双中心四边形结构简单:
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双中心四边形的简易构造
四边形是双中心的如果两者都是可铭文的和可限制的. (可刻字的意味着承认一个内圆。可加分界表示循环,即允许外接圆。)双中心四边形可能看起来很奇怪,但小程序显示了如何轻松构建这种四边形。(另一种结构出现在其他地方.)
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设ABCD是一个顶点位于给定圆上的循环四边形w个。假设ABCD也是正交对角线即。,AC(巴西)。然后通过切线形成四边形PQRSw个ABCD的顶点是双中心的。(它可以通过构造来铭刻。因此,断言是关于它是可限定的-循环的。)反过来也是正确的:如果PQRS是循环的,那么ABCD的对角线是正交的。此外,如果PQRS是循环的,则ABCD对角线的交点E与两个圆的中心I和O共线。
后一种说法可以重新表述。我们知道这一点,循环四边形(本例中为ABCD)的对角线与由ABCD及其内切圆的切点形成的四边形的对角角线是并行的。因此,我们可以说,对于双中心四边形,对角线M、中心I和外心O的交点共线。
证明
首先注意以下角度恒等式
(1) | ∠QCB=∠BCQ=∠BAC=∠BDC=α。 |
(2) | ∠ADS=∠DAS=∠ABD=∠ACD=β。 |
(3) | ∠AEB=∠CED=γ。 |
我们必须证明ABCD的对角线是正交的,即。,γ = 90°,若(iff)
或者,相同的是,iff
现在,在ΔBCQ中,
因此,从(1)
在ΔADS中,
因此,从(2)
因此,在ΔABE中,
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γ | = 180° - α - β |
| =180°-(180°-∠BQC)/2-(180角度-∠ASD)/2 |
| =(∠BQC+∠ASD)/2 |
| =(∠PQR+∠PSR)/2, |
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这证明了断言的第一部分。I、O和E共线的事实已经在[杜布罗夫斯基]和[霍斯伯格]. 一个绝对美味的证据出现的结果是另一种结构双中心四边形。
工具书类
- G.Bennett,双中心四边形和踏板n个-贡,英寸数学的光明面,R.K.Guy和R.E.Woodrow,eds,MAA,1994年,第97页
- J.L.Coolidge,论圆与球,AMS-Chelsea出版社,1971年,第45页
- H.Dorrie,初等数学100大问题《多佛出版》,纽约,1965年,第188-193页
- V.N.杜布罗夫斯基,问题解决方案M1154,量子,n 8,1989,pp 34-35(俄语),pdf可在https://kvant.mccme.ru/1989/08/p34.htm.
- R.A.约翰逊,高级欧几里德几何(现代几何),多佛,1960年,第95页
- R.Honsberger,在Pólya的足迹中,MAA,1999年,第100-101页
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双中心四边形
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