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长度为3的子序列正好为1的[n+1]置换数。
（原名M4177）
+10
42
1, 6, 27, 110, 429, 1638, 6188, 23256, 87210, 326876, 1225785, 4601610, 17298645, 65132550, 245642760, 927983760, 3511574910, 13309856820, 50528160150, 192113383644, 731508653106, 2789279908316, 10649977831752, 40715807302800, 155851062397940, 597261490737912
评论
a（n）是从（0,0）到（n，n）水平穿过对角线y=x一次的东北路径数。通过对称性，也就是从（0,0）到（n，n）垂直穿过对角线y=x一次的东北路径数。有关详细信息，请参阅第3.3节Pan和Remmel的链接-冉·潘2016年2月2日
a（n）是[n+3]的置换数pi，使得s（pi）=321456…（n+3），其中s表示West的堆栈排序图-科林·德芬特2019年1月14日
a（n）也是避免模式321的[n+1]的置换数。有关避免[3]中任何其他排列的排列（即132、213、231或312中的任何一个），请参见A002054号. -N.J.A.斯隆2022年11月26日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Anwar Al Ghabra、K.Gopala Krishna、Patrick Labelle和Vasilisa Shramchenko，多根平面树的枚举，arXiv:2301.09765[math.CO]，2023。
Daniel Birmajer、Juan B.Gil和Michael D.Weiner，有理格路径的反弹统计，arXiv:1707.09918[math.CO]，2017年，第9页。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，多烯烃类的计数：一个完整的数学解决方案，J.化学。Inf.计算。科学。，第35卷，第4期（1995年），第743-751页。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd，多烯烃类的计数：一个完整的数学解决方案，J.化学。Inf.计算。科学。，第35卷，第4期（1995年），第743-751页。[带注释的扫描副本]
Ran Pan和Jeffrey B.Remmel，晶格路径中的成对图案，arXiv:1601.07988[math.CO]，2016年。
L.W.夏皮罗，加泰罗尼亚三角，离散数学。，第14卷，第1期（1976年），第83-90页。
L.W.夏皮罗，加泰罗尼亚三角，离散数学。，第14卷，第1期（1976年），第83-90页。[带注释的扫描副本]
配方奶粉
a（n）=6*二项式（2*n+1，n-2）/（n+4）。
例如：exp（2*x）*（贝塞尔_I（2,2*x-保罗·巴里，2007年6月4日
设A是n阶Toeplitz矩阵，定义为：A[i，i-1]=-1，A[i、j]=Catalan（j-i），（i<=j），A[i，j]=0，否则。然后，对于n>=5，a（n-3）=（-1）^（n-5）*系数（charpoly（a，x），x^5）-米兰Janjic2010年7月8日
a（n）=加泰罗尼亚语（i）*加泰罗语（j）*加泰罗语（k）。T.D.诺伊2010年12月22日
具有递推的D-有限-（n+4）*（n-2）*a（n）+2*n*（2*n+1）*a（n-1）=0-R.J.马塔尔2012年12月4日
和{n>=2}1/a（n）=7/2-34*Pi/（27*sqrt（3））。
求和{n>=2}（-1）^n/a（n）=828*log（phi）/（25*sqrt（5））-2819/450，其中phi是黄金比率(A001622号). （结束）
a（n）~3*4^（n+1）/（n^（3/2）*sqrt（Pi））-斯特凡诺·斯佩齐亚2024年4月17日
例子
a（3）=6，因为1234的唯一置换（长度为3的子序列正好增加1）是142341231342231423413124。
MAPLE公司
A003517列表：=proc（m）局部A，P，n；答：=[1]；P:=1,1,1,1]；
对于从1到m-2的n，做P:=ListTools:-部分和（[op（P），P[-1]]）；
A:=[op（A），P[-1]]od；A端：A003517列表（25）#彼得·卢什尼2022年3月26日
数学
表[6二项式[2n+1，n-2]/（n+4），{n，2，30}](*哈维·P·戴尔2012年2月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）x='x+O（'x^50）；向量（x^2*（（1-（1-4*x）^（1/2））/（2*x））^6）\\阿尔图·阿尔坎2015年11月1日
交叉参考
囊性纤维变性。A001089号,A084249号,A000108号,A000245型,A002057号,A000344号,A000588号,A003518元,A003519号,A001392号,A001622号,A214292型.
