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1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 6, 0, 1, 0, 5, 0, 10, 0, 1, 1, 0, 15, 0, 15, 0, 1, 0, 7, 0, 35, 0, 21, 0, 1, 1, 0, 28, 0, 70, 0, 28, 0, 1, 0, 9, 0, 84, 0, 126, 0, 36, 0, 1, 1, 0, 45, 0, 210, 0, 210, 0, 45, 0, 1, 0, 11, 0, 165, 0, 462, 0, 330, 0, 55, 0, 1, 1, 0, 66, 0, 495, 0, 924
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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行给出多项式p_n（x）=Sum_{k=0..n}（k+1 mod 2）*二项式（n，k）*x^（n-k）的系数，例如f.exp（x*t）*cosh（t）=1*（t^0/0！）+x*（t*1/1！）+（1+x^2）*（t*2/2！）+-彼得·卢什尼，2009年7月14日
调用此数组M，对于k=0,1,2，。。。将M（k）定义为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0 M/将k X k单位矩阵I_k作为左上块；特别地，M（0）=M。无限矩阵乘积M（0，M（1）*M（2）*。。。等于A136630型但省略了第一行和第一列-彼得·巴拉2014年7月28日
行多项式SKv（n，x）=[（x+1）^n+（x-1）^n]/2，例如f.cosh（t）*exp（xt），是A119879号（基本上是瑞士刀多项式SK（n，x）153641英镑)；即本影SKv（n，SK（.，x））=x^n=SK（n，SKv（.，x））。因此，该条目的矩阵和A119879号是一对反比。这两个多项式序列都是Appell序列，即d/dx P（n，x）=n*P（n-1，x）和（P（.，x）+y）^n=P（n、x+y）。特别是，（SKv（.，0）+x）^n=SKv（n，x），这表明第一列具有e.g.f.cosh（t）。提升算子为R=x+tanh（d/dx）；即，R SKv（n，x）=SKv（n+1，x）。该算子的系数基本上是有符号的和充气的zag数A000182号，可以表示为标准化伯努利数。三角形是由下三角Pascal矩阵的第n对角线乘以cosh（x）的Taylor级数系数a（n）形成的。这类三角形及其逆三角形的更多关系由A133314号. -汤姆·科普兰2015年9月5日
该矩阵的有符号版本具有例如f.cos（t）e^{xt}，生成的Appell多项式只有实数简单零点，其极值在x轴上方为最大值，在下一个低阶多项式零点上方和下方为最小值。双变量版本出现在Dimitrov和Rusev的第27页，其条件是整个函数是一类函数的余弦变换，只有实数零-汤姆·科普兰2020年5月21日
当k接近随机矩阵P^（2k-1）的无穷大时，三角形的第n行乘以极限第一行的元素2^（n-1）得到，其中P是与n个球的Ehrenfest模型相关联的随机矩阵。随机矩阵P的元素给出了在给定前一状态i的情况下到达状态j的概率。特别是，矩阵每一行的和必须是1，因此该三角形第n行的项之和是2^（n-1）。此外，根据马尔可夫链的性质，我们可以将P^-卢卡·奥尼斯2023年10月29日
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参考文献
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Paul和Tatjana Ehrenfest，《Boltzmannsche H定理》，第8卷（1907年），第311-314页。
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链接
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D.Dimitrov和P.Rusev，整个傅里叶变换的零点《东方近似杂志》，第17卷，第1期，第1-108页，2011年。
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公式
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G.f.：（1-x*y）/（1-2*x*y-x^2+x^2*y^2）；
T（n，k）=C（n，k）*（1+（-1）^（n-k））/2；
k列有g.f.（1/（1-x^2）（x/（1-x*2））^k*Sum_{j=0..k+1，二项式（k+1，j）*sin（（j+1）*Pi/2）^2*x^j}。
k列有例如cosh（x）*x^k/k-保罗·巴里，2006年5月26日
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示例
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三角形开始
1,
0, 1,
1, 0, 1,
0, 3, 0, 1,
1, 0, 6, 0, 1,
0, 5, 0, 10, 0, 1,
1, 0, 15, 0, 15, 0, 1,
0, 7, 0, 35, 0, 21, 0, 1,
1, 0, 28, 0, 70, 0, 28, 0, 1,
0, 9, 0, 84, 0, 126, 0, 36, 0, 1,
1, 0, 45, 0, 210, 0, 210, 0, 45, 0, 1
p[0]（x）=1
p[1]（x）=x
p[2]（x）=1+x^2
p[3]（x）=3*x+x^3
p[4]（x）=1+6*x^2+x^4
p[5]（x）=5*x+10*x^3+x^5
与的连接A136630型：对于注释部分中定义的数组M（k），无穷乘积M（0）*M（1）*M（2）*。。。开始
/1 \/1 \/1 \ /1 \
|0 1 ||0 1 ||0 1 | |0 1 |
|1 0 1 ||0 0 1 ||0 0 1 |... = |1 0 1|
|0 3 0 1 ||0 1 0 1 ||0 0 0 1 | |0 4 0 1 |
|1 0 6 0 1||0 0 3 0 1||0 0 1 0 1| |1 0 10 0 1|
|... ||... ||... | |... |
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MAPLE公司
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#多项式：p_n（x）
p:=进程（n，x）局部k，pow；pow:=（n，k）->`如果`（n=0且k=0，1，n^k）；
加法（（k+1模2）*二项式（n，k）*pow（x，n-k），k=0..n）结束；
#系数：a（n）
seq（打印（seq（系数（i！*）*系数（系列（exp（x*t）*cosh（t），t，16），t（i），x，n），n=0..i）），i=0..8）#彼得·卢什尼2009年7月14日
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数学
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表[二项式[n，k]（1+（-1）^（n-k））/2，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*迈克尔·德弗利格2015年9月6日*）
n=15；“第n行”
mat=表[表[0，{j，1，n+1}]，{i，1，n+1}]；
垫[1,2]=1；
垫[[n+1，n]]=1；
对于[i=2，i<=n，i++，mat[[i，i-1]]=（i-1）/n]；
对于[i=2，i<=n，i++，mat[[i，i+1]]=（n-i+1）/n]；
mat//矩阵形式；
P2=点[mat，mat]；
R1=简化[
特征向量[Transpose[P2]][[1]/
总[特征向量[转座[P2]][[1]]]]
R2=表格[Dot[R1，Transpose[mat][[k]]]，{k，1，n+1}]
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
@缓存函数
R=多项式环（ZZ，'x'）
x=R.发电机（）
如果n==0，则返回R.one（），否则返回R.sum（二项式（n，k）*x^（n-k），用于范围（0，n+1，2）中的k）
（哈斯克尔）
a19467 n k=a19467_tabl！！不！！k个
a19467_row n=a19467_tabl！！n个
a11967_tabl=地图（地图（翻转div 2））$
zipWith（zipWith+）a007318_tabl a130595_tabl
（岩浆）/*作为三角形*/[[二项式（n，k）*（1+（-1）^（n-k））/2:k in[0..n]]：n in[0..15]]//文森佐·利班迪2015年9月26日
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交叉参考
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p[n]（k），n=0.1，。。。
p[n]（k），k=0,1，。。。
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关键词
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作者
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扩展
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