搜索： a037946-编号：a037945
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0, 27, 134656, 56615355, 6138243072, 282390755580, 7190065585152, 118730950577595, 1408531971420160, 12872835457479666, 95262154452748800, 592216338844654972, 3180419513581234176, 15078667591360144440, 64208193499209765888, 248996850497620053435
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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链接
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例子
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a（1）=（1-1）/77683=0。
a（2）=（2097153-（-288））/77683=27。
a（3）=（10460353204-（-128844））/77683=134656。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A000594号
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| Ramanujan的tau函数（或Ramanujian数，或tau数）。
（原名M5153 N2237）
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+10
205
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1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, -113643, -115920, 534612, -370944, -577738, 401856, 1217160, 987136, -6905934, 2727432, 10661420, -7109760, -4219488, -12830688, 18643272, 21288960, -25499225, 13865712, -73279080, 24647168
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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全模组重量12的尖点形式的系数。
据推测，τ（n）从不为零（这一点已被证实为n<816212624008487344127999，见Derickx，van Hoeij，Zeng参考）。
M.J.Hopkins提到，唯一已知的tau（p）==1（mod p）为11、23和691的素数p，决定是否有无穷多这样的p是一个开放的问题，而在35000以下没有其他已知的p。西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）目前已搜索到陶（314747），没有发现其他例子-N.J.A.斯隆2007年3月25日
Martin（1996）表一列出的74个eta商中排名第一。
利用Dedekind的eta函数和判别式Delta，我们可以得到eta（z）^24=Delta（z）/（2*Pi）^12=Sum_{m>=1}τ（m）*q^m，其中q=exp（2*Pi*i*z），z位于复上半平面，其中i是虚单位。Delta是Hecke算子T_n（n>=1）的本征函数，本征值为tau（n）：T_n Delta=tau（n）Delta。由此得出以下公式部分中给出的τ（m）*τ（n）的公式。例如，参见Koecher-Krieg参考文献，Lemma和Satz，第212页。或第114页的Apostol参考文献，等式（3）和第131页的第6.13节第一部分-沃尔夫迪特·朗2016年1月26日
关于a（n）的Dirichlet级数F（s）满足的函数方程，Re（s）>7，见Hardy参考，第173页，（10.9.4）。它是（2*Pi）^（-s）*Gamma（s）*F（s）=。这归因于J.R.Wilton，1929年，第185页-沃尔夫迪特·朗2017年2月8日
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参考文献
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Tom M.Apostol，《数论中的模函数和Dirichlet级数》，第二版，Springer出版社，1990年，第114、131页。
G.Everest、A.van der Poorten、I.Shparlinski和T.Ward，《递归序列》，美国。数学。Soc.，2003年；特别见第255页。
Farkas和Kra，Theta常数，黎曼曲面和模群，AMS 2001；见第298页。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第77页，等式（32.2）。
G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二次讲座，AMS Chelsea Publishing，罗德岛普罗维登斯，2002年，第十次讲座，第161-185页。
M.J.Hopkins，代数拓扑和模形式，Proc。国际。国会数学。，北京，2002年，第一卷，第291-317页。
Bruce Jordan和Blair Kelly（Blair Kelly（AT）att.net），Ramanujan tau函数的消失，预印本，2001年。
Max Koecher和Aloys Krieg，Elliptische Funktitonen und Modulformen，2。Auflage，Springer，2007年，第210-212页。
N.Laptyeva，V.K.Murty，CM型形式的傅立叶系数，《印度纯粹与应用数学杂志》，2014年10月，第45卷第5期，第747-758页
于。I.Manin，《数学和物理》，Birkhäuser出版社，波士顿，1981年。
H.McKean和V.Moll。椭圆曲线，弧度。大学出版社，第139页。
M.Ram Murty，《Ramanujan tau-function》，G.E.Andrews等人第269-288页，编辑，《Ramanaujan Revisited》。纽约学术出版社，1988年。
S.Ramanujan，《关于某些算术函数》。Srinivasa Ramanujan的论文集，第153页，编辑G.H.Hardy等人，AMS Chelsea 2000。
S.Ramanujan，《关于某些算术函数》。Ramanujan的论文，第196页，编辑B.J.Venkatachala等人，Prism Books，班加罗尔，2000年。
J.-P.Serre，《算术课程》，施普林格-弗拉格出版社，1973年，见第98页。
J.H.Silverman，《椭圆曲线算法的高级主题》，斯普林格出版社，见第482页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
H.P.F.Swinnerton-Dyer，τ（n）的同余性质，G.E.Andrews等人第289-311页，编辑，Ramanujan Revisited。纽约学术出版社，1988年。
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唐·扎吉尔（Don Zagier）。《椭圆模形式及其应用》，模形式1-2-3。施普林格-柏林-海德堡，2008年。1-103.
