搜索： a239870-编号：a239890
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A001597号
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| 完美幂：m^k，其中m>0和k>=2。
（原名M3326 N1336）
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566
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1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1331, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1728, 1764
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（1）=1，对于n>=2:a（n）=数字m，使得x=m的完美除数之和没有解。n的完美除数是除数d，因此对于某些k>=1，d^k=n。对于n>=2，a（n）是A175082号. -雅罗斯拉夫·克里泽克2010年1月24日
加泰罗尼亚猜想（现在是一个定理）是1只出现一次，作为8和9之间的差异。
有关加泰罗尼亚猜想的证明，请参阅Metsänkylä的论文-L.埃德森·杰弗里2013年11月29日
m^k是最大的数字n，因此（n^k-m）/（n-m）是一个整数（对于k>1和m>1）-德里克·奥尔2014年5月22日
a（n）对n^2是渐近的，因为立方体和高次方之间的密度为0。例如。，
a（10^1）=49（10^2的49%），
a（10^2）=6400（10^4的64%），
a（10^3）=804357（10^6的80.4%），
a（10^4）=90706576（10^8的90.7%），
a（10^n）~10^（2n）-o（10^（2 n））。（结束）
a（10^n）：1，49，6400，804357，90706576，9565035601，979846576384，9906667994176，995676024324489-罗伯特·威尔逊v2014年8月15日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第66页。
雷内·斯科夫（RenéSchoof），《加泰罗尼亚人的猜想》，斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag），2008年，第1页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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H.W.古尔德，问题H-170，光纤。四分之一。，8（1970年），第268页，问题H-170。
拉斐尔·贾基姆祖克，论完美权力的分配《整数序列杂志》，第14卷（2011年），第11.8.5条。
Preda Mihailescu，主分圆单位与Catalan猜想的证明《Reine und Angewandte Mathematik杂志》，第27卷（2004年），第167-195页。
唐纳德·纽曼，问题研讨会，施普林格；参见问题#72。
M.A.Nyblom，完全幂序列的计数函数澳大利亚。数学。Soc.Gaz公司。33 (2006), 338-343.
米歇尔·沃尔德施米特，开放性丢番图问题，arXiv:math/0312440[math.NT]，2003-2004。
Eric Weistein的《数学世界》，完美的力量.
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配方奶粉
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哥德巴赫证明了Sum{n>=2}1/（a（n）-1）=1。
2002年不同作者发布到数论列表的公式：
和{i>=2}和{j>=2}1/i^j=1；
和{k>=2}1/（a（k）+1）=Pi^2/3-5/2；
求和{k>=2}1/a（k）=求和{n>=2}mu（n）（1-泽塔（n））近似值=0.87443686840494…参见A072102号.
对于无症状患者，请参见Newman。
a（n）=n^2-2*n^（5/3）-2*n（7/5）+（13/3）*n（4/3）-2*n（9/7）+2*n-阿米拉姆·埃尔达尔，2023年6月30日
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MAPLE公司
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isA001597:=进程（n）
局部e；
e:=seq（op（2，p），p=ifactors（n）[2]）；
返回（igcd（e）>=2或n=1）；
结束进程：
选项记忆；
局部a；
如果n=1，则
1;
其他的
对于来自procname（n-1）+1 do的a
如果是A001597（a），则
返回a；
结束条件：；
结束do；
结束条件：；
结束进程：
N： =10000:#以获取所有条目<=N
排序（{1，seq（seq（a^b，b=2..floor（log[a]（N））），a=2..floor[平方码（N）]）}）#罗伯特·费雷奥2023年7月18日
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数学
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最小值=0；最大值=10^4；Union@Flatten@Table[n^expo，{expo，Prime@Range@PrimePi@Log2@max}，{n，Floor[1+min^（1/expo）]，max^（1/1expo）}](*T.D.诺伊2011年4月18日；稍作修改罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*）
perfectPowerQ[n_]：=n==1||GCD@@FactorInteger[n][[All，2]]>1；选择[Range@1765，perfectPowerQ](*蚂蚁王2013年6月29日；稍作修改罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*）
nextPerfectPower[n_]：=如果[n==1，4，Min@Table[（Floor[n^（1/k）]+1）^k，{k，2，1+Floor@Log2@n}]]；NestList[nextPerfectPower，1，55](*罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*）
连接[{1}，选择[Range[2000]，GCD@@FactorInteger[#][[All，2]]>1&]](*哈维·P·戴尔2018年4月30日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[1]猫[n:n在[2..1000]|IsPower（n）]；
（PARI）{a（n）=局部（m，c）；如果（n<2，n==1，c=1；m=1；而（c<n，m++；if（ispower（m），c++））；m）}/*迈克尔·索莫斯2009年8月5日*/
（PARI）列表（lim）=my（v=列表（向量（平方（lim=1），n，n^2））；对于（e=3，logint（lim，2），对于（n=2，sqrtnint（lim、e），listput（v，n^e））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2019年12月10日
（鼠尾草）
如果k是perfect_power（），则返回[k代表（1..n）中的k
（哈斯克尔）
导入数据。映射（singleton、findMin、deleteMin、insert）
a001597 n=a001597_列表！！（n-1）
（a001597_列表，a025478_列表，a 025479_列表）=
unzip 3$（1，1，2）：f9（3，2）（单例4（2，2）），其中
f zz（bz，ez）米
|xx<zz=（xx，bx，ex）：
f zz（bz，ez+1）（插入（bx*xx）（bx，ex+1）$删除最小值m）
|xx>zz=（zz，bz，2）：
f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）（插入（bz*zz）（bz，3）m）
|否则=f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）m
其中（xx，（bx，ex））=findMin m--bx^ex==xx
（Python）
来自sympy import perfect_power
def-ok（n）：返回n==1或perfect_power（n）
打印（[m代表范围（11765）中的m，如果正常（m）]）#迈克尔·布拉尼基2021年1月4日
（Python）
导入交响乐
定义__init__（自身）：
自身.a=[1]
定义（self，n）：
如果n≤len（self.a）：
返回自身。a[n-1]
其他：
cand=（n-1）+1时的自身
while sympy.perfect_power（cand）==错误：
