显示找到的13个结果中的1-10个。
a（n）=和{i=0..n}2^i*B（i）*二项式（n，i），其中B（n）=Bell数A000110号（n） ●●●●。
+10
16
1, 3, 13, 71, 457, 3355, 27509, 248127, 2434129, 25741939, 291397789, 3510328695, 44782460313, 602513988107, 8518757813637, 126179029108463, 1952609274344353, 31492811964616163, 528249539951292461, 9197240228562763687, 165923214676585626729
链接
Toufik Mansour和Mark Shattuck，与贝尔数有关的一个递归，INTEGERS 11（2011），#A67。
配方奶粉
a（n）=e^（-1）*2^n*和{k>=0}（k+1/2）^n/k！。这是一个多宾斯基公式-卡罗尔·彭森和奥利维尔·杰拉德2007年10月22日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-（2*k+3）*x-4*（k+1）*x^2/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年5月3日
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x-2*x/（1-2*x*（2*k+1）/（1-x-2*x/（1-2%x*（2*k+2）/Q（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年5月13日
a（0）=1；a（n）=a（n-1）+Sum_{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*2^k*a（n-k）-伊利亚·古特科夫斯基2022年6月21日
a（n）~Bell（n）*（2+LambertW（n）/n）^n。
a（n）~Bell（n）*2^n*sqrt（n）*log。（结束）
a（n）~2^n*n^（n+1/2）*exp（n/LambertW（n）-n-1）/（sqrt（1+LambertW（n-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月27日
MAPLE公司
with（combstruct）：seq（count（（[S，{N=并集（Z，S，P），S=集合（并集（Z，P）），card>=0），P=集合（联合（Z，Z），card>=1）}，labeled]，size=N）），N=0..20）#零入侵拉霍斯2008年3月18日
数学
表[Sum[2^k二项式[n，k]BellB[k]，｛k，0，n｝]，｛n，0，30｝](*卡罗尔·彭森和奥利维尔·杰拉德2007年10月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（塞拉普拉斯语（exp（exp）（2*x）-1+x））\\乔格·阿恩特2013年5月13日
a（n）=和{i=0..n}（-2）^（n-i）*B（i）*二项式（n，i）其中B（n）=Bell数A000110号（n） ●●●●。
+10
15
1, -1, 2, -3, 7, -10, 31, -21, 204, 307, 2811, 12100, 74053, 432211, 2768858, 18473441, 129941283, 956187814, 7351696139, 58897405759, 490681196604, 4242903803727, 38014084430983, 352341755256348, 3373662303816313, 33326335433122711, 339232538387804530
配方奶粉
a（n）=e^（-1）*和{k>=0}（k-2）^n/k！。这是一个Dobinski类型的公式-卡罗尔·彭森和奥利维尔·杰拉德2007年10月22日
通用公式：1/（1+x-x^2/（1-2x^2/-（1-x-3x^2//（1-2x-4x^2/（1-3x-5x^2/.（1-……）（连分数））-保罗·巴里2009年4月23日
设A是n阶的上Hessenberg矩阵，定义为：A[i，i-1]=-1，A[i和j]=二项式（j-1，i-1），（i<=j），否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=（-1）^（n）charpoly（a，2）-米兰Janjic2010年7月8日
G.f.：-1/U（0），其中U（k）=x*k-1-x-^2*（k+1）/U（k+1）；（连分数，1步）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基，2012年9月28日