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链接
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Jennifer S.Balakrishnan、William Craig和Ken Ono，莱默猜想对拉马努扬τ函数的变分，arXiv:2005.10345[math.NT]，2020年。
Jennifer S.Balakrishnan、Ken Ono和Wei-Lon Tsai，拉马努扬τ函数的偶数值，arXiv:2102.00111[math.NT]，2021。
B.Edixhoven等人。，计算模形式的系数，arXiv:math/0605244[math.NT]，2006-2010。
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杨辉和约翰·麦凯，月光与生命的意义，arXiv:1408.2083[math.NT]，2014年。
乔恩·基廷和布雷迪·哈兰，黎曼假设的关键，Numberphile视频（2016）。
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M.R.Murty、V.K.Murty和T.N.Shorey，Ramanujanτ函数的奇值《S.M.F.公报》，第115卷（1987年），第391-395页。
N.J.A.斯隆，我最喜欢的整数序列，arXiv:math/0207175[math.CO]，2002年。
H.P.F.Swinnerton-Dyer，模形式系数的l-adic表示与同余《一元模函数III》（Antwerp 1972），第1-55页，Lect。数学笔记。，350, 1973.
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配方奶粉
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G.f.：x*Product_{k>=1}（1-x^k）^24=x*A（x）^8，带有A010816号.
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/t）=（t/i）^12 f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯2011年7月4日
如果p是素数，abs（a（n））=O（n^（11/2+ε）），abs。这些都是Ramanujan推测的，并由Deligne证明。
扎吉尔说：这些公式的证明，如果从头开始写出来的话，估计有2000页；在他的书中，马宁引用了这一比率的可能记录：“证明长度：陈述长度”在整个数学中。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u*w*（u+48*v+4096*w）-v^3-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
a（n）=τ（n）（τ（0）=0）：τ（m）*tau（n）=Sum_{d|gcd（m，n）}d^11*tau。参见上文注释和Koecher-Krieg参考，第212页，等式（5）-沃尔夫迪特·朗2016年1月21日
Dirichlet级数作为乘积：和{n>=1}a（n）/n^s=product{n>=1}1/（1-a（素数（n））/prime（n）^s+素数（n）^（11-2*s））。请参阅Mordell链接，等式（2）-沃尔夫迪特·朗2016年5月6日。另见哈代，第164页，等式（10.3.1）和（10.3.8）-沃尔夫迪特·朗2017年1月27日
G.f.eta（z）^24（q=exp（2*Pi*i*z））也是（E_4（q）^3-E_6（q）*2）/1728。参见哈代参考文献，第166页，等式（10.5.3），Q=E_4和R=E_6，见A004009号和A013973号分别是-沃尔夫迪特·朗，2017年1月30日
通用公式：x*exp（-24*Sum_{k>=1}x^k/（k*（1-x^k）））-伊利亚·古特科夫斯基2018年2月5日
〔-24，-24，-24，-24，-24，…〕的欧拉变换-西蒙·普劳夫，2018年6月21日
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例子
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G.f.=q-24*q^2+252*q^3-1472*q^4+4830*q^5-6048*q^6-16744*q^7+84480*q^8-113643*q^9+。。。
35328=（-24）*（-1472）=a（2）*a（4）=a。请参阅上面关于T_n德尔塔=τ（n）德尔塔的注释-沃尔夫迪特·朗2016年1月21日
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MAPLE公司
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M：=50；t1:=系列（x*mul（（1-x^k）^24，k=1..M），x，M）；A000594号：=n->系数（t1，x，n）；
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数学
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系数列表[Take[Expand[Product[（1-x^k）^24，{k，1，30}]，30]，x]（*或*）
（*首先做*）需求[“数字理论`Ramanujan`”]（*然后*）表[RamanujanTau[n]，{n，30}](*迪安·希克森2003年1月3日*）
最大值=28；g[k_]：=-BernoulliB[k]/（2k）+和[DivisorSigma[k-1，n-1]*q^（n-1），{n，2，max+1}]；系数列表[系列[8000*g[4]^3-147*g[6]^2，{q，0，max}]，q]//静止(*Jean-François Alcover公司，2012年10月10日，来自模块化表单*）
