搜索： a084702-编号：a084703
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0、4、144、4900、166464、5654884、192099600、6525731524、221682772224、7530688524100、255821727047184、8690408031080164、295218051329678400、10028723337177985444、340681375412721826704、11573138040695364122500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n+1），n>=0，是有序本原毕达哥拉斯三元组（x（n），y（n）=x（n。前两项是（x（0）=0，y（0）=1，z（0）=1），a（1）=2^2，以及（x（1）=3，y（1）=4，z（1）=5），a-乔治·约翰逊2012年11月2日
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链接
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配方奶粉
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总尺寸：4*x*（1+x）/（1-x）*（1-34*x+x^2））-R.J.马塔尔，2008年12月15日
a（n）=（（17+12*sqrt（2））^n+（17-12*sqrt（2））^n-2）/8。
a（n+1）=17*a（n）+4+12*sqrt（a（n”）*（2*（a（n）+1））。
a（n-1）=17*a（n）+4-12*sqrt（a（n”）*（2*（a（n）+1））。
a（n-1）*a（n+1）=（a（n）-4）^2。
当n>1时，a（n+1）=34*a（n）-a（n-1）+8，a（0）=0，a（1）=4。
当n>0时，a（n+1）=35*a（n）-35*a（n-1）+a（n-2），a（0）=0，a（1）=4，a（2）=144。
Lim_{n->infinity}a（n）/a（n-r）=（17+12*sqrt（2））^r。
（结束）
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数学
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b[n_]：=b[n]=如果[n<2，n，34*b[n-1]-b[n-2]+2]；（*b）=A001110号*)
a[n]：=4*b[n]；表[a[n]，{n，0，30}]
4*ChebyshevU[范围[-1，30]，3]^2(*G.C.格雷贝尔2022年8月18日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[4*评估（ChebyshevU（n），3）^2:n在[0..30]]中//G.C.格雷贝尔2022年8月18日
（SageMath）[4*chebyshev_U（n-1，3）^2代表n in（0..30）]#G.C.格雷贝尔2022年8月18日
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关键词
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非n,容易的
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作者
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经核准的
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A130280型
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| a（n）=最小整数k>1，使得n（k^2-1）+1是一个完美平方，如果不存在这样的数字，则为0。 |
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2, 5, 3, 0, 2, 3, 5, 2, 0, 3, 7, 5, 4, 11, 3, 2, 4, 13, 9, 7, 2, 5, 19, 4, 0, 5, 21, 3, 11, 9, 11, 14, 2, 29, 5, 3, 6, 31, 21, 2, 13, 11, 13, 169, 3, 7, 41, 6, 0, 7, 5, 11, 22, 419, 3, 2, 5, 23, 461, 27, 8, 55, 7, 4, 2, 3, 49, 29
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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如果n=（2k）^2，则A130280型（n） <=k，因为（2k）^2（k^2-1）+1=（2k^2-2）^2。请参见A130281号对于不存在平等的情况。如果n=k^2-1，则A130280型（n） <=k-1，因为（k^2-1）（（k^1）^2-2）+1=（k^2-k-1）^2。请参见A130282号对于不存在平等的情况。
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例子
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a（（2k）^2）<=k，因为（2k，^2（k^2-1）+1=（2k^2-1）^2（但是k=1被排除在外，因为k^2-1=0对于任何n来说都是一个平凡的解）。
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MAPLE公司
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A130280型：=进程（n）局部x，y，z；如果n=1，则返回2 fi；孤立（n*（x^2-1）+1=y^2，z）；选择（has，`union`（%），x）；地图（相对湿度，%）；simplify（eval（%，z=1）union eval（%n，z=0））减去{-1，1}；如果%={}，则为0(最小@操作@地图）（abs，%）fi-end；
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数学
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$MaxExtraPrecision=100；
r[n_，c]：=减少[k>1&&j>1&&n*（k^2-1）+1==j^2，{j，k}，整数]/。C[1]->C//简化；
a[n_]：=如果[rn=r[n，0]||r[n、1]||r[n，2]；rn===错误，0，k/。{ToRules[rn]}//Min]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{130280英镑（n，L=10^15）=如果（发行方（n），L=2+平方（n>>2））；对于（k=2，L，如果（issquare（n*（k^2-1）+1），return（k））}
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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经核准的
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4, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089, 1369, 1521, 1681, 1849, 2025, 2209, 2401, 2601, 2809, 3025, 3249, 3481, 3721, 4225, 4489, 4761, 5041, 5329, 5625, 5929, 6241, 6561, 6889, 7225, 7569, 7921, 8281, 8649, 9025, 9409
