搜索： 编号：a001791
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A001791号
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| a（n）=二项式系数C（2n，n-1）。
（原名M3500 N1421）
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+0
132
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0, 1, 4, 15, 56, 210, 792, 3003, 11440, 43758, 167960, 646646, 2496144, 9657700, 37442160, 145422675, 565722720, 2203961430, 8597496600, 33578000610, 131282408400, 513791607420, 2012616400080, 7890371113950, 30957699535776, 121548660036300, 477551179875952
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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半长度n+1的所有Dyck路径中偶数级的峰值数。例如：a（2）=4，因为UDUD、UDUU*DD、UU*DDUD、UU*DU*DD和UUUDDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1），偶数级的峰值用*表示-Emeric Deutsch公司2003年12月5日
半长度n+1的所有Dyck路径中的长上升次数（即长度至少为两次的上升）。例如：a（2）=4，因为在半长为3的五条Dyck路径中，即UDUDUD、UD（UU）DD、（UU）DDUD、（U）DUDD和（UUU）DDD，我们有四个长上升（显示在括号之间）。这里U=（1,1）和D=（1，-1）。此外，在所有具有n+1条边的有序树中，分支节点的数量（即至少有两个超度数的顶点）-Emeric Deutsch公司2004年2月22日
从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），它们接触或穿过线x-y=1。示例：对于n=2，这些是路径EENN、ENEN、ENNE和NEEN-赫伯特·科西姆巴2004年5月23日
从偏移量1开始=与卷积的加泰罗尼亚序列开始（1、2、5、14…）A000984号: (1, 2, 6, 20, ...). -加里·亚当森2009年5月17日
所有Dyck n路径中的峰值数加上谷数-大卫·斯卡布勒2012年10月8日
显然，在半长n+2的所有Dyck路径中都计算了UDDUD-大卫·斯卡布勒2013年4月22日
显然，在半长度n+1的所有Dyck路径中，严格位于中点左侧的峰值数-大卫·斯卡布勒2013年4月30日
对于n>0，如果允许零作为部分（所谓的“弱”组合），则a（n）是n到最多n个部分的组合数-L.埃德森·杰弗里2014年7月24日
半平面中的路径数x>=0，从（0,0）到（2n，2），由步骤U=（1,1）和D=（1，-1）组成。例如，对于n=2，我们有4条路径：UUUD、UUDU、UDUU、DUUU-何塞·路易斯·拉米雷斯2015年4月19日
对于n>1，1/a（n）是当一根棍子在沿其长度独立且均匀地随机选择的n个点处断裂时，n+1块的任何三重块可以形成三角形的概率。至少存在一个三元组的相应概率为A339392型（n）/A339393型（n） ●●●●-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
a（n）是从步骤集{U＝（1，1），D＝（1，-1）}中提取的2n个步骤的晶格路径的数量，这些步骤从原点开始，从不低于x轴，并且严格在x轴上方结束；更简洁地说，Dyck路径的适当左因子。例如，a（2）=4表示UUUU、UUUD、UUDU、UDUU-大卫·卡兰和Emeric Deutsch公司2021年1月25日
此外，2n+1与交替和-1的整数组合数，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和是sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（1）=1到a（3）=15的组合是：
(1,2) (2,3) (3,4)
（1,3,1）（1,4,2）
(1,1,1,2) (2,4,1)
(1,2,1,1) (1,1,2,3)
(1,2,2,2)
(1,3,2,1)
(2,1,1,3)
(2,2,1,2)
(2,3,1,1)
(1,1,1,3,1)
（1,2,1,2,1）
(1,3,1,1,1)
(1,1,1,1,1,2)
(1,1,1,2,1,1)
(1,2,1,1,1,1)
以下与这些组合物相关。
等价地，a（n）计算2n+1位的二进制数，比1多一个0。例如，a（2）=4个二进制数是：10001、10010、10100、11000。
（结束）
方阵n×n矩阵的对角线，其中第一行的单元格是非负整数，而后续行的单元格则是前一行直至n（包括n）的单元格之和-托拉赫·拉什2024年4月24日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第828页。
科尼利厄斯·兰佐斯（Cornelius Lanczos），《应用分析》（Applied Analysis），普伦蒂斯·霍尔（Prentice-Hall），新泽西州恩格尔伍德克利夫斯（Englewood Cliffs），1956年，第517页。
R.C.Mullin、E.Nemeth和P.J.Schellenberg，《几乎立方地图的计数》，第281-295页，《路易斯安那州组合数学、图论和计算机科学会议论文集》。第1卷，编辑R.C.Mullin等人，1970年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
安瓦尔·加布拉（Anwar Al Ghabra）、K.Gopala Krishna、Patrick Labele和Vasilia Shramchenko，多根平面树的计数，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，置换的纯下降统计量《离散数学》，第340卷，第10期（2017年），第2550-2558页；预印本, 2016.
