%我#178 2024年3月21日08:31:58

%S 1,1,2,3,7,12,30,5514327281428387677522131843263120175，

%电话：246675690690143071540320158414640238414850067108142498692，

%电话：3008305728595159201822766520526264024112475566431983672534

%N如果N=2*m，则a（N）=二项式（3*m，m）/（2*m+1），如果N=2*m+1，则a。

%C Hankel转换似乎是A059492的签名充气版本_Paul Barry，2008年4月16日

%C逆Riordan数组（1，x*（1-x^2））^（-1）的行和_Paul Barry，2008年4月16日

%C a（n）是长度n在经典意义上避免213的排列数，它们是递增一元二叉树的第一个搜索读取单词。有关更多详细信息，请参阅A245898中避免231排列的条目_曼达·里尔，2014年8月5日

%C来自_David Callan_，2014年8月22日：（开始）

%C a（n）是具有n个顶点的有序树（A000108）的数量，其中每个非根非叶顶点正好有一个叶子节点（对其非叶子节点没有限制）。例如，a（4）计算3棵树

%抄送||

%C\/\|/\/

%C（结束）

%C摘自德国电子报，2014年10月28日：（开始）

%C a（n）是具有n个内部节点的对称三元树的数量。

%C a（n）是具有n条边的对称非交叉根树的数量。

%C a（n）是具有2n条边的对称偶数树的数目。

%C a（n）是具有n条对角线的对称对角凸定向多公数。

%C（结束）

%C关于上述4项，请参阅Deutsch-Feretic-Noy参考。

%C a（n）也是具有n条边的自对偶标记非交叉树的数目。请参阅链接部分中的我的论文_Nikos Apostolakis_，2019年6月11日

%C由n个带有Schläfli符号{4，oo}的双曲线规则瓷砖的正方形单元组成的非对称多胞体的数量。可以通过Christensson链接获得该瓷砖在Poincaré圆盘上的赤平投影。无侧多面体与其反射完全相同_罗伯特·拉塞尔（Robert A.Russell），2024年1月20日

%H G.C.Greubel，n表，n=0..1000时的a（n）</a>

%H Per Alexandersson、Frether Getachew Kebede、Samuel Asefa Fufa和Dun Qiu，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL26/Getachew/get3.html“>图案-避免和模糊-加泰罗尼亚数字，J.Int.Seq.（2023）第26卷，第23.4.2条。

%H Nikos Apostolakis，<a href=“https://arxiv.org/abs/1807.11602“>非交叉树、四角剖分、三元树和保二元双射</a>arXiv:1804.01214[math.CO]，2018。

%H Jean-Luc Baril、Alexander Burstein和Sergey Kirgizov，<a href=“https://arxiv.org/abs/2010.06270“>faro单词和排列的模式统计</a>，arXiv:2010.06270[math.CO]，2020。见定理4.4。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/Barry/barry321.html“>Pascal三角、三叉树和交替符号矩阵的Jacobsthal分解</a>，整数序列杂志，2016年第19期，第16.3.5号。

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%H S.J.Cyvin、Jianji Wang、J.Brunvoll、Shiming Cao、Ying Li、B.N.Cyvan和Yugang Wang，<a href=“https://doi.org/10.1016/S0022-2860（97）00025-2“>烷烃交错异构体：枚举问题的完全解，《分子结构杂志》413-414（1997），227-239。

%H S.J.Cyvin等人，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0022-2860（97）00419-5“>烷烃和单环环烷烃交错构象的枚举，《分子结构杂志》，445（1998），127-137。

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%H Emeric Deutsch，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2695568“>广义加泰罗尼亚数的另一条途径：问题10751，美国数学月刊，108（2001年11月），872-873。

%H Emeric Deutsch、S.Feretic和M.Noy，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X（02）00340-0“>对角凸定向多项式和偶数树：双射及相关问题，离散数学，256（2002），645-654。

%H F.Hering等人，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0012-365X（82）90121-2“>堆栈多面体和单形簇的枚举，《离散数学》，40（1982），203-217。

%H克拉克·金伯利，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Kimberling/kimberling24.html“>整数序列的矩阵变换，J.Integer Seqs.，第6卷，2003。

%H Anthony Zaleski和Doron Zeilberger，<a href=“https://arxiv.org/abs/1712.10072“>关于有趣的计数问题（n+1，n+2）-将核心划分为奇数部分，arXiv:1712.10072[math.CO]，2017。

%F G.F.是1+Z，其中Z满足x*Z^3+（3*x-2）*Z^2+（3*x-1）*Z+x=0。等价地，g.f.Y满足x*Y^3-2*Y^2+3*Y-1=0.-_Vladeta Jovovic_，2002年12月6日

%F反转g.F.（x-2*x^2）/（1-x）^3（忽略符号）_Ralf Stephan，2004年3月22日

%F G.F.：（4/（3*x））*（sin（（1/3）*asin（sqrt（27*x^2/4））））^2+（2/sqrt_保罗·巴里（Paul Barry），2006年11月8日

