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如果n=2*m，则a（n）=二项式（3*m，m）/（2*m+1），如果n=2*m+1，则a。
+10
40
1, 1, 1, 2, 3, 7, 12, 30, 55, 143, 273, 728, 1428, 3876, 7752, 21318, 43263, 120175, 246675, 690690, 1430715, 4032015, 8414640, 23841480, 50067108, 142498692, 300830572, 859515920, 1822766520, 5225264024, 11124755664, 31983672534
评论
逆Riordan数组（1，x*（1-x^2））^（-1）的行和-保罗·巴里2008年4月16日
a（n）是长度n在经典意义上避免213的排列数，它们是递增一元二叉树的宽度第一搜索读取单词。有关更多详细信息，请参阅避免231排列的条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日
a（n）是有序树的数量(A000108号)n个顶点中，每个非根非叶顶点正好有一个叶子点（对其非叶子点没有限制）。例如，a（4）计算3棵树
| |
\/ \|/ \/
（结束）
a（n）是具有n个内部节点的对称三元树的数目。
a（n）是具有n条边的对称非交叉根树的数目。
a（n）是具有2n条边的对称偶数树的数目。
a（n）是具有n条对角线的对称对角凸定向多公数。
（结束）
关于上述4项，请参阅Deutsch-Feretic-Noy参考。
a（n）也是具有n条边的自对偶标记非交叉树的数目。请参阅链接部分中的我的论文-尼科斯·阿波斯托拉基斯2019年6月11日
由带有Schläfli符号{4，oo}的双曲线规则瓷砖的n个方形单元组成的非对称多胞体的数量。这种平铺在庞加莱圆盘上的立体投影可以通过Christensson链接获得。无侧多面体与其反射完全相同-罗伯特·拉塞尔2024年1月20日
链接
Per Alexandersson、Frether Getachew Kebede、Samuel Asefa Fufa和Dun Qiu，图案-避免和保险丝-加泰罗尼亚数字，J.国际顺序。（2023）第26卷，第23.4.2条。
Jean-Luc Baril、Alexander Burstein和Sergey Kirgizov，faro单词和排列中的模式统计，arXiv:2010.06270[math.CO]，2020年。见定理4.4。
米歇尔·布斯克特和塞德里克·拉马特，关于二阶对称结构，离散数学。西奥。计算。科学。10 (2008), 153-176.
Hassen Cheriha、Yousra Gati和Vladimir Petrov Kostov，笛卡尔符号规则、罗尔定理和容许对序列，arXiv:1805.04261[math.CA]，2018年。
S.J.Cyvin、Jianji Wang、J.Brunvoll、Shiming Cao、Ying Li、B.N.Cyvan和Yugang Wang，烷烃的交错构象：枚举问题的完全解，J.Molec。结构。413-414 (1997), 227-239.
配方奶粉
G.f.是1+Z，其中Z满足x*Z^3+（3*x-2）*Z^2+（3*x-1）*Z+x=0。等价地，g.f.Y满足x*Y^3-2*Y^2+3*Y-1=0-弗拉德塔·乔沃维奇2002年12月6日
反转g.f.（x-2*x^2）/（1-x）^3（忽略符号）-拉尔夫·斯蒂芬2004年3月22日
通用格式：（4/（3*x））*（sin（1/3）*asin（sqrt（27*x^2/4）））-保罗·巴里2006年11月8日
G.f.：1/（1-2*sin（asin（3*sqrt（3）*x/2）/3）/sqrt（三））-保罗·巴里2008年4月16日
G.f.满足：A（x）=1+x*A（x）^2*A（-x）；
同时，A（x）*A（-x）=B（x^2），其中B（x）=1+x*B（xA001764号.
（结束）
G.f.：1/（1-C（x）），其中C（x）=反向（x-x^3）=x+x^3+3*x^5+12*x^7+55*x^9+。。。（参见。A001764号). -乔格·阿恩特2011年4月16日
a（n）是M^n中的左上项，M=无限平方生产矩阵：
1, 1, 0, 0, 0, 0, ...
0, 0, 1, 0, 0, 0, ...
1, 1, 0, 1, 0, 0, ...
0, 0, 1, 0, 1, 0, ...
1, 1, 0, 1, 0, 1, ...
