用户：Peter Luschny/AignerTriangles

Aigner三角形

关键词：正交多项式、雅可比分数、广义莫茨金数，加权Motzkin路径，二进制序列运算。

与序列有关：

A000165号,A000296号,A000698号,A001006号,A023443号,A026300型,A049310型,A049347号,A053121号,A056594号,A064189号,A066325号,A098742号,A099174号,A104562号,A123023号,A123023号,A126120号,A137286号,A137338号,A216916型,A217537型,217538英镑.

操作Z^N个x Z轴^N个→ Z轴^N个

让我们用N和表示非负数整数乘以Z。给定两个序列

• s： N个→ Z轴
• t： N个→ Z轴

我们关联一个下三角矩阵a，通过递归构建

• A（0,0）=1；A（0，k）=0；
• A（n，k）=A（n-1，k-1）+s（k）*A（n-1，k）+t（k+1）*A（n-1，k+1）。

该矩阵称为s和t的Aigner三角形提供t（0）=1，t（n）<>0，适用于所有n。

让dim表示三角形的行数。我们无法计算s和t的Aigner三角形，Sage为

定义ATri（s，t，dim）：T=矩阵（SR，dim，dim）对于范围（dim）内的n：T[n，n]=1对于n in（1..dim-1）：对于k in（0..n-1）：T[n，k]=T[n-1，k-1]+s（k）*T[n-1，k]+T（k+1）*T[n-1，k+1]返回T

注意，根据定义，我们的对角线总是等于1。我们最感兴趣的是这个三角形的第一列。

def ASeq（s，t，dim）：返回ATri（s，tdim）。列（0）

因此我们有一个操作Z^N个x Z轴^N个→ Z轴^N个我们将结果序列称为s，t对应的广义Motzkin数.

修正的Charlier多项式

…和不带单例的不可分解集分区

此操作的第一个示例：让

s=λn：n+1t=λn:n+1

然后ATri（s，t，9）给出

11个3     3     1     9    12     6     1     33    51    34    10     1135   237   193    79    15     1609  1188  1132   584   160    21     12985  6381  6920  4268  1510   293    28     115747 36507 44213 31542 13576  3464   497    36     1

ASeq（s，t，12）给出了对应于（s，t）=（n+1，n+1）的广义Motzkin数，哪些是

1、1、3、9、33、135、609、2985、15747、88761、531561。。。

在数据库中查找我们发现不可分解的数量设置[1..n+2]的分区（在我们的枚举中），Knuth的A098742号和三角形A216916型.

由于s和t的Aigner三角形是可逆的，我们也可以考虑逆矩阵，它也是一个对角等于1

定义IATri（s，t，dim）：M=ATri（s，t，dim）return M.反转（）

例如，带有上述s和t的IATri（s，t，9）给出

1-1      10     -3      13      6     -6      1-12     -9     26    -10      145      3   -109     71    -15      1-198     81    501   -475    155    -21     11071   -786  -2663   3329  -1455    295   -28    1-6984   6711  16510 -25495  13729  -3647   511  -36   1

这个三角形有一个很好的解释：它给出了修正Charlier多项式由崛起的大国命令。在数据库中，它们是由输入的R.L.Bagula，A137338号.

顺便说一下，修改后的Charlier多项式满足递归性

C（n，x）=如果n>0，则（x-n）*C（n-1，x）-n*C（n-2，x）elif n=0，然后为1，否则为0。

我们称之为Aigner三角形倒数的第一列这个对应于（s，t）的逆广义Motzkin数.它们可以通过以下公式计算

def IASeq（s，t，dim）：返回IATri

在我们的示例中，我们发现：

1, -1, 0, 3, -12, 45, -198, 1071, -6984, 53217, -462330, ..

数据库中尚未包含此序列。

正交多项式

我们计算倒三角形的方法是费力。首先我们计算三角形ATri（s，t），然后计算了相反的结果。然而，还有一个更好的计算IATri（s，t）的方法，也就是直接通过递归来自s和t。

• A*（0,0）=1；A*（0，k）=0；
• A*（n+1，k）=A*（n，k-1）-s（n）A*。

现在，我们可以用更高效的IATri替代常规IATri：

定义IATri（s，t，dim）：T=矩阵（SR，dim，dim）对于范围（dim）内的n：T[n，n]=1对于n in（0..dim-2）：对于k in（0..n）：T[n+1，k]=T[n，k-1]-s（n）*T[n返回T