%F G.F.：1/（1-2*sin（asin（3*sqrt（3）*x/2）/3）/sqrt（3））。-_Paul Barry，2008年4月16日

%F From _Paul D.Hanna，2009年9月20日：（开始）

%F G.F.满足：A（x）=1+x*A（x）^2*A（-x）；

%F也是，A（x）*A（-x）=B（x^2），其中B（x）=1+x*B（x）^3=A001764的g.F。

%F（完）

%F G.F.：1/（1-C（x）），其中C（x）=反向（x-x^3）=x+x^3+3*x^5+12*x^7+55*x^9+。。。（参见A001764）_Joerg Arndt_2011年4月16日

%F G.F.：G（z^2）+z*G（z*2）^2，其中G（z）=1+z*G（z）^3是A001764的生成函数_罗伯特·拉塞尔（Robert A.Russell），2024年1月26日

%F From _Gary W.Adamson_，2011年7月14日：（开始）

%F a（n）是M^n中的左上项，M=无限平方生产矩阵：

%F 1，1，0，0，0,0。。。

%F 0、0、1、0、0。。。

%F 1，1，0，1，0，0。。。

%F 0，0，1，0，1,0。。。

%F 1，1，0，1，0,1。。。

%F。。。（结束）

%带递推的D-有限猜想：8*n*（n+1）*a（n）+36*n*_R.J.Mathar，2011年12月19日

%F 0=a（n）*（+7308954*a（n+2）-16659999*a如果a（-1）=-2/3.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年10月29日

%F a（0）=1；a（n）=和{i=0..n-1}和{j=0..n-i-1}（-1）^i*a（i）*a（j）*a_伊利亚·古特科夫斯基，2021年7月28日

%F a（n）=二项式（A032766（n），楼层（（n+1）/2））/（2*楼层（n/2）+1）_Miko Labalan_，2023年11月28日

%F a（n）=2*A005036（n）-A005034（n）=A005034（m）-2*A369315（n）=3005036（m）-A369315（n）.-_Robert A.Russell_，2024年1月20日

%F From _Robert A.Russell，2024年3月20日：（开始）

%Beineke和Pippert链路中的F a（n）=U（n）。

%F G.F.:E（1）（t*E（3）（t^2））（表1中的第二项），其中E（d）（t）在Hering link的公式3中定义。（结束）

%e.G.f.=1+x+x^2+2*x^3+3*x^4+7*x^5+12*x^6+30*x^7+55*x^8+。。。

%p A047749:=过程（m），如果m mod 2=1，则x:=（m-1）/2；返回（（3*x+1）/（（x+1）*（2*x+1）！）；fi；x：=m/2；返回（（3*x）/（x！*（2*x+1）！））；结束；

%p A047749:=proc（m）本地x；如果m mod 2=1，则x：=（m-1）/2；返回（（3*x+1）/（（x+1）*（2*x+1）！）；fi；返回（A001764（m/2））；结束；

%t a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，SeriesCoefficient[Inverse Series[级数[（x+2 x^2）/（1+x）^3，{x，0，n}]]，{x；（*迈克尔·索莫斯，2014年10月29日*）

%t表[If[OddQ[n]，2非多项式[（3n-1）/2，（n-1）/2]，二项式[3n/2，n/2]/（n+1），{n，0,40}]（*_Robert A.Russell_，2024年1月19日*）

%o（PARI）{a（n）=局部（a=1+x）；对于（i=1，n，a=1+x*a^2*subst（a，x，-x+x*o（x^n））；波尔科夫（a，n）}\\_Paul D.Hanna，2009年9月20日

%o（PARI）x='x+o（'x^66）；

%o C（x）=倒转（x-x^3）；/*=x+x^3+3*x^5+12*x^7+55*x^9+。。。，参见A001764*/

%o s=1/（1-C（x））；/*通用*/

%o兽医/*_Joerg Arndt_2011年4月16日*/

%o（圣人）

%o定义A047749_list（n）：

%o D=[0]*n；D[1]=1

%o R=[]；b=错误；h=1

%o对于范围（n）内的i：

%o对于k in（1..h）：

%o D[k]=D[k]+D[k-1]

%o R.append（D[h]）

%o如果b:h+=1

%o b=非b

%o返回R

%o A047749_list（35）#_Peter Luschny_，2012年5月3日

%o（Sage）[1]+[（1+（-1）^n）*二项式（3*n/2，n/2）/

%o（岩浆）G:=伽马；[四舍五入（（1+（-1）^n）*G（3*n/2+1）/（G（n/2+1_G.C.Greubel，2019年7月7日

%o（Python）

%o来自数学导入梳

%o定义A047749（n）：返回梳（n+（a:=n>>1），a+（b:=n&1））//（n+1-b）#_Chai Wah Wu_，2022年7月30日

%A369929的Y列k=3和A370062的k=4。

%Y参考A000108、A032766、A059492。

%Y参考A006013是该序列的奇数索引项。

%Y多边形：A005034（定向），A005036（无定向），A369315（手性），A001764（根），A208355（n-1）{3，oo}，A369472{5，oo}。

%K nonn公司

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%A _N.J.A.斯隆_