烛光+=1
自我a.append（cand）
返回cand
对于范围（1，20）中的n：
打印（a001597.at（n））#R.J.马塔尔2023年3月28日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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8, 27, 32, 125, 128, 216, 243, 343, 512, 1000, 1331, 1728, 2048, 2187, 2197, 2744, 3125, 3375, 4913, 5832, 6859, 7776, 8000, 8192, 9261, 10648, 12167, 13824, 16807, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 50653
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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此序列的所有术语也在A070265号（奇数幂），但省略那些也是正方形的奇数幂（例如64=4^3=8^2）。
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链接
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Eric Weistein的《数学世界》，完美的力量.
Eric Weistein的《数学世界》，奇数功率.
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配方奶粉
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求和{n>=1}1/a（n）=1-zeta（2）+求和{k>=2}mu（k）*（1-zeta（k））=0.2295303015-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月21日
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MAPLE公司
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从4 do到n
如果不是issqr（n）且是A001597（n），则
printf（“%d，\n”，n）；
结束条件：；
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数学
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nn=50653；选择[Union[Flatten[Table[n^i，{i，Prime[Range[2，PrimePi[Log[2，nn]]]}，{n，2，nn^（1/i）}]]！整数Q[Sqrt[#]]&](*T.D.诺伊2011年4月19日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。映射（singleton、findMin、deleteMin、insert）
a097054 n=a097054_列表！！（n-1）
a097054_list=f 9（3，2）（单例4（2，2）），其中
f zz（bz，be）米
|xx<zz&甚至是=
f zz（bz，be+1）（插入（bx*xx）（bx，be+1，$deleteMin m）
|xx<zz=xx：
f zz（bz，be+1）（插入（bx*xx）（bx，be+1，$deleteMin m）
|xx>zz=f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）（插入（bz*zz）（bz，3）m）
|否则=f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）m
其中（xx，（bx，be））=findMin m
（PARI）列表（lim）=my（v=list（））；对于素数（e=3，logint（lim=1,2），对于（b=2，sqrtnint（lim，e）），如果（！issquare（b），listput（v
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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32, 128, 243, 2048, 2187, 3125, 7776, 8192, 16807, 78125, 100000, 131072, 161051, 177147, 248832, 279936, 371293, 524288, 537824, 759375, 823543, 1419857, 1594323, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 8388608, 10000000, 11881376, 17210368
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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链接
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配方奶粉
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Sum_{n>=1}1/a（n）=1-ζ（2）-ζ（3）+ζ（6）+Sum_{k>=2}μ（k）*（1-ζ（k））=0.048164603-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月21日
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例子
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279936包含在内，因为279936=6^7是幂，而这不是正方形或立方体。
59049=9^5不包括在内，因为这是一个正方形243^2=59049。
32768=8^5不包括在内，因为这是一个立方体32^3=32768。
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（i=1，2^25，如果（gcd（ispower（i），6）==1，print（i））
（哈斯克尔）
导入数据。映射（singleton、findMin、deleteMin、insert）
a239728 n=a239728_列表！！（n-1）
a239728_list=f 9（3，2）（单例4（2，2）），其中
f zz（bz，be）米
|xx<zz&&gcd 6 be>1=
f zz（bz，be+1）（插入（bx*xx）（bx，be+1，$deleteMin m）
|xx<zz=xx：
f zz（bz，be+1）（插入（bx*xx）（bx，be+1，$deleteMin m）
|xx>zz=f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）（插入（bz*zz）（bz，3）m）
|否则=f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）m
其中（xx，（bx，be））=findMin m
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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4, 9, 16, 25, 32, 36, 49, 81, 100, 121, 128, 144, 169, 196, 225, 243, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2048, 2116, 2187, 2209, 2304, 2401, 2500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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过滤器：=proc（n）局部g；
g： =igcd（op（ifactors（n）[2][..，2]））；
g>1和（g mod 3<>0）
结束进程：
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数学
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选择[Range[2，2500]，（g=GCD@@FactorInteger[#][[；；，2]]）>1&&！可分[g，3]&](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=22500，如果（ispower（n）%3，print1（n，“，”））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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