我们已经在上面看到，我们可以将多项式族联系起来（修正的Charlier多项式）与Aigner三角形对应于（s（n）=n+1，t（n）=n+1）。这样一个协会一般来说是可能的。为此，我们定义了一个递归系统

• 第页₀（x） =1；
• 第页_n+1（x） =（x-s_n个)对_n个（x） -吨_n个第页_n-1个（x） ●●●●。                 (*)

与圣人一起实施：

定义多边形（s，t，n，x）：如果n<0：返回0如果n==0：返回1p=（x-s（n-1））*聚乙烯（s，t，n-1，x）-t（n-1返回展开（p）

继续我们的示例：

对于n in（0..7）：多边形（s，t，n，x）1x-1x^2-3*xx^3-6*x^2+6*x+3x^4-10*x^3+26*x^2-9*x-12x^5-15*x^4+71*x^3-109*x^2+3*x+45x^6-21*x^5+155*x^4-475*x^3+501*x^2+81*x-198

正如我们预期的那样，这些又是修改过的Charlier多项式。

现在，上面（*）中定义的多项式有什么特别之处吗？确实有。这在Favard的一个定理中描述：

多项式序列p_n个（x） 形成一个正交系统当且仅当（*）对p成立_n个（x） 对于一些序列s和t。

相关的Hankel矩阵

为了证明这个定理，我们必须再引入两个实体与s和t的每个Aigner三角形相关。

第一个是琐碎的：我们将部分积序列与t联系起来T型_n个=t₀t吨₁t吨₁……t_n个和用于符号的便利性——对角线矩阵T，暗示如下：

T_0（T_0）T_1 0T_2（T_2）0            ..

使用Sage可以轻松计算T：

定义T（T，dim）：M=矩阵（SR，dim，dim）对于范围内的n（dim）：M[n，n]=mul（t（i）for i in（0..n））返回M

继续我们的示例，我们发现：

T（T，7）[   1    0    0    0    0    0    0][   0    2    0    0    0    0    0][   0    0    6    0    0    0    0][0 0 0 24 0 0][   0    0    0    0  120    0    0][   0    0    0    0    0  720    0][   0    0    0    0    0    0 5040]

我们要关联的第二个实体艾格纳三角更吸引人：它是ASeq（s，t）的Hankel矩阵，对应于s，t的广义Motzkin数（见上文）。

定义Hankel（f，dim）：H=矩阵（SR，dim，dim）对于范围内的i（dim）：对于范围内的j（dim）：H[i，j]=f[i+j]返回H定义汉字（s，t，dim）：b=ASeq（s，t，2*dim-1）#广义Motzkin数wrt s，t。返回汉克尔（b，dim）

现在，技术底线可以简单地表述为：

测定H_n个=检测温度_n个对于所有n。

让我们用示例来检查一下：

[（1..7）中n的Han（s，t，n）.det（）][1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000][（1..7）中n的T（T，n）.det（）][1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000]

这些是超因子A000178号.

一般底线现在可以表述为：

一个数列是广义的Motzkin数，对应于到一些s，t当且仅当det H_n个对于所有n，<>0。

我们还将查看三角形的行和和交替行和：

定义总和（L）：return add（L[k]表示范围内的k（len（L）））定义AltSum（L）：return abs（范围（len（L））中的k加上（（-1）^k*abs（L[k]））

让我们总结一下迄今为止的发现：

s（n）=n+1，t（n）=n+1

	三角形	序列	总和	AlterSum公司
自动变速箱	A216916型	A098742号	-	-
自动变速箱-1	A137338号	-	-	-
	汉克尔：	A000178号	聚：	修改后的Charlier