RamanujanTau[Range[40]]（*函数RamanujanTau现在是Mathematica核心语言的一部分，因此在使用之前不再需要加载NumberTheory `Ramanujian`）(*哈维·P·戴尔2012年10月12日*）
a[n_]：=级数系数[q QPochhammer[q]^24，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*）
a[n_]：=具有[{t=Log[q]/（2Pi I）}，系列系数[Series[DedekindEta[t]^24，{q，0，n}]，{q、0，n{]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*）
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黄体脂酮素
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（朱莉娅）
使用Nemo
函数DedekindEta（len，r）
R、 z=多项式环（ZZ，“z”）
e=eta_qexp（r，len，z）
[0:len-1中j的系数（e，j）]结束
RamanujanTauList（len）=DedekindEta（len，24）
RamanujanTauList（28）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
（岩浆）M12:=模块形式（伽马射线（1），12）；t1:=基础（M12）[2]；PowerSeries（t1[1]，100）；系数（$1）；
（岩浆）基础（CuspForms（Gamma1（1），12），100）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polceoff（x*eta（x+x*O（x^n））^24，n））}；
（PARI）{a（n）=if（n<1，0，极系数（x*（sum（i=1，（sqrtint（8*n-7）+1）\2，（-1）^i*（2*i-1）*x^（（i^2-i）/2），O（x^n））^8，n）}；
（PARI）拉紧（p，e）={
如果（e==1，
（65*西格玛（p，11）+691*西格玛（p，5）-691*252*总和（k=1，p-1，西格玛（k，5）*西格玛（p-k，5））/756
,
my（t=拉紧（p，1））；
sum（j=0，
（-1）^j*二项式（e-j，e-2*j）*p^（11*j）*t^（e-2*j）
)
)
};
a（n）=我的（f=系数（n））；触头（i=1，#f[，1]，拉紧（f[i，1]、f[i、2]）；
（PARI）单独计算术语（Douglas Niebur，Ill.J.Math.，191975）：
a（n）=n^4*σ（n）-24*和（k=1，n-1，（35*k^4-52*k^3*n+18*k^2*n^2）*sigma（k）*simma（n-k））；
向量（33，n，a（n））\\乔格·阿恩特2015年9月6日
（鼠尾草）CuspForms（Gamma1（1），12，prec=100）.0#迈克尔·索莫斯，2013年5月28日
（鼠尾草）列表（delta_qexp（100））[1:]#更快彼得·卢什尼，2016年5月16日
（红宝石）
定义s（n）
s=0
如果n%i==0}，则为（1..n）.each{|i|s+=i
秒
结束
ary=[1]
a=[0]+（1..n-1）.map{i|s（i）}
（1..n-1）.每个{i|ary<<（1..i）.注入（0）{s，j|s-24*a[j]*ary[-j]}/i}
ary系列
结束
（红宝石）
ary=[0,1]
（2..n）.每个{|i|
s、 t，u=0，1，0
（1..n）.每个{|j|
t+=9*j
u+=j
如果i<=u，则中断
s+=（-1）**（j%2+1）*（2*j+1）x（i-t）*元[-u]
}
ary<<s/（i-1）
}
数组[1..-1]
结束
（Python）
从symy导入divisorsigma
定义A000594号（n） ：返回n**4*除数sigma（n）-24*（（m:=n+1>>1）**2*#柴华湖2022年11月8日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,核心,复数,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A027364号
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| 全模群16的唯一归一化尖点形式Delta_16的系数。 |
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+10
6
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1, 216, -3348, 13888, 52110, -723168, 2822456, -4078080, -3139803, 11255760, 20586852, -46497024, -190073338, 609650496, -174464280, -1335947264, 1646527986, -678197448, 1563257180, 723703680, -9449582688, 4446760032, 9451116072, 13653411840, -27802126025, -41055841008
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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链接
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F.Q.Gouvea，非有序素数，《实验数学》6 195，1997年。
H.P.F.Swinnerton-Dyer，模形式系数的l-adic表示与同余《一元模函数III》（Antwerp 1972），第1-55页，Lect。数学笔记。，350, 1973.