A.Ivanyi、L.Lucz、T.Matuszka和S.Pirzada，简单图度序列的并行计数《科学院学报》，Informatica，4，2（2012）260-288。
Milan Janjic和Boris Petkovic，计数函数，arXiv预印本arXiv:1301.4550[math.CO]，2013。
克里斯蒂安·克拉蒂海尔（Christian Kreattehaler）和丹尼尔·雅库比（Daniel Yaqubi），路径生成函数的一些行列式，II《应用数学进展》，第101卷（2018年），第232-265页；arXiv预印本，arXiv:1802.05990[math.CO]，2018年。
科尼利厄斯·兰佐斯，应用分析.（选定页面的注释扫描）
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配方奶粉
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G.f.:x*（d/dx）c（x），其中c（x）=加泰罗尼亚G.f-沃尔夫迪特·朗
例如：exp（2x）I_1（2x），其中I_1是贝塞尔函数-迈克尔·索莫斯，2002年9月8日
a（n）=和{k=0..n}C（n，k）*C（n、k+1）-保罗·巴里2003年5月15日
a（n）=和{i=1..n}二项式（i+n-1，n）。
a（n）=（1/（2*Pi））*Integral_{x=0..4}（x^n*（x-2）/sqrt（x（4-x）））是力矩序列表示-保罗·巴里2007年1月11日
递归D-有限：（n-1）*（n+1）*a（n）=2*n*（2n-1）*a-R.J.马塔尔2011年12月17日
G.f.：-1/（2*x）-G（0），其中G（k）=1-1/（2*x-8*x^3*（2*k+1）/（4*x^2*（2xk+1）-（k+1）/G（k+1；（连分式，第3类，3步）；
例如：BesselI（1,2*x）*exp（2*x；（连分数，第3类，3步）。
（结束）
G.f.:x*2F1（3/2,2；3；4x）-R.J.马塔尔2015年8月9日
a（n）=和{i=1..n}二项式（2*i-2，i-1）*二项式（2*（n-i+1），n-i+2）/（n-i+1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年9月7日
L.g.f.：1/（1-x/（1-x/（1-x/（1-x/（1-x/（1-…））））））=Sum_｛n>=1｝a（n）*x^n/n-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月10日
求和{n>=1}1/a（n）=1/3+5*Pi/（9*sqrt（3））-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月4日
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=1/5+14*sqrt（5）*log（phi）/25，其中log（φ）=A002390美元. -阿米拉姆·埃尔达尔2021年2月20日
a（n）=产品{i=1..（n-1）}（（（4*i+6）*i+2）/（（i+2-内文·萨伊科2021年10月10日
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数学
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表[二项式[2n，n-1]，{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2012年7月12日*）
系数列表[系列[（1-2x-Sqrt[1-4x]）/（2x*Sqrt[1-4x]），{x，0，26}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年8月10日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，0，（2*n）/（n+1）/（n-1）！）
（岩浆）[二项式（2*n，n-1）:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2015年4月20日
（GAP）列表（[0..30]，n->二项式（2*n，n-1））#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月9日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000070型,A000302号,A000346号,A002054号,A008549号,A032443号,A088218号,A097805号,A163493号,A202736型,A345910型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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