Motzkin数和移位切比雪夫多项式

现在让我们看第二个示例，它是特征一：设置s（n）=t（n）=1。这将给我们这个Urform公司在这里研究的所有关系中。

s=λn:1t=λn:1ATri（s，t，9）#A064189号 A026300型[  1   0   0   0   0   0   0   0   0][  1   1   0   0   0   0   0   0   0][  2   2   1   0   0   0   0   0   0][  4   5   3   1   0   0   0   0   0][  9  12   9   4   1   0   0   0   0][ 21  30  25  14   5   1   0   0   0][ 51  76  69  44  20   6   1   0   0][127 196 189 133  70  27   7   1   0][323 512 518 392 230 104 35 8 1]ASeq（s、t、12）#A001006号1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798ASum（s，t，12）#A005773号1, 2, 5, 13, 35, 96, 267, 750, 2123, 6046, 17303IATri（s，t，9）#A104562号[  1   0   0   0   0   0   0   0   0][-1 1 0 0 0 0 0 0 0][  0  -2   1   0   0   0   0   0   0][  1   1  -3   1   0   0   0   0   0][ -1   2   3  -4   1   0   0   0   0][  0  -4   2   6  -5   1   0   0   0][  1   2  -9   0  10  -6   1   0   0][ -1   3   9 -15  -5  15  -7   1   0][  0  -6   3  24 -20 -14  21  -8   1]IASeq（s，t，12）#A049347号1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0IA总和（s，t，12）#A056594号1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, [（1..7）中n的Han（s，t，n）.det（）][1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]   #A000012号 

所以我们可以总结一下：序列对s（n）=t（n）=1映射莫茨金三角形和莫茨金数。行总和是大小为n的定向动物数量A005773号和交替求Riordan数A005043号.

s（n）=1，t（n）=1

	三角形	序列	总和	AlterSum公司
自动变速箱	A064189号,A026300型	A001006号	A005773号	A005043号
自动变速箱-1	A104562号	A049347号	A056594号	-
	汉克尔：	A000012号	聚：	切比雪夫

加泰罗尼亚数和切比雪夫多项式

我们的第三个示例给出了最重要的特殊情况艾格纳三角形。在这里，我们设置s（n）＝0并且t（n）＝1。

s=λn:0t=λn:1ATri（s，t，9）#A053121号[ 1  0  0  0  0  0  0  0  0][ 0  1  0  0  0  0  0  0  0][ 1  0  1  0  0  0  0  0  0][ 0  2  0  1  0  0  0  0  0][ 2  0  3  0  1  0  0  0  0][ 0  5  0  4  0  1  0  0  0][ 5  0  9  0  5  0  1  0  0][ 0 14  0 14  0  6  0  1  0][14  0 28  0 20  0  7  0  1]ASeq（s，t，12）#A126120号1, 0, 1, 0, 2, 0, 5, 0, 14, 0, 42, 0ASum（s，t，12）#A001405号1, 1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126,IATri（s，t，9）#A049310型[  1   0   0   0   0   0   0   0   0][  0   1   0   0   0   0   0   0   0][ -1   0   1   0   0   0   0   0   0][  0  -2   0   1   0   0   0   0   0][  1   0  -3   0   1   0   0   0   0][  0   3   0  -4   0   1   0   0   0][ -1   0   6   0  -5   0   1   0   0][0-4 0 10 0-6 0 1 0][1 0-10 0 15 0-7 0 1]IASeq（s，t，12）#A056594号1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, IA总和（s，t，12）#A010892号1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, [（1..7）中n的Han（s，t，n）.det（）][1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]  #A000012号 

因此我们发现：序列对s（n）=0和t（n）=1地图显示了加泰罗尼亚三角形和充气的加泰罗尼亚数字。交替反三角形的行和是斐波那契数A000045号.

s（n）=0，t（n）=1

	三角形	序列	总和	AlterSum公司
自动变速箱	A053121号	A126120号	A001405号	A001405号
自动变速箱-1	A049310型	A056594号	A010892号	A000045号
	汉克尔：	A000012号	聚：	切比雪夫

设置没有单例的分区

我们回到第一个例子，但是一个小的修改。

s=λn：nt=λn：n，如果n>0，否则为1ATri（s，t，9）#A217537号[   1    0    0    0    0    0    0    0    0][   0    1    0    0    0    0    0    0    0][   1    1    1    0    0    0    0    0    0][   1    4    3    1    0    0    0    0    0][   4   11   13    6    1    0    0    0    0][  11   41   55   35   10    1    0    0    0][  41  162  256  200   80   15    1    0    0][ 162  715 1274 1176  595  161   21    1    0][ 715 3425 6791 7182 4361 1526  294   28    1]ASeq（s，t，12）#A000296年1、0、1、1、4、11、41、162、715、3425、17722、98253，ASum（s，t，12）#A217924型1, 1, 3, 9, 35, 153, 755, 4105, 24323, 155513, IATri（s，t，9）[    1     0     0     0     0     0     0     0     0][    0     1     0     0     0     0     0     0     0][   -1    -1     1     0     0     0     0     0     0][    2    -1    -3     1     0     0     0     0     0][-3 8 5-6 1 0 0 0][    4   -31     0    25   -10     1     0     0     0][   -5   119   -56   -95    70   -15     1     0     0][    6  -533   455   364  -455   154   -21     1     0][   -7  2904 -3326 -1428  3059 -1428   294   -28     1]IASeq（s，t，12）#（-1）^（n+1）*A023443号（n）1, 0, -1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, 10, -11, 12, -13, IA总和（s，t，12）#A165900个1, 1, -1, -1, 5, -11, 19, -29, 41, -55, 71, -89, 109, [（1..7）中n的Han（s，t，n）.det（）]#A000178号[1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200]

