搜索： a159697-编号：a159697
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0, 1, 1, 4, 3, 2, 12, 8, 5, 3, 32, 20, 12, 7, 4, 80, 48, 28, 16, 9, 5, 192, 112, 64, 36, 20, 11, 6, 448, 256, 144, 80, 44, 24, 13, 7, 1024, 576, 320, 176, 96, 52, 28, 15, 8, 2304, 1280, 704, 384, 208, 112, 60, 32, 17, 9, 5120, 2816, 1536, 832, 448, 240, 128, 68, 36, 19, 10
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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这个三角形可以在Laisant参考文献中找到，其形式如下：
.......................5...11..
...................4...9...20..
...............3...7..16...36..
...........2...5..12..28.......
.......1...3...8..20..48.......
…0…1…4..12.32..80……（结束）
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链接
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C.-A.Laisant，sommes表格-新应用，Compt.公司。法国科学进步协会，Aout 04 1893，第206-216页（第212页给出的表格）。
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配方奶粉
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如果k>n，A（n，n）=n，则A（n、k）=A（n；k-1）+A（n+1，k）。
如果k>=n，A（n，k）=（k+n）*2^（k-n-1）。
T（n，k）=2^（n-k-1）*（n+k）对于0≤k≤n，n>=0。
T（m*n，n）=2^（（m-1）*n-1）*（m+1）*A001477号（n） ，m>=1。
和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）=3*A073371号（n-2），n>=2。
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例子
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作为下三角（T（n，k））：
0;
1, 1;
4, 3, 2;
12, 8, 5, 3;
32, 20, 12, 7, 4;
80, 48, 28, 16, 9, 5;
192, 112, 64, 36, 20, 11, 6;
448, 256, 144, 80, 44, 24, 13, 7;
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数学
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表[2^（n-k-1）*（n+k），{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年9月28日*）
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程序
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（岩浆）[2^（n-k-1）*（n+k）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2022年9月28日
（SageMath）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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0, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 5, 8, 12, 4, 7, 12, 20, 32, 5, 9, 16, 28, 48, 80, 6, 11, 20, 36, 64, 112, 192, 7, 13, 24, 44, 80, 144, 256, 448, 8, 15, 28, 52, 96, 176, 320, 576, 1024, 9, 17, 32, 60, 112, 208, 384, 704, 1280, 2304, 10, 19, 36, 68, 128, 240, 448, 832, 1536, 2816, 5120
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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对于0≤k≤n，T（n，k）=（2*n-k）*2^（k-1）。
通用公式：和{n>=0，k=0..n}T（n，k）*x^k*T^n=T*（1+x-3*x*T）/（1-T）^2*（1-2*x*T）^2）。
当n>=0时，求和{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）*T（n，k）=0。
当n>=0时，求和{k=0..n}二项式（n，k）*T（n，k）=2*n*3^（n-1）。
为n>=0和p>=0定义数组B（n，p）=（和{k=0..n}二项式（p+k，p）*T（n，k））/（n+p+1）。然后参见Robert Coquereaux（2014）的评论A193844号.猜想：B（n+1，p）=A（n，p）。（结束）
对于k>=1，T（n，k）=T（n、k-1）+T（n-1、k-1-阿洛伊斯·海因茨2022年9月12日
T（m*n，n）=（2*m-1）*A001787号（n） ，对于m>=1。（结束）
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例子
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三角形开始：
0;
1, 1;
2, 3, 4;
3, 5, 8, 12;
4、7、12、20、32；
...