G.f.：1/G（0），其中G（k）=1+2*x/（1+1/（1-2*x*（k+1）/G（k+1；（连分数，3步）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2012年11月23日
G.f.：G（0）/（1+3*x），其中G（k）=1-2*x*（k+1）/（（2*k+1）*（2*x*k-2*x-1）-x*（2*k+1）*（2*k+3）*（2*x*k-2*x-1）/（x*（2*k+3）-2*（k+1）*（2*x*k-x-1）/G（k+1）））；（递归定义的连分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2012年12月19日
猜想：如果e.g.f.是e（x）=exp（exp（x）-1+p*x），那么
g.f.：（x+1-p*x）/x/（g（0）-x）-1/x，其中g（k）=2*x+1-p*x-x*k+x*（x*k-x-1+p*x）/g（k+1）；（续分数）。
因此，对于这个序列（p=-2），g.f:（3*x+1）/x/（g（0）-x）-1/x其中g（k）=4*x+1-x*k+x*（x*k-3*x-1）/g（k+1）；
（结束）
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+2*x-x/（1-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年4月22日
a（0）=1；a（n）=-2*a（n-1）+和{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*a（k）-伊利亚·古特科夫斯基2021年7月30日
a（n）~n^（n-2）*exp（n/LambertW（n）-n-1）/（sqrt（1+LambertW（n-瓦茨拉夫·科特索维奇，2022年6月27日
例子
总尺寸：1-1*x+2*x^2-3*x^3+7*x^4-10*x^5+31*x^6-21*x^7+204*x^8+307*x^9+2811*x^10+12100*x^11+74053*x|12+43211*x^13+。。。
数学
表[Sum[（-2）^（n-k）二项式[n，k]BellB[k]，{k，0，n}]，{n，0，50}](*卡罗尔·彭森和奥利维尔·杰拉德2007年10月22日*）
a（n）=exp（-1/2）*Sum_{k>=0}（2*k-1）^n/（2^k*k！）。
+10
7
1, 0, 2, 4, 20, 96, 552, 3536, 25104, 194816, 1637408, 14792768, 142761280, 1464117760, 15886137984, 181667507456, 2182268117248, 27456279388160, 360872502280704, 4943580063237120, 70437638474568704, 1041911242274562048, 15972832382065977344, 253388070573020401664
配方奶粉
G.f.A（x）满足：A（x”）=（1-2*x+x*A（x/（1-2**））/（1-x-2*x^2）。
通用公式：（1/（1+x））*Sum_{k>=0}（x/（1+x））^k/产品{j=1..k}（1-2*j*x/（1'x））。
例如：exp（（exp（2*x）-1）/2-x）。
a（0）=1；a（n）=和{k=1..n-1}二项式（n-1，k）*2^k*a（n-k-1）。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*A004211号（k） 。
a（n）~2^（n-1/2）*n^（n-1/2）*exp（n/LambertW（2*n）-n-1/2）/（sqrt（1+LambertW（2*n））*LambertW（2*n）^（n-1/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2022年6月26日
MAPLE公司
E： =经验（（经验（2*x）-1）/2-x）：
S： =系列（E，x，31）：
seq（系数（S，x，i）*i！，i=0..30）#罗伯特·伊斯雷尔2020年8月26日
数学
nmax=23；系数列表[系列[Exp[（Exp[2 x]-1）/2-x]，｛x，0，nmax｝]，x]范围[0，nmax]！
a[0]=1；a[n]：=a[n]=和[二项式[n-1，k]2^ka[n-k-1]，{k，1，n-1}]；表[a[n]，{n，0，23}]
表[和[（-1）^（n-k）二项式[n，k]2^k BellB[k，1/2]，{k，0，n}]，{n，0，23}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000296号,A004211号,A007405号,124311美元,A166922号,A217203型,A337039型,A337040型,A337041型,A337042飞机,A337043型.