s（n）=n，t（n）=n

	三角形	序列	总和	AlterSum公司
自动变速箱	A217537号	A000296号	A217924型	A000012号
自动变速箱-1	-	A023443号	A165900个	-
	汉克尔：	A000178号	聚：	对

费曼图和修正的埃尔米特多项式

接下来，让我们看看如果我们选择s（n）=0和t（n）=n+1。

s=λn:0t=λn:n+1ATri（s，t，9）#A217538型[   1    0    0    0    0    0    0    0    0][   0    1    0    0    0    0    0    0    0][   2    0    1    0    0    0    0    0    0][   0    5    0    1    0    0    0    0    0][  10    0    9    0    1    0    0    0    0][   0   37    0   14    0    1    0    0    0][74 0 93 0 20 0 1 0 0][   0  353    0  193    0   27    0    1    0][ 706    0 1125    0  355    0   35    0    1]Aseq（s，t，13）#充气A000698号1, 0, 2, 0, 10, 0, 74, 0, 706, 0, 8162, 0, 110410,阿斯姆（s，t，13）#1, 1, 3, 6, 20, 52, 188, 574, 2222, 7626, 31350,IATri（s，t，9）#A137286号[   1    0    0    0    0    0    0    0    0][   0    1    0    0    0    0    0    0    0][  -2    0    1    0    0    0    0    0    0][   0   -5    0    1    0    0    0    0    0][   8    0   -9    0    1    0    0    0    0][   0   33    0  -14    0    1    0    0    0][ -48    0   87    0  -20    0    1    0    0][   0 -279    0  185    0  -27    0    1    0][ 384    0 -975    0  345    0  -35    0    1]IASeq（s，t，12）#充气A000165号1, 0, -2, 0, 8, 0, -48, 0, 384, 0, -3840, 0IASum（s，t，13）#1, 1, -1, -4, 0, 20, 20, -120, -280, 800, 3600[（1..7）中n的Han（s，t，n）.det（）]#A000178号（n+1）[1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000]

最有趣的观察是与A000698美元。倒三角形是A137286号，变量的系数埃尔米特多项式。之前缺失的Aigner三角形现在是A217538型.

s（n）=0，t（n）=n+1

	三角形	序列	总和	AlterSum公司
自动变速箱	A217538型	A000698美元	-	-
自动变速箱-1	A137286号	A000165号	-	A000932号
	汉克尔：	A000178号	聚：	修改的Hermite

施罗德第三问题与厄米特多项式

上述内容的变体为：

s=λn:0t=λn：n，如果n>0，否则为1ATri（s，t，9）#A099174号[  1   0   0   0   0   0   0   0   0][  0   1   0   0   0   0   0   0   0][  1   0   1   0   0   0   0   0   0][  0   3   0   1   0   0   0   0   0][  3   0   6   0   1   0   0   0   0][  0  15   0  10   0   1   0   0   0][ 15   0  45   0  15   0   1   0   0][  0 105   0 105   0  21   0   1   0][105   0 420   0 210   0  28   0   1]ASeq（s，t，13）#A123023号1, 0, 1, 0, 3, 0, 15, 0, 105, 0, 945, 0, 10395,ASum（s，t，13）#A000085号1、1、2、4、10、26、76、232、764、2620、9496，IATri（s，t，9）#A066325号[   1    0    0    0    0    0    0    0    0][   0    1    0    0    0    0    0    0    0][  -1    0    1    0    0    0    0    0    0][   0   -3    0    1    0    0    0    0    0][   3    0   -6    0    1    0    0    0    0][   0   15    0  -10    0    1    0    0    0][ -15    0   45    0  -15    0    1    0    0][0-105 0 105 0-21 0 1 0][ 105    0 -420    0  210    0  -28    0    1]IASeq（s，t，12）#A123023号1, 0, -1, 0, 3, 0, -15, 0, 105, 0, -945, 0, 10395, IA总和（s，t，13）#A001464号1, 1, 0, -2, -2, 6, 16, -20, -132, 28, 1216, 936,[（1..7）中n的Han（s，t，n）.det（）]#A000178号[1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000]

