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半长n的Dyck路径的数目A（n，k）避免了k的二进制展开式给出的连续步长模式，其中1=U=（1,1），0=D=（1，-1）；方阵A（n，k），n>=0，k>=0。
+10
24
1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 1, 9, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 9, 1, 21, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 4, 9, 21, 1, 51, 1, 1, 0, 0, 0
例子
方阵A（n，k）开始：
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, ...
0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 4, 4, 4, ...
0, 0, 0, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 9, ...
0, 0, 0, 1, 1, 9, 1, 21, 21, 23, ...
0, 0, 0, 1, 1, 21, 1, 51, 51, 63, ...
0, 0, 0, 1, 1, 51, 1, 127, 127, 178, ...
0, 0, 0, 1, 1, 127, 1, 323, 323, 514, ...
0, 0, 0, 1, 1, 323, 1, 835, 835, 1515, ...
MAPLE公司
A： =proc（n，k）选项记忆；局部b，m，r，h；
如果k＜2，则返回“if”（n＝0，1，0）fi；
m： =iquo（k，2，'r'）；h： =2^ilog2（k）；b：=
proc（x，y，t）选项记忆`if`（y<0或y>x，0，`if`（x=0，1，
`如果`（t=m且r=1，0，b（x-1，y+1，irem（2*t+1，h））+
`如果`（t=m且r=0，0，b（x-1，y-1，irem（2*t，h））））
结束；忘记（b）；
b（2*n，0，0）
结束时间：
seq（seq（A（n，d-n），n=0..d），d=0..14）；
数学
A[n_，k_]：=A[n，k]=模[{b，m，r，h}，如果[k<2，返回[If[n==0，1，0]]；{m，r}=商余数[k，2]；h=2^楼层[Log[2，k]]；b[x_，y_，t_]：=b[x，y；b[2*n，0，0]]；表[表[A[n，d-n]，{n，0，d}]，{d，0，14}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年1月27日之后阿洛伊斯·海因茨*)
交叉参考
列给出：0、1、2：A000007号, 3, 4, 6:A000012号, 5:A001006号（n-1）对于n>0，7，8，14：A001006号, 9:A135307号, 10:A078481号对于n>0、11、13：A105633号（n-1）对于n>0，12:A082582号, 15, 16:A036765号, 19, 27:A114465号, 20, 24, 26:A157003号, 21:A247333型, 25:A187256号（n-1）对于n>0。
囊性纤维变性。A242450型,A243827号,A243828号,A243829号,A243830型,A243831型,A243832型,A243833型,A243834型,A243835型,A243836型.
按行读取的三角形：T（n，k）是半长n且具有k个UDUD的Dyck路径数（此处U=（1,1），D=（1，-1））。
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6
1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 5, 1, 1, 19, 14, 7, 1, 1, 53, 46, 22, 9, 1, 1, 153, 150, 82, 31, 11, 1, 1, 453, 495, 299, 127, 41, 13, 1, 1, 1367, 1651, 1087, 507, 181, 52, 15, 1, 1, 4191, 5539, 3967, 1991, 781, 244, 64, 17, 1, 1, 13015, 18692, 14442, 7824, 3271, 1128, 316, 77, 19
链接
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras，计算Dyck路径中的字符串，离散数学。，307 (2007), 2909-2924.
配方奶粉
G.f.：G=G（t，z）满足方程z（1+z-tz）G^2-（1+z+z^2-tz-tz^2）G+1+z-tz=0。
例子
T（3,0）=3，因为UDUUDD、UUDDUD和UUUDDD是仅有的半长为3的Dyck路径，其中没有UDUD。
三角形开始：
1;
1;
1, 1;
3, 1, 1;
7, 5, 1, 1;
19, 14, 7, 1, 1;
53, 46, 22, 9, 1, 1;
153, 150, 82, 31, 11, 1, 1;
453, 495, 299, 127, 41, 13, 1, 1;
1367, 1651, 1087, 507, 181, 52, 15, 1, 1;
4191, 5539, 3967, 1991, 781, 244, 64, 17, 1, 1;
MAPLE公司
b： =proc（x，y，t）选项记忆`如果`（y<0或y>x，0，
`如果`（x=0，1，展开（b（x-1，y+1，[2，2，4，2][t]）
+b（x-1，y-1，[1，3，1，3][t]）*`如果`（t=4，z，1）））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，z，i），i=0..度（p）））（b（2*n，0，1））：
数学
b[x_，y_，t_]：=b[x，y，t]=如果[y<0|y>x，0，如果[x==0，1，展开[b[x-1，y+1，{2，2，2}[[t]]+b[x-1,y-1，{1，3，1，3}[[t]]*如果[t==4，z，1]]]；T[n_]：=函数[{p}，表[系数[p，z，i]，{i，0，指数[p，z]}][b[2*n，0，1]]；表[T[n]，{n，0，15}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2015年4月29日之后阿洛伊斯·海因茨*)
按行读取的三角形：T（n，k）是Dyck n路径的数量(A000108美元)其最长的锯齿具有尺寸k。