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配方奶粉
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G.f.：q*（1+240*Sum_｛n>=1｝sigma_3（n）q^n）乘积_｛k>=1｝（1-q^k）^24，其中sigma_3（n）是n的除数的立方体之和(A001158号).
（E_4（q）^4-E_6（q）^2*E_4（q））/1728。
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例子
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G.f.=q+216*q^2-3348*q^3+13888*q^4+52110*q^5-723168*q^6+。。。
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MAPLE公司
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使用（数字理论）：DO:=qs->q*diff（qs，q）/2:E2:=1-24*加法（DO@@3）（E2）：序列（系数（增量16，q，2*i），i=1..40）；使用（数字理论）：E2n:=n->1-（4*n/bernoulli（2*n））*add（sigma[2*n-1]（k）*q^（2*k），k=1.100）：qs:=（E2n（2）^4-E2n（3）^2*E2n（1））/1728:seq（系数（qs，q，2*i），i=1.40）；#基斯坦奴朗拿度
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数学
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条款=26；
E4[x_]=1+240*和[k^3*x^k/（1-x^k），{k，1，项+1}]；
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/（1-x^k），{k，1，项+1}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）N=66；q='q+O（'q^N）；Vec（q*（1+240*总和（n=1，n，sigma（n，3）*q^n））*eta（q）^24）\\乔格·阿恩特2015年11月23日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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Paolo Dominici（pl.dm（AT）libero.it），N.J.A.斯隆
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扩展
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更多来自C.Ronaldo（aga_new_ac（AT）hotmail.com）的条款，2005年1月17日
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状态
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经核准的
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1, 456, -146232, -133082976, -32170154808, -3378441902544, -155862776255328, -3969266446940352, -65538944782146360, -777506848190979672, -7105808014591457232, -52584752452485047328, -326903300701760852832, -1755591608260377411216
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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参考文献
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G.E.Andrews和B.C.Berndt，Ramanujan丢失的笔记本，第三部分，Springer，纽约，2012年，见第208页。
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链接
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配方奶粉
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数学
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条款=14；
E4[x_]=1+240*总和[k^3*x^k/（1-x^k），{k，1，terms}]；
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/（1-x^k），{k，1，项}]；
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交叉参考
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关键词
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签名
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作者
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状态
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经核准的
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A037944号
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| 全模群重量为18的唯一归一化尖形式Delta_18的系数。 |
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+10
4
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1, -528, -4284, 147712, -1025850, 2261952, 3225992, -8785920, -110787507, 541648800, -753618228, -632798208, 2541064526, -1703323776, 4394741400, -14721941504, -5429742318, 58495803696, 1487499860, -151530355200
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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链接
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H.P.F.Swinnerton-Dyer，模形式系数的l-adic表示与同余《一元模函数III》（Antwerp 1972），第1-55页，Lect。数学笔记。，350, 1973.
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配方奶粉
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例子
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G.f.=q-528*q^2-4284*q^3+147712*q^4-1025850*q^5+2261952*q^6+。。。
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数学
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术语=20；
E4[x_]=1+240*和[k^3*x^k/（1-x^k），{k，1，项+1}]；
E6[x_]=1-504*和[k^5*x^k/（1-x^k），{k，1，项+1}]；
E12[x_]=1+（65520/691）*总和[k^11*x^k/（1-x^k），{k，1，项}]；
E14[x_]=1-24*总和[k^13*x^k/（1-x^k），{k，1，terms}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0,0，polcoeff（x*eta（x+x*O（x^n））^24*（1-504*和（k=1，n，sigma（k，5）*x^k）），n））}/*迈克尔·索莫斯2012年3月18日*/
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交叉参考
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