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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例子
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a（1）=4，因为1（2^2-1）+1=2^2，2（5^2-1，+1=7^2，3（3^2-1。）+1=5^2，但4（m^2-1！）+1=4m^2-3不能是正方形，因为m>1的最大正方形<4m^2是（2m-1）^2=4m^2-4m+1<4m^2-3。
a（2）=9，因为n=5,6,7,8时，m=2,3,5,2，但9（m^2-1）+1=9m^2-8>9m^2-11>=9m*2-6m+1=（3m-1）^2，因此不能是正方形。
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数学
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$MaxExtraPrecision=200；
r[n_，c_]：=减少[k>1&&j>1&&n*（k^2-1）+1=j^2，{j，k}，整数]/。C[1]->C//简化；
A130280型[n_]：=如果[rn=r[n，0]||r[n、1]||r[n，2]；rn===错误，0，k/。{ToRules[rn]}//Min]；
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黄体脂酮素
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（PARI）f（n）=对于（k=2，n+1，如果（发行方（n*（k^2-1）+1），返回（k）））
is（n）=平方（n）&&f（n）==0\\王金源2019年4月14日
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A130284号
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| 整数j>0，使得（2j+1）^2（m^2-1）+1是某个整数m>1的平方。 |
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7, 17, 31, 49, 71, 97, 104, 127, 161, 199, 241, 287, 337, 391, 449, 511, 577, 594, 647, 721, 799, 881, 967, 1057, 1151, 1249, 1351, 1455, 1457, 1567, 1681, 1799, 1921, 1952, 2047, 2177, 2311, 2449, 2591, 2737, 2887, 3041, 3199, 3361, 3527, 3697, 3871, 4049
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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所有条款>4英寸A130283号是奇数方块，但并非所有的奇数方块都在这个序列中：这个序列给出了例外情况，如（2a（n）+1）^2。该序列主要由以下子序列组成：（1）A056220型（k） =2k^2-1，k>1:{7,17,31,49，…}，其中m=k给出（1+2*A056220型（k） ）^2（k^2-1）+1=k^2（4k^2-3）^2；（2） 2个*A079414号（k） =2k^2（4k^2-3），k>1:{10459419524850，…}，其中m=k给出（1+4*A079414（k） ）^2（k^2-1）+1=k^2（16k^4-20k^2+5）^2。第三个子序列开始于{145520195，…}；截至20195年，所有术语都在这些子序列中。
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链接
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配方奶粉
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A130284号={P[k]（m）；k=1,2,3，…，m=2,3,4，…}其中P[k]=（sqrt（（X^2 Q[k]^2-1）/（X^2-1））-1）/2和Q[0]=Q[-1]=1，Q[k+1]=（4X^2-2）*Q[k]-Q[k-1]。此外，（2P[k]（m）+1）^2（m^2-1）+1=m^2 Q[k]A130280型（P[k]（m））<=m。到目前为止，还没有发现存在严格不等式的情况。
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例子
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在k=17之前，a（k）=P[1]（k+1），其中P[1]=2x^2-1，A130280型（a（k））=k+1。
a（18）=P[2]（2）<P[1]（19），其中P[2]=2x^2*（4x^2-3），A130280型（a（18））=2。
a（106）=P[1]（100）<a（107）=P[3]（3）<a。
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数学
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r[n_]：=减少[m>1&&k>1&&（2n+1）^2*（m^2-1）+1==k^2，{m，k}，整数]；
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黄体脂酮素
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（PARI）A130284号（LIM=9999，START=1）={本地（N）；对于（N=START，LIM，N=（2*N+1）^2；对于（m=2，平方（N>>1+1），如果（！issquare（N*（m^2-1）+1），next）；打印1（N“，”）；下一（2））}
（PARI）{Q（k，x=x）=如果（m>0，（4*x^2-2）*Q（k-1，x）-Q（k-2，x），1
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 2, 11, 14, 18, 23, 27, 34, 38, 44, 54, 59, 74, 158, 179, 284, 524
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这个序列的大多数元素似乎是一个素数的1，2或4倍。
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黄体脂酮素
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（PARI）A130288号（L=999，S=1）={局部（R，T）；对于（n=S，L，if（issquare（n）||R>=T=A130280型（n） ，下一页）；打印1（n“，”）；R=T）}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A094357号
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| 形式为k^2-1的数，这样每个部分积也都是形式k^2-1的。 |