行读取的三角形：T（n，k）是模式321（n>=1，0<=k<=n（n-1）（n-2）/6）中出现k次的[n]排列数。
+10
10
1, 1, 2, 5, 1, 14, 6, 3, 0, 1, 42, 27, 24, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 0, 1, 132, 110, 133, 70, 74, 54, 37, 32, 24, 12, 16, 6, 6, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 1, 429, 429, 635, 461, 507, 395, 387, 320, 260, 232, 191, 162, 104, 130, 100, 24, 74, 62, 18, 32, 10, 30, 13, 8, 0, 10, 10, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 1
链接
Toufik Mansour、Sherry H.F.Yan和Laura L.M.Yang，计算对合中231的出现次数《离散数学》306（2006），第564-572页。
配方奶粉
[n]的给定置换p的321个图案的数量由Sum（L[i]R[i]，i=1..n）给出，其中L（R）是p.L的左（右）反转向量，R由R[i]+i=p[i]+L[i]关联（给定的Maple程序使用这种方法）。参考文献包含前几列的公式和生成函数（有些只是推测的）。
例子
T（4,2）=3，因为我们有4312，4231和3421。
三角形开始：
1;
1;
2;
5, 1;
14, 6, 3, 0, 1;
42, 27, 24, 7, 9, 6, 0, 4, 0, 0, 1;
132, 110, 133, 70, 74, 54, 37, 32, 24, 12, 16, 6, 6, 8, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 1;
...
MAPLE公司
#下面的Maple程序生成三角形的第9行；更改n的值以获得其他行。
n： =9:with（combinet）：P:=置换（n）：f:=proc（k）局部L:L:=proc（j）局部ct，i:ct:=0：对于i到j-1 do，如果P[k][j]<P[k][i]，那么ct:=ct+1 else end if end do:ct end proc:add（L（j）*（L（j）+P[k〕[j]-j），j=1..n）end proc:a:=排序（[seq（f（k），k=1..阶乘（n）]）]）：for h从0到（1/6）*n*（n-1）*（n-2）do c[h]：=0：对于m到阶乘（n）do如果a[m]=h，则c[h'：=c[h]+1 else end if end do end do:seq（c[h]，h=0..（1/6）*n*（n-1）*（n-2））；
#第二个Maple项目：
b： =proc（s，c）选项记忆；（n->`if`（n=0，x^c，加上（b（s减去{j}，
（t->（j-n+t）*t+c）（nops（选择（x->x>j，s）），j=s））（nobs）
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（{$1..n}，0））：
数学
ro[n_]：=与[{}，P=置换[Range[n]]；f[k_]：=用[{}，L[j_]：=用[{neneneep，ct=0；Do[If[P[[k，j]]<P[k，i]]，ct=ct+1]，{i，1，j-1}]；ct】；总和[L[j]*（L[j]+P[[k，j]]-j），{j，1，n}]]；a=排序[表[f[k]，{k，1，n！}]]；Do[c[h]=0；做[如果[a[[m]]==h，c[h]=c[h]+1]，{m，1，n！}]，{h，0，（1/6）*n*（n-1）*（n-2）}]；表[c[h]，{h，0，（1/6）*n*（n-1）*（n-2）}]]；扁平[表格[ro[n]，{n，1，7}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月1日，Maple之后*）
按行读取的三角形T（n，k）：123…n上的排列，有一个abc模式，没有aj模式，j<=k，n>2，k<n-1。
+10
三
1, 6, 2, 27, 12, 3, 110, 55, 19, 4, 429, 229, 91, 27, 5, 1638, 912, 393, 136, 36, 6, 6188, 3549, 1614, 612, 191, 46, 7, 23256, 13636, 6447, 2601, 897, 257, 57, 8, 87210, 52020, 25332, 10695, 3951, 1260, 335, 69, 9, 326876, 197676, 98532
配方奶粉
T（n，k）=C（2n-k-1，n）-C（2n-k-1，n+3）+C（2n-2k-2，n-k-4）-C。
T（n，n-2）=n-2，T。
例子
完整三角形开始：
0
0,0
0,0,0
1,1,0,0
6,6,2,0,0
27,27,12,3,0,0
110,110,55,19,4,0,0
429,429,229,91,27,5,0,0
1638,1638,912,393,136,36,6,0,0
6188,6188,3549,1614,612,191,46,7,0,0
23256,23256,13636,6447,2601,897,257,57,8,0,0
...
