搜索： a128766-编号：a128768
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A000543号
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| 使用最多n种颜色为立方体顶点着色的不相等方法的数量。 |
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0, 1, 23, 333, 2916, 16725, 70911, 241913, 701968, 1798281, 4173775, 8942021, 17930628, 34009053, 61518471, 106823025, 179003456, 290715793, 459239463, 707740861, 1066780100, 1576090341, 2286660783, 3263156073, 4586706576
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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这里的不相等是指在立方体的旋转群作用下，24阶立方体对顶点的作用具有循环指数（x1^8+9*x2^4+6*x4^2+8*x1^2*x3^2）/24。
还有用n种颜色给正八面体的面着色的方法，分别计算镜像图像的数量。
在枚举定向排列时，每个手性对都计为两个。正八面体和立方体的Schläfli符号分别为{3,4}和{4,3}。它们是相互对偶的。
正八面体/立方体的旋转组中有24个元素。他们分为五个魔术班。第一个公式是根据Pólya枚举定理，将x_i^j替换为n^j后，对立方体顶点（八面体面）循环指数进行平均得到的。
共轭类计数偶数循环指数
标识1 x_1^8
顶点旋转8 x_1^2x_3^2
边缘旋转6 x_2^4
小面旋转6 x_4^2
大面旋转3 x_2^4（结束）
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参考文献
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N.G.De Bruijn，波利亚的计数理论，收录于E.F.Beckenbach主编，《应用组合数学》，威利出版社，1964年，第144-184页（见第147页）。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（1/24）*n^2*（n^6+17*n^2+6）。（将循环索引中的所有x_i替换为n。）
通用格式：x*（1+x）*（1+13*x+149*x^2+514*x^3+149*x^4+13*x^5+x^6）/（1-x）^9-科林·巴克2012年1月29日
a（n）=1*C（n，1）+21*C（n，2）+267*C（m，3）+1718*C（b，4）+5250*C（k，5）+7980*C（r，6）+5880*C。
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MAPLE公司
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f： =n->（1/24）*n^2*（n^6+17*n^2+6）；seq（f（n），n=0..40）；
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数学
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系数列表[级数[x*（1+x）*（1+13*x+149*x^2+514*x^3+149*x^4+13*x^5+x^6）/（1-x）^9，{x，0，30}]，x](*文森佐·利班迪2012年4月15日*）
表[（n^8+17n^4+6n^2）/24，{n，0，30}](*罗伯特·拉塞尔，2020年10月8日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（1/24）*n^2*（n^6+17*n^2+6）:n in[0..30]]//文森佐·利班迪2012年4月15日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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克林特。C.威廉姆斯（Clintwill（AT）aol.com）
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扩展
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状态
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经核准的
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A199406号
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| 用最多n种颜色给立方体边缘着色的不相等方法的数量。 |
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1, 144, 12111, 358120, 5131650, 45528756, 288936634, 1433251296, 5887880415, 20842168600, 65402344161, 185788177224, 485443851256, 1181242399260, 2703252560100, 5864398969216, 12138503871789, 24101498435616, 46112016365155, 85335258695400, 153249227870046
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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如果一个是另一个的镜像，或者立方体可以以任何方式拾取并旋转以获得另一个，则两个边缘颜色是等效的。
还有n种或更少颜色的正八面体12条边的无方向着色数。立方体和八面体的Schläfli符号分别为{4,3}和{3,4}。它们是相互对偶的。对于无定向着色，手性对被视为一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月17日
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（13，-78286，-7151287，-17161716，-1287715，-286,78，-13,1）。
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配方奶粉
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a（n）=n^12/48+n^8/16+n^7/4+n^6/12+n^4/6+n^3/4+n^2/6。
周期指数=1/48（s_1^12+3s_1^4s_2^4+12s_1^2s_2^5+4s_2^6+8s_3^4+12s_4^3+8s_6^2）。
通用编号：-x*（76*x^10+10016*x^9+212772*x^8+1380453*x^7+3384939*x^6+3388593*x^5+1380279*x^4+211623*x^3+10317*x^2+131*x+1）/（x-1）^13。[科林·巴克2012年8月13日]
a（n）=1*C（n，1）+142*C（n，2）+116882*C使用k种颜色的无方向着色。（结束）
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数学