…（结束）
递归D-有限猜想：8*n*（n+1）*a（n）+36*n*-R.J.马塔尔2011年12月19日
0=a（n）*（+7308954*a（n+2）-16659999*a如果a（-1）=-2/3，Z中所有n的-484295*a（n+5））+a（n+3）*（-41820*a（n+3）-50184*a（n+4）+22304*a（n-5））-迈克尔·索莫斯2014年10月29日
a（0）=1；a（n）=求和{i=0..n-1}求和{j=0..n-i-1}（-1）^i*a（i）*a（j）*a（n-i-j-1）-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月28日
Beineke和Pippert链路中的a（n）=U（n）。
G.f.:E（1）（t*E（3）（t^2））（表1中的第二项），其中E（d）（t）在Hering链接的公式3中定义。（结束）
a（2米）=A001764号（m） ~（3^3/2^2）^m*sqrt（3/（2*Pi*（2*m）^3））。
a（n+2）/a（n）~27/4；a（2m+1）/a（2m）~3；a（2米）/a（2米-1）~9/4。（结束）
例子
G.f.=1+x+x^2+2*x^3+3*x^4+7*x^5+12*x^6+30*x^7+55*x^8+。。。
MAPLE公司
A047749号：=proc（m），如果m mod 2=1，则x：=（m-1）/2；返回（（3*x+1）/（（x+1）*（2*x+1）！）；fi；x：=m/2；返回（（3*x）/（x！*（2*x+1）！））；结束；
A047749号：=程序（m）局部x；如果m mod 2=1，则x:=（m-1）/2；返回（（3*x+1）/（（x+1）*（2*x+1）！）；fi；返回(A001764号（m/2）；结束；
数学
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，SeriesCoefficient[Inverse Series[级数[（x+2 x^2）/（1+x）^3，{x，0，n}]]，{x；(*迈克尔·索莫斯2014年10月29日*）
表[If[OddQ[n]，2二项[（3n-1）/2，（n-1）/2]，二项式[3n/2，n/2]/（n+1），{n，0，40}](*罗伯特·拉塞尔2024年1月19日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，n，a=1+x*a^2*子集（a，x，-x+x*O（x^n））；polceoff（a，n）}\\保罗·D·汉纳2009年9月20日
（PARI）x='x+O（'x^66）；
C（x）=倒转（x-x^3）；/*=x+x^3+3*x^5+12*x^7+55*x^9+。。。，囊性纤维变性。A001764号*/
s=1/（1-C（x））；/*通用频率*/
（鼠尾草）
D=[0]*n；D[1]=1
R=[]；b=错误；h=1
对于范围（n）内的i：
对于k in（1..h）：
D[k]=D[k]+D[k-1]
R追加（D[h]）
如果b:h+=1
b=非b
返回R
（鼠尾草）[1]+[（1+（-1）^n）*二项式（3*n/2，n/2）/（n+1）+（1-（-1））^n#G.C.格鲁贝尔2019年7月7日
（岩浆）G:=伽马；[四舍五入（（1+（-1）^n）*G（3*n/2+1）/（G（n/2+1//G.C.格鲁贝尔2019年7月7日
（Python）
来自数学导入梳
定义A047749号（n） ：返回梳（n+（a:=n>>1），a+（b:=n&1））//（n+1-b）#柴华武2022年7月30日
G.f.满足：A（x）=1+x*A（x）^5*A（-x）^4。
+10
19
1, 1, 1, 5, 9, 55, 117, 775, 1785, 12350, 29799, 211876, 527085, 3818430, 9706503, 71282640, 184138713, 1366368375, 3573805950, 26735839650, 70625252863, 531838637759, 1416298046436, 10723307329700, 28748759731965, 218658647805780, 589546754316126
链接
米歇尔·布斯克特和塞德里克·拉马特，关于二阶对称结构，离散数学。西奥。计算。科学。10 (2008), 153-176. 见表1发件人N.J.A.斯隆2011年7月12日
配方奶粉
G.f.满足：A（x）=[A（x。
G.f.满足：A（x）*A（-x）=（A（x）+A（-x））/2=G（x^2），其中G（x）=1+x*G（x）^9是A062994号.