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1
1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 1, 1, 0, 7, 5, 1, 1, 0, 19, 16, 5, 1, 1, 0, 53, 54, 18, 5, 1, 1, 0, 153, 187, 64, 18, 5, 1, 1, 0, 453, 653, 233, 66, 18, 5, 1, 1, 0, 1367, 2302, 859, 243, 66, 18, 5, 1, 1, 0, 4191, 8174, 3189, 906, 245, 66, 18, 5, 1, 1
评论
Dyck路径中的锯齿是形式为（UD）^k的子路径，k>=1（U=向上步，D=向下步）。Dyck路径UududUududDUDD中最长的锯齿大小为2；其中有两个，用小写字母表示。
配方奶粉
列k>=1的生成函数是F[k]-F[k-1]，其中F[k]：=（Sum[x^j，{j，0，k+1}]-Sqrt[Sum[x^j，}，0，k+1}]^2]-4x Sum[x ^j，[2]，{j、0，k}]^2）/（2x Sum[x^j、{j、0,k}]）。
例子
表格开始
\k..0….1….2….3….4….5….6….7
n个
0 |..1
1 |..0....1
2 |..0....1....1
3 |..0....3....1....1
4 |..0....7....5....1....1
5 |..0...19...16....5....1....1
6 |..0...53...54...18....5....1....1
7 |..0..153..187...64...18....5....1....1
a（3,1）=3，因为最长锯齿尺寸为1的Dyck 3路径
UUUDDD、UUDDUD、UDUUDD。
数学
Clear[a，b，c]（*a[n，k]是最长锯齿大小<=k的Dyck n条路径数，b[n，k]是开始UU的Dyck-n条路径的数量，UU的最长锯齿尺寸<=k，c[n，k]是开始UD的Dycn-条路径的数目，UD的最长锯大小<=k*）catalanNumber[n]：=1/（n+1）二项式[2n，n]a[0，k_]/；k> =0:=1；a[1，k]/；k> =1:=1；a[n，0]/；n> =1:=0；a[n，k]/；k<0:=0；b[1，k_]/；k> =0:=0；c[1，k_]/；k> =1:=1；b[n，k]：=a[n，k]-c[n，k]c[n，k]/；1<=k<=n-1：=c[n，k]=和[b[n-j，k]，{j，k}]c[n_，k_]/；k> =n>=1:=目录编号[n-1]；a[n，k]/；k> =n>=0：=目录编号[n]；a[n，k]/；k==n-1：=目录编号[n]-1；a[n_，k]/；1<=k<=n-2&&n>=3:=a[n，k]=Sum[b[n-j，k]，{j，k}]+Sum[a[j-1，k]a[n-j，k]，{j，2，n}]表[a[n，k]-a[n，k-1]，{n，0，8}，{k，0，n}]
按行读取的三角形：T（n，k）是{1,2，…，n}避免[x，x+1]有亏格k的排列数（亏格定义见第一条注释）。
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1
1, 1, 0, 3, 0, 0, 7, 4, 0, 0, 19, 29, 5, 0, 0, 53, 180, 76, 0, 0, 0, 153, 1004, 901, 61, 0, 0, 0, 453, 5035, 8884, 2315, 0, 0, 0, 0, 1367, 23653, 74177, 46285, 2847, 0, 0, 0, 0, 4191, 106414, 546626, 667640, 143586, 0, 0, 0, 0, 0, 13015, 463740, 3658723, 7777935, 3896494, 209624, 0
评论
{1,2，…，n}置换p的亏格g（p）定义为g（p）=（1/2）[n+1-z（p）-z（cp'）]，其中p'是p的逆置换，c=234…n1=（1,2，..，n），z（q）是置换q的圈数。
例子
三角形起点：
[ 1] 1,
[ 2] 1, 0,
[ 3] 3, 0, 0,
[ 4] 7, 4, 0, 0,
[ 5] 19, 29, 5, 0, 0,
[ 6] 53, 180, 76, 0, 0, 0,
[ 7] 153, 1004, 901, 61, 0, 0, 0,
[ 8] 453, 5035, 8884, 2315, 0, 0, 0, 0,
[ 9] 1367, 23653, 74177, 46285, 2847, 0, 0, 0, 0,
[10] 4191, 106414, 546626, 667640, 143586, 0, 0, 0, 0, 0,
[11] 13015, 463740, 3658723, 7777935, 3896494, 209624, 0, 0, 0, 0, 0,
[12] 40857, 1972339, 22712736, 77535694, 74678363, 13959422, 0, 0, ...,
[13] 129441, 8228981, 132804891, 685673340, 1131199122, 485204757, 23767241, 0, ...,
...
1, 1, 1, 2, 3, 1, 4, 9, 6, 1, 9, 26, 26, 10, 1, 21, 75, 100, 60, 15, 1, 51, 216, 360, 295, 120, 21, 1, 127, 623, 1246, 1295, 735, 217, 28, 1, 323, 1800, 4200, 5292, 3864, 1624, 364, 36, 1, 835, 5211, 13896, 20580, 18396, 10080, 3276, 576, 45, 1, 2188, 15115, 45345, 77190, 81690, 55314, 23730, 6150, 870, 55, 1
配方奶粉
G.f.：（1-x（1+y）-平方（1-2x（1+y）+x^2（1+y）（y-3））/（2x^2；
G.f.：1/（1-x-xy-x^2（1+y）/（1-x-x-xy-x2（1+y）/（1-…（连分数））。
例子
三角形开始
1,
1, 1,
2, 3, 1,
4, 9, 6, 1,
9, 26, 26, 10, 1,
21, 75, 100, 60, 15, 1,
51, 216, 360, 295, 120, 21, 1,
127, 623, 1246, 1295, 735, 217, 28, 1,
323, 1800, 4200, 5292, 3864, 1624, 364, 36, 1
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