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表[CycleIndex[KSubsetGroup[Automorphisms[CublicalGraph]，Edges[CubicalGraph]]，s]/。表[s[i]->n，{i，1，6}]，{n，1，15}]
表[（8n^2+12n^3+8n^4+4n^6+12n*7+3n^8+n^12）/48，{n，20}](*罗伯特·拉塞尔2020年10月17日*）
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A325013型
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| 按降序反对角线读取的数组：A（n，k）是使用最多k种颜色的正则n维正射法的面的无方向着色数。 |
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+10个
10
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1, 3, 1, 6, 6, 1, 10, 21, 22, 1, 15, 55, 267, 402, 1, 21, 120, 1996, 132102, 1228158, 1, 28, 231, 10375, 11756666, 484086357207, 400507806843728, 1, 36, 406, 41406, 405385550, 4805323147589984, 74515759884862073604656433, 527471432057653004017274030725792, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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也称为十字多面体和超八面体。对于n=1，图形是具有两个顶点的线段。对于n=2，图形是一个有四条边的正方形。对于n=3，图形是一个八面体，有八个三角形面。对于n=4，该图是一个16个单元，具有16个四面体面。规则n维正射（n>1）的Schläfli符号{3，…，3,4}由n-2个三后面跟着一个四组成。它的每个2^n个面都是（n-1）维单纯形。如果一致，两个无方向的颜色是相同的；手性对算作一对。
另外，使用最多k种颜色的规则n维正交表（立方体）顶点的无方向着色数。
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链接
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E.M.Palmer和R.W.Robinson，花环积的两种表示下的计数，数学学报。，131 (1973), 123-143.
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配方奶粉
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下面Mathematica程序中使用的算法将轴的每个排列分配给n的分区。然后确定每个分区的排列数和每个分区的循环索引。
A（n，k）=总和（j=1..2^n）A325017型（n，j）*二项式（k，j）。
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例子
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数组以A（1,1）开头：
1 3 6 10 15 21 28 36 ...
1 6 21 55 120 231 406 666 ...
1 22 267 1996 10375 41406 135877 384112 ...
1 402 132102 11756666 405385550 7416923886 86986719477 735192450952 ...
对于A（2,2）=6，两个正方形的所有边都是相同的颜色，两个有三个相同颜色的边，一个有相同颜色的对边，另一个有不同颜色的对缘。
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数学
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a48[n_]：=a48[n]=除数和[NestWhile[#/2&，n，EvenQ]，MoebiusMu[#]2^（n/#）&]/（2n）；(*A000048号*)
a37[n]：=a37[n]=除数和[n，Moebius Mu[n/#]2^#&]/n；(*A001037号*)
CI0[{n_Integer}]：=CI0[}]=CI[Transpose[If[EvenQ[n]，p2=IntegerExponent[n，2]；sub=除数[n/2^p2]；{2^（p2+1）sub，a48/@（2^p2-sub）}，sub=除数[n]；{sub，a37/@sub}]]2^（n-1）；（*均匀烫发*）
CI1[{n_Integer}]：=CI1[}]=CI[sub=除数[n]；转座[If[EvenQ[n]，{sub，a37/@sub}，{2-sub，a48/@sub}]]2^（n-1）；（*奇数perm.*）
compress[x:{{_，_}…}]：=（s=Sort[x]；对于[i=Length[s]，i>1，i-=1，如果[s[[i，1]]==s[[i-1，1]]，s[i-1，2]]+=s[i，2]]；s=Delete[s，i]，Null]]；s）
cix[{a_，b}，{c_，d_}]：={LCM[a，c]，（a c d）/LCM[a，c]}；
取消保护[次数]；次数[CI[a_List]，CI[b_List]]：=（*combine*）CI[compress[Flatten[Outer[cix，a，b，1]，1]]；保护[次数]；
CI0[p_List]：=CI0[p]=展开[CI0[Drop[p，-1]]CI0[{Last[p]}]+CI1[Drop[p，-1]]CI1[{Last[p]{]]
CI1[p_List]：=CI1[p]=展开[CI0[Drop[p，-1]]CI1[{Last[p]}]+CI1[Drop[p，-1]]CI0[{Last[p]{]]
pc[p_List]：=模块[{ci，mb}，mb=删除重复项[p]；ci=计数[p，#]&/@mb；不/（Times@@（ci！）Times@@（mb^ci））]（*分区计数*）
行[n_Integer]：=行[n]=系数[（总计[（（CI0[#]+CI1[#]）pc[#]]）&/@IntegerPartitions[n]]）/（n！2^n）]/。CI[l_List]：>j^（总计[l][[2]）
array[n，k_]：=行[n]/。j->k
表[数组[n，d-n+1]，{d，1，10}，{n，1，d}]//展平
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 10, 56, 220, 680, 1771, 4060, 8436, 16215, 29260, 50116, 82160, 129766, 198485, 295240, 428536, 608685, 848046, 1161280, 1565620, 2081156, 2731135, 3542276, 4545100, 5774275, 7268976, 9073260, 11236456, 13813570, 16865705, 20460496, 24672560, 29583961
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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循环索引：1/48（s_1^6+3s_1^4s_2+9s_1^2s_2^2+7s_2^3+8s_3^2+6s_1^2 s_4+6s_2s_4+8s_6）由CycleIndex[Automorphisms[OctahedralGraph]，s]在Mathematica中返回。
