%I M3500 N1421#262 2024年2月29日23:08:21

%S 0,1,4,15,56210792300144043758167960646624961449657700，

%电话：37442160145422675565722720220396143085974966003357800610，

%电话：131282408400513791607420201261640008078903711139503095769953576115486600363004775151179875952

%N a（N）=二项式系数C（2n，N-1）。

%C在半长度n+1的所有Dyck路径中处于偶数水平的峰值的数目。示例：a（2）=4，因为UDUD、UDUU*DD、UU*DDUD、UU*DU*DD和UUUDDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1），偶数级的峰值用*.-表示_Emeric Deutsch，2003年12月5日

%C另外，在半长n+1的所有Dyck路径中的长爬坡数（即长度至少为两个的爬坡）。例如：a（2）=4，因为在半长为3的五条Dyck路径中，即UDUDUD、UD（UU）DD、（UU）DDUD、（U）DUDD和（UUU）DDD，我们有四个长上升（显示在括号之间）。这里U=（1,1）和D=（1，-1）。此外，具有n+1条边的所有有序树中的分支节点数（即至少两个超度数的顶点）_Emeric Deutsch，2004年2月22日

%C从（0,0）到（n，n）的晶格路径数，步骤E=（1,0）和n=（0,1），接触或穿过线x-y=1。示例：对于n=2，这些是路径EENN、ENEN、ENNE和NEEN。-_Herbert Kociemba，2004年5月23日

%[1,3,5,7,9，…]=（1,4,15,56,210，…）的C Narayana变换（A001263）。三角形A136534和A136536的行和_Gary W.Adamson_，2008年1月4日

%C起始偏移量1=加泰罗尼亚序列起始（1，2，5，14，…）与A000984卷积：（1，2,6，20，…）。-_Gary W.Adamson_，2009年5月17日

%C所有Dyck n路径中的峰值数加上谷数_David Scambler_，2012年10月8日

%C显然在半长n+2的所有Dyck路径中都计算了UDDUD_David Scambler_，2013年4月22日

%显然，在半长n+1的所有Dyck路径中点的严格左侧的峰值数_David Scambler_，2013年4月30日

%C对于n>0，a（n）是n的组成数，如果允许零作为部分（所谓的“弱”组成），则最多为n个部分_L.Edson Jeffery_，2014年7月24日

%C半平面中的路径数x>=0，从（0,0）到（2n，2），由步骤U=（1,1）和D=（1，-1）组成。例如，对于n=2，我们有4条路径：UUUD、UUDU、UDUU、DUUU_何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯，2015年4月19日

%C对于n>1，1/a（n）是当一根棍子在沿其长度独立且均匀地随机选择的n个点处断裂时，n+1块的任意三重块可以形成三角形的概率。至少存在一个三元组的相应概率为A339392（n）/A339393（n）_Amiram Eldar，2020年12月4日

%C a（n）是步长集合{U=（1,1），D=（1，-1）}中2n个步长的晶格路径数，这些步长从原点开始，从不低于x轴，严格高于x轴结束；更简洁地说，Dyck路径的适当左因子。例如，a（2）=4表示UUUU、UUUD、UUDU、UDUU_David Callan和Enmeric Deutsch，2021年1月25日

%C来自Gus Wiseman_，2021年7月21日：（开始）

%C还有2n+1与交替和-1的整数组合数，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和是sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（1）=1到a（3）=15的组合是：

%C（1,2）（2,3）（3,4）

%C（1,3,1）（1,4,2）

%C（1,1,1,2）（2,4,1）

%C（1,2,1,1）（1,1,2,3）

%C（1,2,2,2）

%C（1,3,2,1）

%C（2,1,1,3）

%C（2,2,1,2）

%C（2,3,1,1）

%C（1,1,1,3,1）

%C（1,2,1,2,1）

%C（1,3,1,1）

%C（1,1,1,1,1，2）

%C（1,1,2,1,1）

%C（1,2,1,1,1,1）

%C以下与这些成分有关。

%C-无序版本为A000070。

%C-允许任何负交替和产生A000046。

%C-相反（正1）版本为A000984。

%C-反向交替求和的版本也是A001791（此序列）。

%C-取交替求和-2而不是-1得出A002054。

%C-交替和0的移位版本由A088218计数，并由A344619排名。

%C-排名由A345910（背面：A345912）。

%C等价地，a（n）计算2n+1位的二进制数，1比1多0。例如，a（2）=4个二进制数是：10001、10010、10100、11000。

%C（结束）

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%F a（n）=n*A000108（n）。

%F G.F.:x*（d/dx）c（x）其中c（x_

%A001700（奇阶中心二项式）和A000108（加泰罗尼亚语）的F卷积：a（n+1）=Sum_{k=0..n}C（k）*二项式（2*（n-k）+1，n-k），C（k_沃尔夫迪特·朗_

