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A282629型 |
| Sheffer三角形(exp(x),exp(3*x)-1)。命名为S2[3,1]。 |
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22
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1, 1, 3, 1, 15, 9, 1, 63, 108, 27, 1, 255, 945, 594, 81, 1, 1023, 7380, 8775, 2835, 243, 1, 4095, 54729, 109890, 63180, 12393, 729, 1, 16383, 395388, 1263087, 1151010, 387828, 51030, 2187, 1, 65535, 2816865, 13817034, 18752391, 9658278, 2133054, 201204, 6561, 1, 262143, 19914660, 146620935, 285232185, 210789621, 69502860, 10825650, 767637, 19683
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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对于Sheffer三角形(无限下三角指数卷积矩阵),请参阅下面的W.Lang链接A006232号,带参考)。
m列序列的示例f.为(Sheffer属性)exp(x)*(exp(3*x)-1)^m/m!。
这是Sheffer三角形Stirling2(n,m)的推广=A048993号(n,m)表示为(exp(x),exp(x)-1),可命名为S2[1,0]。
三角形出现在序列{(1+3*m)^n}_{m>=0}的o.g.f.g(n,x)中,如g(n、x)=Sum_{m=0..n}T(n,m)*m*x^m/(1-x)^(m+1),n>=0。因此,相应的例如f.是通过线性拉普拉斯逆变换,e(n,t)=和{m>=0}(1+3*m)^n t^m/m!=exp(t)*Sum_{m=0..n}t(n,m)*t^m。
对应的具有反向行的欧拉三角形是rEu(n,k)=Sum_{m=0..k}(-1)^(k-m)*二项式(n-m,k-m)*T(n,k)*k!,0<=k<=n。这是A225117型带有行反转。
Sheffer三角形S2[d,a]的一般行多项式R(d,a;n,x)=和{k=0..n}T(d,a;n,m)*x^m作为Boas-Buck类的特殊多项式满足恒等式(参见参考文献,我们使用Rainville定理50的符号,第141页,适用于指数生成函数)
(E_x-n*1)*R(d,a;n,x)=-n*a*R(d,a;n-1,x)-求和{k=0..n-1}二项式(n,k+1)*(-d)^(k+1)*Bernoulli(k+1。
对于n>m,这需要对列m的序列进行重复:
T(d,a;n,m)=(1/(n-m))*[(n/2)*(2*a+d*m)*T-沃尔夫迪特·朗,2017年8月9日(结束)
三角Sheffer矩阵S2[3,1]的逆矩阵是S1[3,1,有理元素S1[3,1](n,k)=(-1)^(n-k)*A286718型(n,k)/3^k-沃尔夫迪特·朗2018年11月15日
以美国数学家伊萨多·米切尔·谢弗(1901-1992)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月19日
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参考文献
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Ralph P.Boas,Jr.和R.Creighton Buck,分析函数的多项式展开,Springer,1958年,第17-21页,(等式(6.11)中的最后一个符号应该是-)。
Earl D.Rainville,《特殊功能》,麦克米伦公司,纽约,1960年,ch.8,sect。76, 140 - 146.
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链接
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配方奶粉
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从上面给出的z序列中,列m=0的项T(n,0)=1的一个非平凡递归:T(n、0)=n*Sum_{j=0..n-1}z(j)*T(n-1,j),n>=1,T(0,0)=1。
上述a序列中列m>=1项的递归:T(n,m)=(n/m)*Sum_{j=0..n-m}二项式(m-1+j,m-1)*a(j)*T(n-1,m-1+j),m>=1。
行多项式R(n,x)(Meixner型)的递归性:R(n、x)=((3*x+1)+3*x*d_x)*R(n-1,x),带微分d_x,对于n>=1,输入R(0,x)=1。
T(n,m)=和{k=0..m}二项式(m,k)*(-1)^(k-m)*(1+3*k)^n/m!,0<=m<=n。
三角形的示例:exp(z)*exp(x*(exp(3*z)-1))(谢弗型)。
例如,m列的序列为exp(x)*((exp(3*x)-1)^m)/m!(谢弗财产)。
标准三项递归:如果n<m,T(n,-1)=0,T(0,0)=1,T(m,n)=3*T(n-1,m-1)+(1+3*m)*T(n-1,m),如果n>=1。根据T(n,m)公式。与中给出的S2[3,2]的重现性进行比较A225466型.
m列序列的o.g.f.为3^m*x^m/Product_{j=0..m}(1-(1+3*j)*x)。(结束)
就箍筋2而言=A048993号:T(n,m)=和{k=0..n}二项式(n,k)*3^k*Stirling2(k,m),0<=m<=n-沃尔夫迪特·朗2017年4月13日
列序列m:T(n,m)=(1/(n-m))*[(n/2)*(2+3*m)*T(n-1,m)+m*Sum_{p=m..n-2}二项式(n,p)(-3)^-沃尔夫迪特·朗2017年8月9日
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例子
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三角形T(n,m)开始于:
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0: 1
1: 1 3
2: 1 15 9
3: 1 63 108 27
4: 1 255 945 594 81
5: 1 1023 7380 8775 2835 243
6: 1 4095 54729 109890 63180 12393 729
7: 1 16383 395388 1263087 1151010 387828 51030 2187
8:1 65535 2816865 13817034 18752391 9658278 2133054 201204 6561
9:1 262143 19914660 146620935 285232185 210789621 69502860 10825650 767637 19683
。。。
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z序列中m=0列的非平凡递归:T(4,0)=4*(1*1+63*(-1/6)+108*(11/54)+27*(-49/108))=1。
a序列中m=2列的递归:T(4,2)=(4/2)*(1*63*3+2*108*(3/2)+3*27*(-3/6))=945。
行多项式R(3,x)(Meixner型)的递归:((3*x+1)+3*x*d_x)*(1+15*x+9*x^2)=1+63*x+108*x^2+27*x^3。
n=1的E.g.f.和o.g.f.的幂{(1+3*m)^1}_{m>=0}A016777号:E(1,x)=exp(x)*(T(1,0)+T(1、1)*x)=exp(x)*(1+3*x)。O.g.f.:g(1,x)=T(1,0)*0/(1-x)+T(1,1)*1*x/(1-x)^2=(1+2*x)/(1-x)^2。
列m=2和n=4:T(4,2)=(1/2)*[2*(2+3*2)*T(3,2)+2*6*(-3)^2*bernoulli(2)*T(2,2))]=(1/2)*(16*108+12*9*(1/6)*9)=945的Boas-Buck递推-沃尔夫迪特·朗2017年8月9日
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数学
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表[总和[二项式[m,k](-1)^(k-m)(1+3 k)^n/m!,{k,0,m}],{n,0,9},{m,0,n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2017年4月8日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)T(n,m)=总和(k=0,m,二项式(m,k)*(-1)^(k-m)*(1+3*k)^n/m!);
对于(n=0,9,对于(m=0,n,打印1(T(n,m),“,”););打印();)\\印地瑞尼Ghosh2017年4月8日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000012号,A000244号,A006232号/A006233号,A016777号,A024036号,A111577号,A225117型,A225466型,A284857型,A284858型,A284859型,A284860型,A284861型,A286718型.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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