在本文中，我们研究了使用超弱变分公式来解决近场光学中的波散射问题。为了捕捉波的亚尺度特征，我们利用倏逝波函数和平面波函数来近似场的局部特性。我们分析了该方法的全局收敛性并给出了误差估计。数值算例也证明了该策略的有效性。

流动问题的数值解通常需要有界区域，尽管物理问题可能发生在无界或更大的区域中。在这种情况下，人工边界是必要的。有限元离散的Navier-Stokes方程的一个建立良好的人工边界条件是“do-nothing”条件。原因是，在粘性项和压力梯度部分积分后，此条件自动出现在变分公式中。该条件是Navier-Stokes最确定的流出条件之一，但对该边界条件的分析了解很少。我们研究具有“方向do-nothing”条件的Navier-Stokes方程弱解的存在性和稳定性问题。与通常的“do-nothing”条件不同，此边界条件具有增强的稳定性。在纯流出的情况下，条件与原始条件相等，而在流入的情况下，出现耗散效应。通过对定常流和非定常流的计算，我们证明了弱解的存在性，并说明了这种边界条件的影响。

针对二维或三维对流-扩散-反应方程的低阶Raviart-Tomas混合有限元离散，提出了一种新的残差型后验误差分析方法。考虑了中心混合格式和迎风加权混合格式。对于在$L^2$-范数下的应力变量误差和标量位移误差导出的后验误差估计量，可以直接用混合格式的解计算，而不需要任何额外的费用，并且证明是可靠的。在没有任何饱和假设的情况下，获得了依赖于系数局部变化的局部效率，并且适用于对流或反应主导问题不存在对流或反应的情况。分析的主要工具是标量位移的后处理近似、抽象误差估计和修正Oswald插值的性质。进行了数值实验以支持我们的理论结果，并显示了所提出的后验误差估计的竞争行为。

针对一类非线性互补问题（NCP），提出并分析了一种新的Schwarz方法，称为限制加性Schwarz法（RAS）。利用加权最大范数证明了该方法的收敛性。此外，还考虑了重叠对RAS的影响。报告了一些初步的数值结果，以比较RAS和其他已知NCP方法的性能。

本文将界面问题和Neumann椭圆边值问题转化为具有自共轭正定算子的线性算子方程。我们证明了在离散层中，这些算子的条件数与网格大小无关。因此，给定给定的误差容限，经典共轭梯度算法在固定的迭代次数内收敛。每次迭代的主要计算任务是求解矩形域中的Dirichlet-Poisson边值问题，该边值问题可以使用快速泊松解算器进行求解。总体计算复杂性本质上是线性缩放。

本文研究了变声速光声层析成像中的伴随方程，并提出了三种变分迭代算法。这些算法的基本思想是迭代计算原始方程和伴随方程。我们给出了数值例子，并展示了这些变分迭代算法的良好性能。