文提出了一种计算层状非均匀介质中二维亥姆霍兹方程的裁剪有限元方法。该方法的基本思想是基于亥姆霍兹方程解的局部近似构造一个数值格式。这提供了一种计算工具，即使对于大波数（高频），也可以使用粗网格实现高精度。并证明了该方法的稳定性分析和误差估计。我们给出了几个数值结果，以证明其效率和准确性。

我们考虑了超曲面$\mathbb{R}^n$中$n$=2,3上椭圆偏微分方程的最优控制问题。PDE的前导部分由Laplace-Beltrami算子给出，该算子在$Γ$的多面体近似下由有限元离散。离散最优控制问题在近似曲面上表示，并用数值方法求解半光滑牛顿算法。我们导出了问题的最优先验误差估计包括控制约束，并提供数值示例来验证我们的分析调查结果。

本文研究了非厄米特正定矩阵的广义预条件厄米特和偏赫米特分裂（GPHSS）迭代方法，该方法包括标准厄米特分裂和偏赫米特分裂（HSS）的迭代以及许多现有的变体。理论分析给出了迭代矩阵谱半径的上界。从实用的角度出发，我们分析并实现了不精确的广义预处理厄米特和偏厄米特分裂（IGPHSS）迭代，该迭代采用Krylov子空间方法作为其内部过程。三维对流扩散方程的数值实验表明，GPHSS和IGPHSS迭代是有效的，与标准HSS迭代和AHSS迭代相比具有竞争力。

我们提出了一种新的反向热传导问题的重建方案。通过使用特征函数展开，这个不适定问题由一个优化问题来解决，该优化问题本质上是一个对噪声输入数据的正则化方案，其截断项数量和最终数据的逼近精度都是多个正则化参数。给出了基于正则化参数选择策略和特征函数计算精度的收敛速度分析。数值实现表明了该新方案的有效性。

描述并测试了平面单连通域内部拉普拉斯方程的鲁棒通用解算器。解算器处理一般分段光滑域和Dirichlet、Neumann和Robin边界条件。它基于问题的积分方程公式。由于边界条件和角点、尖点或边界非光滑的其他示例的变化而产生的困难，使用一种称为递归压缩逆预处理的最新技术进行处理。其结果是一个快速且非常精确的求解器，在范围上是通用的，其性能通过一些具有挑战性的数值测试得到了证明。