边为2b+2、b^2+2b和b^2x2b+2的直角三角形面积的四分之一=A000217号（n） ，第n个三角形数-J.M.贝戈2013年8月2日
还有用n种颜色给立方体表面上色的方法的数量，将每对镜像图像作为一对进行计数。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n*（n+1）*（n^2+n+2）*（n ^2+n+4）/48。
通用格式：x*（1+3*x+7*x^2+3*x^3+x^4）/（1-x）^7-R.J.马塔尔2011年10月30日
a（n）=1*C（n，1）+8*C（n，2）+29*C（n,3）+52*C（n-，4）+45*C（n.5）+15*C。
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数学
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表[（n^6+3n^5+9n^4+13n^3+14n^2+8n）/48，{n，25}]
系数列表[级数[-（1+3x+7x^2+3x^3+x^4）/（x-1）^7，{x，0，35}]，x](*文森佐·利班迪2013年8月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n*（n+1）*（n^2+n+2）*（n ^2+n+4）/48\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年8月2日
（岩浆）[n*（n+1）*（n^2+n+2）*（n^2+n+4）/48:n在[1..35]]中//文森佐·利班迪2013年8月4日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A337897飞机
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| 使用n种或更少颜色的正八面体的8个三角形面或立方体8个顶点的非球面着色数。 |
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+10个
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1, 21, 201, 1076, 4025, 11901, 29841, 66256, 134001, 251725, 445401, 750036, 1211561, 1888901, 2856225, 4205376, 6048481, 8520741, 11783401, 16026900, 21474201, 28384301, 37055921, 47831376, 61100625, 77305501, 96944121
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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非基色与反射色相同。立方体和正八面体的Schläfli符号分别为{4,3}和{3,4}。它们是相互双重的。
正八面体/立方体的自同构群中有24个元素不在旋转群中。他们分为五个魔术班。第一个公式是根据Pólya枚举定理，将x_i^j替换为n^j后，对立方体顶点（八面体面）循环指数进行平均得到的。
共轭类计数奇数循环指数
反转1 x_2^4
顶点旋转*8 x_2^1x_6^1星号表示
边旋转*6 x_1^4x_2^2操作之后是
小面旋转*3 x_4^2反转。
大面旋转*6 x_2^4
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n^2*（7+2*n^2+3*n^4）/12。
a（n）=1*C（n，1）+19*C（n，2）+141*C（n，3）+394*C（n，4）+450*C（n，5）+180*C（n，6），其中C（n，k）的系数是使用精确k种颜色的非手性着色的数量。
G.f.：x*（1+x）*（1+13*x+62*x^2+13*x^3+x^4）/（1-x）^7。
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数学
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表[n^2（7+2n^2+3n^4）/12，{n，30}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A252705型
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| 用n种颜色给正十二面体的面着色的方法的数目，将镜像图像作为一种颜色计算。 |
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+10个
7
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1, 82, 5379, 148648, 2085655, 18356514, 116081245, 574795936, 2359033605, 8345970370, 26180606287, 74354990568, 194253329803, 472634761522, 1081541381145, 2346163937920, 4856060529001, 9641643580530, 18446420258299, 34136541925480, 61303301959263
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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对十二面体的面使用全自同构群的循环指数是（x1^12+15*x2^6+20*x3^4+24*x1^2*x5^2+15*x1^4*x2^4+x2^6+20*x6^2+24*x2*x10）/120。
还有用n种颜色给正二十面体的顶点上色的方法，将镜像作为一种颜色计算。
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参考文献
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F.S.Roberts和B.Tesman，《应用组合数学》，第二版，Pearson Prentice Hall，2005年，第439-488页。
J.H.van Lint和R.M.Wilson，《组合数学课程》，剑桥大学出版社，1992年，第461-474页。
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（13，-78286，-7151287，-17161716，-1287715，-286,78，-13,1）。
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配方奶粉
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a（n）=n^2*（n^2+1）*（n_8-n^6+16*n^4+44）/120。
总尺寸：x*（x+1）*（x^10+68*x^9+4323*x^8+80508*x^7+469548*x*6+886944*x^5+469548*x^4+80508*x^3+4323*x^2+68*x+1）/（1-x）^13。
a（n）=碳（n，1）+80*C（n，2）+5136*C（n，3）+127620*C)+3991680*C（n，12）。每个术语都表示使用n种颜色将十二面体精确地用1、2、3…、。。。，10、11或12种颜色。
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例子