没有循环且有3个或更多交替运行的[n]排列数（假设循环的最小元素位于第一个位置）。
+10
6
1, 1, 2, 6, 22, 94, 460, 2532, 15420, 102620, 739512, 5729192, 47429896, 417429800, 3888426512, 38192416048, 394239339792, 4264424937488, 48212317486112, 568395755184224, 6973300915138656, 88860103591344864, 1174131206436335296, 16061756166912244800
评论
上述评论是正确的。设b（n）是A216964型根据定义，b（n）是[n]没有循环谷的置换数。回想一下，置换的交替运行是单调增加或减少子序列。换句话说，b（n）是[n]的置换数，每个循环最多有两次交替运行，因此b（n=A187251号（n） =a（n）-马仕美2013年5月18日。
配方奶粉
例如：exp（（2*z-1+exp（2*z））/4）。
对于n>=1:a（n）=n*总和（k=1..n，2^（n-2*k）*总和（j=0..k，二项式（k，j）*stirling2（n-k+j，j）*j/（n-k+j）！）/k！）；[来自弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月25日]
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*k-x/（1-x*（k+1）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年3月7日
G.f.：T（0）/（1-x），其中T（k）=1-x^2*（k+1）/；（续分数）-谢尔盖·N·格拉德科夫斯基2013年10月25日
a（n）=Sum_{j=1..n}a（n-j）*二项式（n-1，j-1）*上限（2^（j-2））对于n>0，a（0）=1-阿洛伊斯·海因茨2021年5月30日
例子
a（4）=22，因为只有置换3421=（1324）和4312=（1423）具有2次以上交替运行的循环。
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g:=exp（（2*z-1+exp（2*z））*1/4）：gser:=系列（g，z=0，28）：seq（阶乘（n）*系数（gser，z，n），n=0。。23);
#第二个Maple项目：
a： =proc（n）选项记住`如果`（n=0，1，添加(
a（n-j）*二项式（n-1，j-1）*细胞（2^（j-2）），j=1..n））
结束时间：
数学
nmax=20；系数列表[E^（（2*x-1+E^）（2*x））/4），{x，0，nmax}]，x]*范围[0，nmax]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年4月17日*）
黄体脂酮素
（最大值）
a（n）：=n*和（2^（n-2*k）*和（二项式（k，j）*stirling2（n-k+j，j）*j/（n-k+j）！，j、 0，k）/k！，k、 1，n）；[弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年4月25日]
（PARI）x='x+O（'x^66）；Vec（塞拉普拉斯（exp（（2*x-1+exp（2*x））/4））/*乔格·阿恩特2011年4月26日*/
（PARI）列表a（m）={P=x*y；对于（n=1，m，m=子集（P，x，1）；m=子集中（m，y，1）A216964型) \\米歇尔·马库斯2013年5月17日
a（n）=exp（-1）*Sum_{k>=0}（n*k-1）^n/k！。
+10
5
1, 0, 5, 89, 2737, 121399, 7316101, 572218716, 56142822849, 6731180810945, 965898950508901, 163116461798211503, 31969444766902475185, 7187057932197297484108, 1834860441330563739401765, 527403671798720265634312349, 169396494914472404237224898305
配方奶粉
a（n）=n！*[x^n]扩展（扩展（n*x）-x-1）。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*n^k*Bell（k）。
数学
表[Exp[-1]和[（nk-1）^n/k！，{k，0，无限}]，{n，0，16}]
联接[{1}，表[Sum[（-1）^（n-k）二项式[n，k]n^k BellB[k]，{k，0，n}]，{n，1，16}]]
表[n！系列系数[Exp[n x]-x-1]，{x，0，n}]，{n，0，16}]
g.f.x^3*（1-x）/（1-x-x^2-x^3-x^4-x^5）的展开。
+10
4
0, 0, 1, 0, 1, 2, 4, 8, 15, 30, 59, 116, 228, 448, 881, 1732, 3405, 6694, 13160, 25872, 50863, 99994, 196583, 386472, 759784, 1493696, 2936529, 5773064, 11349545, 22312618, 43865452, 86237208, 169537887, 333302710, 655255875, 1288199132
评论
五元数矩阵{{1,1,1,1,1}，{1,0,0,00,0}，}0,1,0,0，}，2,0,0,1,0，{0,0，0}的n次方的第二列从下到上给出了从位置n开始的5个数字。
a（n+5）等于避免长度为5i+4（i=0,1,2，…）的零的游程的n长度二进制字的数量-米兰Janjic2015年2月26日
链接
Martin Burtscher、Igor Szczyrba、RafałSzczerba、，n-纳奇常数的解析表示及其推广《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.4.5条。
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f： =gfun：-直肠（{a（n）+a（n+1）+a
数学
系数列表[级数[（x^3-x^4）/（1-x-x^2-x^3-x^4-x^5），{x，0，50}]，x]
黄体脂酮素
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），50）；[0,0]cat系数（R！（x^3*（1-x）^2/（1-2*x+x^6））//G.C.格鲁贝尔，2023年8月25日
（SageMath）
P.<x>=PowerSeriesRing（ZZ，prec）
返回P（x^2*（1-x）^2/（1-2*x+x^6））.list（）