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3
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3, 8, 15, 323, 115599, 13441619843, 180680260779332208399
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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下学期<=3264535660144805339103579127542660095683:数字（sqrt（乘积（a[j]，j=1..n）+1）-1）^2-1确实满足下学期的要求，但这始终是最小的解决方案吗-M.F.哈斯勒2007年5月15日
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链接
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配方奶粉
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对于n>1，a[n+1]<=楼层（sqrt（乘积（a[j]，j=1..n））^2-1-M.F.哈斯勒2007年5月15日
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例子
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3、8和15比一个正方形小1，数字3、3*8、3*8*15也一样。
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交叉参考
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关键词
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坚硬的,非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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11, 23, 39, 41, 59, 64, 83, 111, 134, 143, 153, 179, 181, 219, 263, 307, 311, 363, 373, 386, 419, 479, 543, 571, 584, 611, 683, 703, 759, 781, 839, 900, 923, 989, 1011, 1103, 1156, 1199, 1299, 1403, 1405, 1425, 1511, 1546, 1623, 1739, 1769, 1859, 1983, 2111
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于任意n>1，数字（n^2-1）（k^2-1，+1）是k=n-1的平方；该序列列出了具有该属性的较小k>1的那些n>1。该序列包含子序列b（k）=2k（k+1）-1，k>1，其中A130280型（b（k）^2-1）<=k<b（k。只要2n+3是平方，我们就有n=b（k），其平方根就是2k+1。（另请参见公式。）
这个序列中唯一不是形式|P[m]（k）|（见公式）的元素似乎是非最小的n>k+1，这样（k^2-1）（n^2-1A130280型（n^2-1）=k）：{900140519759…}，k=11；{61618322，…}，其中k=23。。。
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链接
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配方奶粉
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如果2n+3是正方形，则n=b（k）=2k（k+1）-1，k=（sqrt（n/2+3/4）-1）/2=楼层（sqrt（n/2））>=A130280型（n^2-1）。（对于所有k>1，b（k）都在这个序列中。）
该序列的大多数项位于集合{P[m]（k），|P[m][-k）|；m=2,3,4…，k=2,3,1，…}中，其中P[m=2XP[m-1]-P[m-2]，P[1]=X-1，P[0]=1。每当a（n）=P[m]（k）或a（nA130280型（a（n）^2-1）<=k（对于m=2，分别为k-1）。（到目前为止，还没有发现等式不成立的情况。）我们有P[2]=P[2]（1-X），对于所有整数m>2，X>0：P[m]（X）<（-1）^mP[m'（-X）<=|P[m+1]（X。我们有P[m]（-1）=（-1）^m（m+1），P[m'（0）=（-1）^（m（m+1）/2），P[m]（1）=1-m，P[m]（x）>0，对于所有x>=2；P[m]（x）~2^（m-1）x^m。
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例子
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a（1）=11，因为n=11是最小的整数>1，因此（n^2-1）（k^2-1，+1）是1<k<n-1的平方，即k=2。
对于k=2,3,4…，P[3]（k）=4 k^3-4 k^2-3 k+1的值为{11,64181，…}和A130280型（64^2-1）=3，A130280型(181^2-1)=4,...
对于k=2,3,4…，-P[3]（-k）=4 k^3+4 k^2-3 k-1的值为{41134307，…}和A130280型(134^2-1)=3,A130280型(307^2-1)=4,...
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黄体脂酮素
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（PARI）检查（n）={local（m=n^2-1）；对于（i=2，n-2，如果（issquare（m*（i^2-1，+1），return（i）））}t=0；A130282号=向量（100，i，直到（check（t++），）；t）
（PARI）P（m，x=x）=如果（m>1，2*x*P（m-1，x）-P（m-2，x），m*（x-2）+1）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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3, 5, 7, 11, 13, 19, 21, 29, 31, 169, 419, 461, 3269, 7127, 3877019, 22783559, 215308729
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这个序列的大多数元素似乎是一个素数的1，2或4倍。
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链接
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黄体脂酮素
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（PARI）A130289号（L=999，S=1）={局部（R，T）；对于（n=S，L，if（issquare（n）||R>=T=A130280型（n） ，下一页）；打印1（T“，”）；R=T）}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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