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=1，15，对于（k=1，n-2，print1（二项式（2*n-k-1，n）-二项式（2*n-k-1，n+3）+二项式（2*n-2*k-2，n-k-4）-二项式（2*n-2*k-2，n-k-1）+二项式（2*n-2*k-3，n-k-4）-二项式（2*n-2*k-3，n-k-2）“，”））
按行读取的三角形T（n，k）：T（n、k）=123…n上的置换数，正好有一个abc模式，没有带j<=k的aj模式，对于n>=0，0<=k<=n。
+10
三
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 6, 6, 2, 0, 0, 27, 27, 12, 3, 0, 0, 110, 110, 55, 19, 4, 0, 0, 429, 429, 229, 91, 27, 5, 0, 0, 1638, 1638, 912, 393, 136, 36, 6, 0, 0, 6188, 6188, 3549, 1614, 612, 191, 46, 7, 0, 0, 23256, 23256, 13636, 6447, 2601, 897, 257, 57, 8, 0, 0
评论
有关精确定义，请参见Noonan-Zeilberger。
配方奶粉
T（n，k）=C（2n-k-1，n）-C（2n-k-1，n+3）+C（2n-2k-2，n-k-4）-C。
T（n，n-2）=n-2，T。
例子
三角形开始：
0
0, 0
0,0,0
1,1,0,0
6,6,2,0,0
27,27,12,3,0,0
110,110,55,19,4,0,0
429,429,229,91,27,5,0,0
1638,1638,912,393,136,36,6,0,0
6188,6188,3549,1614,612,191,46,7,0,0
23256,23256,13636,6447,2601,897,257,57,8,0,0
...
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=1，15，对于（k=1，n-2，print1）（二项式（2*n-k-1，n）-二项式
按行读取的三角形T（n，k）：T（n、k）=123…n上的置换数，正好有两个abc模式，没有带j<=k的aj模式，对于n>=0，0<=k<=n。
+10
三
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 1, 0, 0, 24, 24, 12, 2, 0, 0, 133, 133, 74, 23, 3, 0, 0, 635, 635, 371, 141, 36, 4, 0, 0, 2807, 2807, 1688, 709, 227, 51, 5, 0, 0, 11864, 11864, 7276, 3248, 1168, 334, 68, 6, 0, 0, 48756, 48756, 30340, 14121, 5459, 1771, 464, 87, 7, 0, 0
评论
请参阅Noonan Zeilberger了解精确定义。
例子
三角形开始：
0,
0,0,
0,0,0,
0,0,0,0,
3,3,1,0,0,
24,24,12,2,0,0,
133,133,74,23,3,0,0,
635,635,371,141,36,4,0,0,
2807,2807,1688,709,227,51,5,0,0,
11864,11864,7276,3248,1168,334,68,6,0,0,
48756,48756,30340,14121,5459,1771,464,87,7,0,0
...
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