a（2n）=二项式（9*n，n）/（8*n+1）；a（2n+1）=二项式（9*n+4，n）*5/（8*n+5）。
例子
通用公式：A（x）=1+x+x^2+5*x^3+9*x^4+55*x^5+117*x^6+775*x*7+。。。
G（x^2）=A（x）*A（-x）和A（x
G（x）=1+x+9*x^2+117*x^3+1785*x^4+29799*x^5+5270 85*x^6+。。。
G（x）^5=1+5*x+55*x ^2+775*x ^3+12350*x ^4+211876*x ^5+。。。
数学
条款=25；
A[_]=1；做[A[x_]=1+xA[x]^5A[-x]^4+O[x]*terms//正常，{terms}]；
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=my（a=1+x*O（x^n））；对于（i=0，n，a=1+x*a^5*子集（a^4，x，-x））；极坐标（a，n）}
（PARI）{a（n）=my（m=n\2，p=4*（n%2）+1）；二项式（9*m+p-1，m）*p/（8*m+p）}
G.f.满足：A（x）=1+x*A（x）^3*A（-x）^2。
+10
17
1, 1, 1, 3, 5, 18, 35, 136, 285, 1155, 2530, 10530, 23751, 100688, 231880, 996336, 2330445, 10116873, 23950355, 104819165, 250543370, 1103722620, 2658968130, 11777187240, 28558343775, 127067830773, 309831575760, 1383914371728, 3390416787880, 15194457001440
评论
由n个六角形单元组成的无侧多角体的数量，该六角形格子为带Schläfli符号{6，oo}的双曲线规则瓷砖。可以通过Christensson链接获得彭卡盘上{6，oo}瓷砖的赤平投影-罗伯特·拉塞尔2024年1月23日
链接
米歇尔·布斯克特和塞德里克·拉马特，关于二阶对称结构，离散数学。西奥。计算。科学。10 (2008), 153-176. 见表1发件人N.J.A.斯隆2011年7月12日
配方奶粉
G.f.:A（x）=G（x^2）+x*G（x*2）^3其中G（x）=1+x*G-（x）^5是A002294号.
a（2n）=二项式（5*n，n）/（4*n+1）；a（2n+1）=二项式（5*n+2，n）*3/（4*n+3）。
a（n+2）/a（n）~3125/256。a（2m+1）/a（2m）~75/16；a（2米）/a（2米-1）~125/48。
例子
G.f.：A（x）=1+x+x^2+3*x^3+5*x^4+18*x^5+35*x^6+136*x^7+。。。
A（x）=1+x*A（x）^3*A（-x）^2，其中
A（x）^3=1+3x+6x^2+16x^3+39x^4+114x^5+304x^6+936x^7+。。。
A（-x）^2=1-2x+3x^2-8x^3+17x^4-52x^5+125x^6-408x^7+。。。
此外，A（x）=G（x^2）+x*G（x*2）^3，其中
G（x）=1+x+5*x^2+35*x^3+285*x^4+2530*x^5+23751*x^6+。。。
G（x）^3=1+3*x+18*x^2+136*x^3+1155*x^4+10530*x^5+。。。
数学
条款=28；
A[_]=1；做[A[x_]=1+xA[x]^3A[-x]^2+O[x]*terms//正常，{terms}]；
p=6；表[If[EvenQ[n]，二项式[（p-1）n/2，n/2]/（（p-2）n/2+1），If[OddQ[p]，（p-1(*罗伯特·拉塞尔2024年1月23日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=my（a=1+O（x^（n+1）））；对于（i=0，n，a=1+x*a^3*子集（a^2，x，-x））；极坐标（a，n）}
（PARI）｛a（n）=my（m=n\2，p=2*（n%2）+1）；二项式（5*m+p-1，m）*p/（4*m+p）｝
G.f.满足：A（x）=1+x*A（x）^4*A（-x）^3。
+10
12
1, 1, 1, 4, 7, 34, 70, 368, 819, 4495, 10472, 59052, 141778, 814506, 1997688, 11633440, 28989675, 170574723, 430321633, 2552698720, 6503352856, 38832808586, 99726673130, 598724403680, 1547847846090, 9335085772194, 24269405074740, 146936230074004, 383846168712104
链接
米歇尔·布斯克特和塞德里克·拉马特，关于二阶对称结构，离散数学。西奥。计算。科学。10（2008），153-176，见表1发件人N.J.A.斯隆2011年7月12日
配方奶粉
a（2n）=二项式（7*n，n）/（6*n+1）；a（2n+1）=二项式（7*n+3，n）*4/（6*n+4）。
G.f.满足：A（x）*A（-x）=（A（x）+A（-x））/2。
例子
通用公式：A（x）=1+x+x^2+4*x^3+7*x^4+34*x^5+70*x^6+368*x^7+。。。
A（x）*A（-x）=G（x^2）和A（x
G（x）=1+x+7*x^2+70*x^3+819*x^4+10472*x^5+141778*x^6+。。。
G（x）^4=1+4*x+34*x^2+368*x^3+4495*x^4+59052*x^5+。。。
形成A（x）的平分。
根据定义，A（x）=1+x*A（x）^4*A（-x）^3，其中
A（x）^4=1+4*x+10*x^2+32*x^3+95*x^4+332*x^5+1074*x^6+。。。
A（-x）^3=1-3*x+6*x^2-19*x^3+51*x^4-183*x^5+550*x^6-+。。。
数学
条款=26；
A[_]=1；做[A[x_]=1+xA[x]^4A[-x]^3+O[x]*terms//正常，{terms}]；
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=my（a=1+O（x^（n+1）））；对于（i=0，n，a=1+x*a^4*子集（a^3，x，-x））；极坐标（a，n）}
（PARI）{a（n）=my（m=n\2，p=3*（n%2）+1）；二项式（7*m+p-1，m）*p/（6*m+p）}
反对偶读取的数组：T（n，k）是由n个大小为k的块组成的非交叉分区数。
+10
9
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 6, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 7, 10, 1, 1, 1, 1, 4, 5, 16, 12, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 7, 18, 31, 30, 35, 1, 1, 1, 1, 5, 7, 31, 35, 102, 55, 70, 1, 1, 1, 1, 5, 9, 34, 64, 136, 213, 143, 126, 1
评论
T（n，2*k-1）是具有n个多边形的非交叉k边形仙人掌的数量。
链接
米歇尔·布斯克特和塞德里克·拉马特，关于二阶对称结构，离散数学。西奥。计算。科学。10 (2008), 153-176. 见表1。
例子
数组开始：
===============================================
n\k |1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
---+-------------------------------------------
0 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
1 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
3 | 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ...