1, 3, 25, 235, 2737, 36947, 563657, 9542715, 176920417, 3555369635, 76820077945, 1772943290763, 43469116126737, 1127040956393203, 30779951676185385, 882453651485815003, 26480355971228530369, 829522636694530362691, 27064267045022876869337, 917751849133986186857003
配方奶粉
a（n）=exp（-1）*Sum_{k>=0}（4*k-1）^n/k！。
a（0）=1；a（n）=-a（n-1）+和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*4^k*a（n-k）。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*4^k*Bell（k）。
数学
nmax=19；系数列表[Series[Exp[Exp[4 x]-x-1]，{x，0，nmax}]，x]Range[0，nmax]！
a[0]=1；a[n]：=a[n]=-a[n-1]+和[二项式[n-1，k-1]4^k a[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，19}]
表[Sum[（-1）^（n-k）二项式[n，k]4^k BellB[k]，{k，0，n}]，{n，0，19}]
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（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（塞拉普拉斯语（exp（4*x）-x-1））\\米歇尔·马库斯2023年11月30日
1, 2, 13, 89, 772, 7745, 87949, 1109288, 15332539, 229840361, 3706130914, 63857565095, 1169261937973, 22646779177898, 462143532144937, 9902312863237637, 222119823632283628, 5202170552214520637, 126914730275907871201, 3218552632981994910248, 84686139239808135094879, 2307953474037054591248501
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a（n）=exp（-1）*Sum_{k>=0}（3*k-1）^n/k！。
a（0）=1；a（n）=-a（n-1）+和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*3^k*a（n-k）。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*3^k*Bell（k）。
数学
nmax=21；系数列表[Series[Exp[Exp[3]-x-1]，{x，0，nmax}]，x]Range[0，nmax]！
a[0]=1；a[n]：=a[n]=-a[n-1]+和[二项式[n-1，k-1]3^ka[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，21}]
表[Sum[（-1）^（n-k）二项式[n，k]3^k BellB[k]，{k，0，n}]，{n，0，21}]
黄体脂酮素
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（塞拉普拉斯语（exp（3*x）-x-1））\\米歇尔·马库斯2023年11月30日
1, -3, 5, 1, -7, -75, -99, 1241, 10161, 18989, -332299, -3857551, -14440151, 141168997, 2807256333, 20182451657, -42073176479, -2999363709091, -38439478980891, -161835672017439, 3439471815545177, 87228227501354517, 937579822282327421, 216540362854403513, -198501712690150659055
配方奶粉
a（n）=exp（1）*Sum_{k>=0}（-1）^k*（2*k-1）^n/k！。
a（0）=1；a（n）=-a（n-1）-Sum_{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*2^k*a（n-k）。
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*2^k*A000587号（k） 。
数学
nmax=24；系数列表[系列[Exp[1-x-Exp[2x]]，｛x，0，nmax｝]，x]范围[0，nmax]！
a[0]=1；a[n]：=a[n]=-a[n-1]-和[二项式[n-1，k-1]2^ka[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，24}]
表[和[（-1）^（n-k）二项式[n，k]2^k BellB[k，-1]，{k，0，n}]，{n，0，24}]
扩展例如f.exp（exp（3*x）-1-2*x）。
+10
1
1, 1, 10, 55, 487, 4654, 51463, 632125, 8536492, 125279785, 1981246555, 33530245984, 603797462677, 11513675558701, 231539488842610, 4893151984630579, 108334206855000739, 2505977899186557502, 60419653270442268643, 1515077412621445514089, 39437350309301393464876, 1063746973172416765272589
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G.f.A（x）满足：A。
a（n）=exp（-1）*Sum_{k>=0}（3*k-2）^n/k！。
a（0）=1；a（n）=-2*a（n-1）+和{k=1..n}二项式（n-1，k-1）*3^k*a（n-k）。
a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*（-2）^（n-k）*3^k*Bell（k）。
数学
nmax=21；系数列表[Series[Exp[Exp[3]-1-2 x]，{x，0，nmax}]，x]Range[0，nmax]！
a[0]=1；a[n]：=a[n]=-2a[n-1]+和[二项式[n-1，k-1]3^ka[n-k]，{k，1，n}]；表[a[n]，{n，0，21}]
表[Sum[二项式[n，k]（-2）^（n-k）3^k BellB[k]，{k，0，n}]，{n，0，21}]
黄体脂酮素
（PARI）我的（x='x+O（'x^30））；Vec（塞拉普拉斯（经验（经验（3*x）-1-2*x））\\米歇尔·马库斯2023年12月7日
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