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对于n=2，a（2）=82，用两种颜色给正十二面体的面着色的方法的数量，将镜像图像计数为相同的。其中，两个对所有面使用相同的颜色，80个同时使用这两种颜色。
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数学
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表[n^2（n^2+1）（n^8-n^6+16n^4+44）/120，{n，1，30}]
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黄体脂酮素
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（PARI）向量（60，n，n^2*（n^2+1）*（n*8-n^6+16*n^4+44）/120）\\米歇尔·马库斯，2014年12月21日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A252704型
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| 用n种颜色给正二十面体的面着色的方法的数目，将镜像图像作为一种颜色计算。 |
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+10个
6
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1, 9436, 29131965, 9164844880, 794760482005, 30468267440892, 664937321266057, 9607687940954944, 101313914601247929, 833333459683337020, 5606250353568935653, 31948001059902168528, 158374701054784400173, 697235469002925659548
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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二十面体面使用全自同构群的循环指数是（x1^20+15*x2^10+20*x1^2*x3^6+24*x5^4+15*x1^4*x2^8+x2^10+20*x2*x6^3+24*x10^2）/120.
另外，用n种颜色给正十二面体的顶点着色的方法的数量，将镜像图像作为一种颜色计算。
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参考文献
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F.S.Roberts和B.Tesman，《应用组合数学》，第二版，Pearson Prentice Hall，2005年，第439-488页。
J.H.van Lint和R.M.Wilson，《组合数学课程》，剑桥大学出版社，1992年，第461-474页。
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（21、-210、1330、-5985、20349、-54264、116280、-203490、293930、-352716、352716、-2939330、203490、-116280、54264、-20349、5985、-1330、210、-21，1）。
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配方奶粉
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a（n）=n^2*（n^18+15*n^10+16*n^8+20*n^6+44*n^2+24）/120。
总传真：x*（x+1）*（x^18+9414*x^17+28924605*x^16+8526129240*x^15+59987799040*x^14+15064347905208*x^13+164923977484392*x^12+874240573864*x^11+2363591146376826*x^10+329427410370820*x^9+2363591 146376826*x^8+87424057 3864*x^7+1649237484392*x^6+150 64347905208*x^5+59987779040*x^4+8526129240*x^3+28924605*x^2+9414*x+1）/（1-x）^21。
a（n）=C（n，1）+9434*C 11）+1640646875234062080*C（n，12）+3168965153453299200*C（n；13）+4578694359419980800*C（n，14）+4929160839482880000*C（n，15）+389703595281969600*C（n、16）+2197214626134528000*C（n，17）+83631065310720000*C（m，18）+192604742313984000*C)+20274183401472000*C（n，20）。每个术语都指示了使用n种颜色将二十面体精确地用1、2、3……、。。。，18、19或20色。
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例子
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对于n=2，a（2）=9436，用两种颜色给正二十面体的面着色的方法的数量，将镜像图像计数为相同的值。其中，两个对所有面使用相同的颜色，9434使用两种颜色。
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数学
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表[n^2（n^18+15n^10+16n^8+20n^6+44n^2+24）/120，{n，1，30}]
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A337896飞机
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| 使用n种或更少颜色的正八面体的8个三角形面或立方体的8个顶点的手性着色对的数量。 |
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+10个
6
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0, 1, 66, 920, 6350, 29505, 106036, 317856, 832140, 1961025, 4248310, 8590296, 16398746, 29814785, 51983400, 87399040, 142333656, 225359361, 347978730, 525376600, 777308070, 1129138241, 1613050076, 2269437600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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手性对的每一个成员都是另一个的反射，而不是旋转。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（n-1）*n^2*（n+1）*（8-5*n^2+n^4）/48。
a（n）=1*C（n，2）+63*C（n，3）+662*C（m，4）+2400*C（b，5）+3900*C（r，6）+2940*C（l，7）+840*C。