如果n>0，则s（n）=0，t（n）=n，否则为1

	三角形	序列	总和	AlterSum公司
自动变速箱	A099174号	A123023号	A000085号	A000085号
自动变速箱-1	A066325号	A123023号	A001464号	A000085号
	汉克尔：	A000178号	聚：	埃尔米特

雅可比分数

是时候回到一些概念上来了。这个雅可比分数是形式的连续部分

$｛\displaystyle C＝｛\frac｛\beta_{0}x^{2} }{1-\alpha_{0}x-}}{\frac{\beta_{1} x个^{2} }{1-\alpha_{1} x个-}}{\frac{\beta_{2} x^{2} ｛1-\阿尔法_{2} x个-}}\点}{0}x^{2} }{1-\alpha_{0}x-}}{\frac{\beta_{1} x个^{2} }{1-\alpha_{1} x个-}}{\frac{\beta_{2} x^{2} ｛1-\阿尔法_{2} x个-}}\点}$

关于数学函数数字图书馆的更多信息：DLMF公司

让我们提出一个问题：如果我们输入序列会发生什么将s和t配对成雅可比分数？

#Jcf评估Jacobi类型的连续分数#使用反向重复。定义Jcf（s，t，n）：c=0对于范围（n，0，-1）中的k：a=1-s（k）*xb=t（k）*x ^2c=b/（a-c）c=1/（1-s（0）*x-c）return c.simplify_full（）

• 这个加泰罗尼亚的例子（s（n）=0，t（n）=1）给出了：

对于（0..6）中的n：Jcf（s，t，n）1-1/（x^2-1）（x^2-1）/（2*x^2-1）-（2*x^2-1）/（x^4-3*x^2+1）（x^4-3*x^2+1）/（3*x*4-4*x^2+1）-（3*x^4-4*x^2+1）/（x^6-6*x^4+5*x^2-1）（x^6-6*x^4+5*x^2-1）/（4*x^6-10*x^4+6*x^2-1）

接下来，让我们看看如果我们扩展这些，可以恢复什么有理函数。

对于n in（0..6）：n，泰勒（Jcf（s，t，n），x，0,2*n）(0) 1（1） 1+1*x^2（2） 1+1*x^2+2*x^4（3） 1+1*x^2+2*x^4+5*x^6（4） 1+1*x^2+2*x^4+5*x^6+14*x^8（5） 1+1*x^2+2*x^4+5*x^6+14*x^8+42*x^10（6） 1+1*x^2+2*x^4+5*x^6+14*x^8+42*x^10+132*x^12

• 在莫茨金案件（s（n）=1，t（n）=1）我们发现：

对于（0..5）中的n：Jcf（s，t，n）1/（x-1）（x-1）/（2*x-1）-（2*x-1）/（x^3+x^2-3*x+1）-（x^3+x^2-3*x+1）/（x^4-2*x^3-3*x^2+4*x-1）（x^4-2*x^3-3*x^2+4*x-1）/（4*x^4-2*x^3-6*x^2+5*x-1）-（4*x^4-2*x^3-6*x^2+5*x-1）/（x^6+2*x^5-9*x^4+10*x^2-6*x+1）并进行了扩展：(0) 1（1） 1+x+2*x^2（2） 1+x+2*x^2+4*x^3+9*x^4（3） 1+x+2*x ^2+4*x ^3+9*x ^4+21*x ^5+51*x ^6（4） 1+x+2*x ^2+4*x ^3+9*x ^4+21*x ^5+51*x ^6+127*x ^7+323*x ^8

因此我们可以看到：用n求无穷大得到无穷大的J分数和{n≥0}ASeq的展开式_n个（s，t）z^n个换句话说，我们建立的普通生成函数与s和t（至多n）相关的广义Motzkin数.

加权Motzkin路径

我们已经看到了各种各样的组合序列由Aigner三角形产生，可递归计算并将雅可比分数作为生成函数。它们产生正交多项式，实际上（）所有可能的正交多项式的系数可以是从Aigner三角形中发现。

但锦上添花的是有一套制服对所有这些物体的组合解释。这个名称是加权Motzkin路径.