4 | 1 3 3 5 5 7 7 9 9 ...
5 | 1 6 7 16 18 31 34 51 55 ...
6 | 1 10 12 31 35 64 70 109 117 ...
7 | 1 20 30 102 136 296 368 651 775 ...
8 | 1 35 55 213 285 663 819 1513 1785 ...
9 | 1 70 143 712 1155 3142 4495 9304 12350 ...
...
黄体脂酮素
（PARI）\\u（n，k，r）是Fuss-Catalan数字。
u（n，k，r）={r*二项式（k*n+r，n）/（k*n+r）}
e（n，k）={和（j=0，n\2，u（j，k，1+（n-2*j）*k/2））}
T（n，k）={if（n==0，1，if（k%2，if）（n%2，2*u（n\2，k，（k+1）/2），u（n/2，k，1）+u（n/2-1，k，k）），e
反对角线读取的数组：T（n，k）是通过以单元格为根的不相交对角线将多边形非末端剖分为n个k角的次数，n>=1，k>=3。
+10
5
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 4, 4, 12, 5, 1, 1, 3, 6, 9, 18, 5, 1, 1, 5, 6, 26, 22, 55, 14, 1, 1, 4, 8, 21, 45, 52, 88, 14, 1, 1, 6, 8, 45, 51, 204, 140, 273, 42, 1, 1, 5, 10, 38, 84, 190, 380, 340, 455, 42, 1, 1, 7, 10, 69, 92, 500, 506, 1771, 969, 1428, 132
例子
数组开始：
=============================================
否|3 4 5 6 7 8 9 10。。。
---+-----------------------------------------
1 | 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 | 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
3 | 1 3 2 4 3 5 4 6 ...
4 | 2 4 4 6 6 8 8 10 ...
5 | 2 12 9 26 21 45 38 69 ...
6 | 5 18 22 45 51 84 92 135 ...
7 | 5 55 52 204 190 500 468 992 ...
8 | 14 88 140 380 506 1008 1240 2100 ...
9 | 14 273 340 1771 1950 6200 6545 15990 ...
...
黄体脂酮素
（PARI）这里u是p=k-1的Fuss-Catalan序列。
u（n，k，r）={r*二项式（（k-1）*n+r，n）/（（k-1）*n+r）}
T（n，k）＝｛如果（k2，如果（n%2，u（（n-1）/2，k，（k-1）/2），u（n/2-1，k，（k-1）），如果（n%2，u（（（n-1）/2，k，k/2+1），u（n/2-1，k，k））｝
对于（n=1,9，对于（k=3,10，打印1（T（n，k），“，”））；印刷品）；
1, 1, 1, 6, 11, 81, 176, 1406, 3311, 27636, 68211, 585162, 1489488, 13019909, 33870540, 300138696, 793542167, 7105216833, 19022318084, 171717015470, 464333035881, 4219267597578, 11502251937176, 105085831400550, 288417894029200, 2647012241261856, 7306488667126803
链接
米歇尔·布斯克特和塞德里克·拉马特，关于二阶对称结构，离散数学。西奥。计算。科学。10 (2008), 153-176. 见表1。
配方奶粉
a（2n）=二项式（11*n，n）/（10*n+1）；a（2n+1）=二项式（11*n+5，n）*6/（10*n+6）。
G.f.满足：A（x）=1+x*A（x）^6*A（-x）^5。（结束）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）={my（m=n\2，p=5*（n%2）+1）；二项式（11*m+p-1，m）*p/（10*m+p）}\\安德鲁·霍罗伊德2024年2月8日
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