通用格式：x^2*（1+x）*（1+56*x+306*x^2+56*x^3+x^4）/（1-x）^9。
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例子
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对于a（2）=1，将八面体（立方体）居中于原点，并将对角线（边）与轴对齐，用一种颜色给八分体---、--+、-++和+++中的面（顶点）着色，用另一种颜色为其他4个元素着色。
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数学
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表[（n-1）n^2（n+1）（8-5n^2+n^4）/48，{n，30}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A337892飞机
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| 按降序反对偶读取的数组：T（n，k）是使用k或更少颜色的规则n维正射（交叉多面体）的脸的无方向颜色数。 |
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+10个
5
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1, 2, 1, 3, 22, 1, 4, 267, 11251322, 1, 5, 1996, 4825746875682, 314824532572147370464, 1, 6, 10375, 48038446526132256, 38491882660671134164965704408524083, 31716615393638864931753532641338560302264320, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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2,2
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评论
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在列举无定向排列时，每个手性对都算作一对。对于n=2，图形是一个有一个正方形面的正方形。对于n=3，图形是一个八面体，有8个三角形面。对于较高的n，三角形面的数量为8*C（n，3）。
还有n维正交图（超立方体）峰的无定向着色数。峰是一个（n-3）维的矫正器。
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链接
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配方奶粉
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下面Mathematica程序中使用的算法将轴的每个排列分配给n的分区，然后考虑轴反转的单独共轭类。它使用了Balasubramanian论文中的公式。如果m的值增加，可以枚举以T（m，1）开头的高维元素的颜色。
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例子
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数组以T（2,1）开头：
1 2 3 4 5 ...
1 22 267 1996 10375。。。
1 11251322 4825746875682 48038446526132256 60632984344185045000 ...
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数学
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m=2；（*颜色元素的尺寸，此处为面*）
Fi1[p1_]：=模[{g，h}，系数[积[g=GCD[k1，p1]；h=GCD[2 k1，p1]；（1+2 x^（k1/g））^（r1[[k1]]g）如果[可分[k1，h]，1，（1+2x^，2 k1/h）^；
FiSum[]：=（Do[Fi2[k2]=Fi1[k2]，{k2，Divisors[per]}]；DivisorSum[per，Divisor Sum[d1=#，MoebiusMu[d1/#]Fi2[#]&]/#&]）；
CCPol[r_List]：=（r1=r；r2=cs-r1；per=LCM@@表[If[cs[[j2]]==r1[[j2]]，If[0==cs[[j2]，1，j2]，2j2]、{j2，n}]；时间@@二项式[cs，r1]2^（n-Total[cs]）b^FiSum[]）；
PartPol[p_List]：=（cs=计数[p，#]&/@Range[n]；总计[CPol[#]&@Tuples[Range[0，cs]]]）；
pc[p_List]：=模块[{ci，mb}，mb=删除重复项[p]；ci=计数[p，#]&/@mb；不/（Times@@（ci！）Times@@（mb^ci））]（*分区计数*）
行[m]=b；
row[n-Integer]：=row[n]=因子[（总计[（PartPol[#]pc[#]）&&@IntegerPartitions[n]]）/（n！2^n）]
数组[n，k_]：=行[n]/。b->k
表[数组[n，d+m-n]，{d，6}，{n，m，d+m-1}]//扁平
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A334356飞机
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| 立方体顶点的非等效正确着色数，最多使用n种颜色，直到立方体的旋转和反射。 |
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+10个
2
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0, 1, 15, 154, 1115, 5955, 24836, 85260, 251154, 655005, 1548085, 3374646, 6876805, 13237679, 24271170, 42667640, 72305556, 118640025, 189179979, 294066610, 446766495, 664893691, 971175920, 1394580804, 1971618950, 2747841525, 3779550801, 5135742990, 6900303529
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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相邻顶点的颜色可能不同。
a（n）是直到图同构为止的立方图的非等价n着色数。
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n*（n-1）*（n ^6-11*n ^5+61*n ^4-195*n ^3+384*n ^2-428*n+216）/48。
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={n*（n-1）*（n^6-11*n^5+61*n^4-195*n^3+384*n^2-428*n+216）/48}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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