Motzkin路径是R中的路径²从（0，0）到（n，0）包含一系列步骤，前提是它永远不会低于x轴。允许使用三种类型的步骤，用（1,1）、（1,0）和（1，-1）表示，分别称为上台阶、水平台阶和下台阶。

我们将在这里使用Motzkin路径，方法是让1表示中的步骤方向（1,1）和0表示方向（1,0）上的步长和-1表示方向（1，-1）上的步骤。至少当我们编码。当漂亮地打印路径时，我们将使用字母“0”、“-1”和“1”分别为“H”、“D”和“U”。

定义steps_to_string（S）：Z=“”对于s中的s：如果s==0:Z+='H'#水平台阶elif s==-1:Z+='D'#下一步elif s==1:Z+='U'#上一步返回Z定义打印所有MotzkinPaths（n）：P=iter（MotzkinPaths（n））对于p中的p：打印步骤到字符串（p），返回打印所有MotzkinPaths（5）HHHHH HHHUD HHHHD HHUDH HUHH HUHD HUHHDHUUDD UHHHD UHHDH UHDH UHDUD UHUD UDHHH UDHU乌德乌德乌德乌德乌德乌德

在这里，我们使用了以下由Dan Drake编写的优雅的Sage函数生成Motzkin路径。

#版权所有（C）2011 Dan Drake。此程序是免费软件：#您可以重新发布和/或根据以下条款修改它#由Free发布的GNU通用公共许可证#Software Foundation，许可证版本2，或（位于#您的选项）任何更高版本。请参见：http://www.gnu.org/licenses（http://www.gnu.org/licenses）从sage.combinat.backtrack导入GenericBacktracker类MotzkinPaths（GenericBacktracker）：def __init__（self，n，h=无）：GenericBacktracker__init__（自身，[]，（0，0））自我_n=n如果h不是None：self.max_ht=h其他：self.max_ht=n定义（自身、路径、状态）（_R）：len，ht=状态如果len<self_编号：#如果长度小于n，我们需要继续建造#路径，所以新的长度将增加1，我们#不要放弃这条路。newlen=长度+1#如果新高度不是#超过剩余的新步骤数如果ht<=自身_n-纽伦：屈服路径+[0]，（newlen，ht），False#如果我们不接触x轴，我们可以得到一条路径#最后一步是下降如果ht>0：屈服路径+[-1]，（newlen，ht-1），False#如果新高度不超过#剩余的新步骤数，如果没有#在最大高度如果ht+1<=自身_n-newlen和ht<self.max_ht：屈服路径+[1]，（newlen，ht+1），False其他：#如果长度为n，请将状态设置为“无”，以便停止尝试#创造新的道路，让我们拥有屈服路径，无，真#丹·德雷克《MotzkinPaths》的结尾。

现在是关键的一步。我们将路径与权重相关联，当然，这取决于函数对s和t。

定义重量（s，t，P）：h=0；w=1对于p中的p：如果p==1:h+=1elif p==0:w*=s（h）elif p==-1:w*=t（h）；h-=1；返回w

基本上这句话是：上步的重量是1，水平台阶的重量由下式给出s函数和下一步的权重t函数，其中函数在此点中路径的高度。路径的权重是台阶重量的乘积。

例如，我们发现长度为4且

（一） s（n）=n+1和t（n）=n+1（上面的第一个示例）（二） s（n）=1和t（n）=1（Motzkin情况）（三） s（n）=0和t（n）=1（加泰罗尼亚案例）[一] 【二】【三】--------------------------w（HHHH）=1|1|0w（HHUD）=2|1|0w（HUHD）=4|1|0w（HUDH）=2|1|0w（超高清）=8|1|0w（UHDH）=4|1|0w（UDHH）=2|1|0w（UDUD）=4|1|1w（UUDD）=6|1|1--     -     -33     9     2

该结构的底线是：

长度为n的所有Motzkin路径上的权重之和是与s和t相关的广义Motzkin数。

选定书目

• M.Aigner、加泰罗尼亚语和其他数字：一个反复出现的主题。收录于：代数组合数学与计算机科学，斯普林格2001年。（我们称之为这里的Aigner矩阵Aigner称为“递归矩阵”。然而，该术语与不同的含义。）
• P.Flajolet，连分式的组合方面，离散数学。32 (1980), 125-161
• C.G.J.Jacobi，沃克，第六卷，第385-426页。
• X.Viennot，Une theéorie组合盖内罗，讲稿，蒙特利尔（1984年）。
• H.Wronski，技术算法哲学：Loisupríme和universelle。1815-1817年巴黎