%F例如：exp（2x）I_1（2x），其中I_1是贝塞尔函数_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2002年9月8日

%Fa（n）=Sum_{k=0..n}C（n，k）*C（n，k+1）.-_保罗·巴里，2003年5月15日

%F a（n）=和{i=1..n}二项式（i+n-1，n）。

%固定资产：（1-2x平方（1-4x））/（2x*sqrt（1-4x））_Emeric Deutsch，2003年12月5日

%F a（n）=A092956/（n！）.-_Amarnath Murthy，2004年6月16日

%F a（n）=二项式（2n，n）-A000108（n）.-_Paul Barry_，2005年4月21日

%F a（n）=（1/（2*Pi））*Integral_{x=0..4}（x^n*（x-2）/sqrt（x（4-x）））是力矩序列表示_Paul Barry，2007年1月11日

%F从（1、4、15、56、210…）开始的三角形A132812的行和_Gary W.Adamson_，2007年9月1日

%F起始（1，4，15，56，210，…）给出了A025566起始（1、3，8，22，61，171，…）的二项式变换_Gary W.Adamson_，2007年9月1日

%F对于n>=1，a（2^n）=2^（n+1）*A001795（2^（n-1））_Vladimir Shevelev，2010年9月5日

%具有递归的F D-有限：（n-1）*（n+1）*a（n）=2*n*（2n-1）*a_R.J.Mathar，2011年12月17日

%F From _Sergei N.Gladkovskii，2012年7月7日：（开始）

%F G.F:-1/（2*x）-G（0），其中G（k）=1-1/（2*x-8*x ^3*（2*k+1）/（4*x ^2*（2*k+1）-（k+1）/G（k+1；（连分式，第3类，3步）；

%例如：BesselI（1,2*x）*exp（2*x；（连续分数，第3类，3步）。

%F（结束）

%F G.F.：c（x）^3/（2-c（x_Cheyne Homberger，2014年5月5日

%F G.F.：z*C（z）^2/（1-2*z*C_何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯，2015年4月19日

%光纤：x*2F1（3/2,2；3；4x）_R.J.Mathar，2015年8月9日

%F a（n）=和{i=1..n}二项式（2*i-2，i-1）*二项式_Vladimir Kruchinin，2015年9月7日

%F L.g.F:1/（1-x/（1-x/（1-x/（1-x2/（1-x1/（1-…））））=Sum_{n>=1}a（n）*x^n/n.-Ilya Gutkovskiy_，2017年5月10日

%F和{n>=1}1/a（n）=1/3+5*Pi/（9*sqrt（3））_Amiram Eldar，2020年12月4日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=1/5+14*sqrt（5）*log（phi）/25，其中log（φ）=A002390.-_Amiram Eldar，2021年2月20日

%F a（n）=产品{i=1..（n-1）}（（（4*i+6）*i+2）/（（i+2_Neven Sajko_，2021年10月10日

%t表[二项式[2n，n-1]，{n，0,30}]（*哈维·P·戴尔，2012年7月12日*）

%t系数列表[系列[（1-2x-Sqrt[1-4x]）/（2x*Sqrt[1-4x]），{x，0，26}]，x]（*_Robert G.Wilson v_，2018年8月10日*）

%o（PARI）a（n）=如果（n<1,0，（2*n）/（n+1）/（n-1）！）

%o（最大值）A001791（n）：=二项式（2*n，n-1）$

%o清单（A001791（n），n，0,30）；/*_Martin Ettl_，2012年11月5日*/

%o（Magma）[二项式（2*n，n-1）：n在[0..30]]中；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年4月20日

%o（GAP）列表（[0..30]，n->二项式（2*n，n-1））；#_Muniru A Asiru_，2018年8月9日

%三角形A100257的Y对角线3。

%Y第一个差异在A076540中。

%Y参见A000108、A000984、A002378、A002390、A025566、A132812。

%Y A345197按长度和交替求和计算成分。

%Y参见A000070、A000302、A000346、A002054、A008549、A032443、A088218、A097805、A163493、A202736、A345910。

%不，简单，好

%0、3

%A·N·J·A·斯隆_