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MAPLE公司
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#第二个Maple项目：
T： =proc（n，k）选项记忆；
`如果`（k=0，n，T（n，k-1）+T（n-1，k-1
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..12）#阿洛伊斯·海因茨2022年9月12日
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数学
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t[0，k_]：=k；t[n，k]：=t[n、k]=t[n-1，k]+t[n-1，k+1]；
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程序
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（岩浆）[2^k*（n-k/2）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2022年9月27日
（SageMath）扁平化（[[2^（k-1）*（2*n-k）对于范围（n+1）中的k）]对于范围（12）中的n）#G.C.格鲁贝尔，2022年9月27日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A079862号
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| a（i）=n=2*i-1的回文成分中9的出现次数=n=2*i的回文组成中10的出现次数。 |
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+10
8
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18、38、80、168、352、736、1536、3200、6656、13824、28672、59392、122880、253952、524288、1081344、2228224、4587520、9437184、19398656、39845888、81788928、167772160、343932928、704643072、1442840576、2952790016、6039797760、1234880976、25232932864
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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10,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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a（n）=（n+8）*2^（n-10）。
当n>11时，a（n）=4*a（n-1）-4*a（n-2）。
总尺寸：-2*x^10*（17*x-9）/（2*x-1）^2。
（结束）
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例子
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a（10）=18，因为包含a 9的19的回文成分是9+1+9，16个成分的形式是c+9+（c的反面），其中c代表5的成分。
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数学
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表[（8+i）*2^（i-10），{i，10，50}]
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程序
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（PARI）Vec（-2*x^10*（17*x-9）/（2*x-1）^2+O（x^100））\\科林·巴克2015年9月29日
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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Silvia Heubach（sheubac（AT）calstatela.edu），2003年1月11日
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状态
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经核准的
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A188553号
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| T（n，k）=在对角、垂直、反对角或水平方向上没有模式0 1的n X k二进制数组的数量。 |
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+10
8
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2, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 8, 7, 5, 6, 12, 12, 9, 6, 7, 17, 20, 16, 11, 7, 8, 23, 32, 28, 20, 13, 8, 9, 30, 49, 48, 36, 24, 15, 9, 10, 38, 72, 80, 64, 44, 28, 17, 10, 11, 47, 102, 129, 112, 80, 52, 32, 19, 11, 12, 57, 140, 201, 192, 144, 96, 60, 36, 21, 12, 13, 68, 187, 303, 321, 256, 176
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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此外，T（n，k）是长度为k，x（1）x（2）。。。x（k），在字母{0,1，…，n}上，这样，对于i=2，。。。，k、 x（i）=x（i-1）或x（i）=x（i-l）-1。
对于数组和序列之间的双射，请注意第i列由1和0组成，其中x（i）=0到n为1。
（结束）
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链接
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配方奶粉
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经验：T（n，k）=（n+1）*2^（k-1）+（1-k）*2*（k-2）对于k<n+3，那么整行n是k中n次多项式。
上述经验公式是正确的。
可以证明T（n，k）满足递推
T（n，k）=和{r=1..n+1}（-1）^（r+1）*二项式（n+1，r）*T（n、k-r）
具有初始值
T（n，k）=和{r=0..k-1}（n+1-r）*二项式（k-1，r）对于k=1..n+1。（结束）
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例子
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表格开始
..2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.17
..3..5..8.12..17..23..30..38...47...57...68....80....93...107...122....138
..4..7.12.20..32..49..72.102..140..187..244...312...392...485...592....714
..5..9.16.28..48..80.129.201..303..443..630...874..1186..1578..2063...2655
..6.11.20.36..64.112.192.321..522..825.1268..1898..2772..3958..5536...7599
..7.13.24.44..80.144.256.448..769.1291.2116..3384..5282..8054.12012..17548
..8.15.28.52..96.176.320.576.1024.1793.3084..5200..8584.13866.21920..33932
..9.17.32.60.112.208.384.704.1280.2304.4097..7181.12381.20965.34831..56751
.10.19.36.68.128.240.448.832.1536.2816.5120..9217.16398.28779.49744..84575
.11.140.76.144.272.512.960.1792.3328.6144.11264.20481.36879.65658.115402
适用于5 X 3的一些解决方案：
1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
T（5,3）的一些解：通过取上述数组中列的和，我们得到555100000543322432554-米克尔·A·菲尔2024年2月4日
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->`如果`（k<=n+1，（2*n+3-k）*2^（k-2），（n+1-k）*二项式（k-1，n）*加法（二项式[n，j-1）/（k-j）*T（n，j）*（-1）^（n-j），j=1..n+1））：seq（seq（T（n，1+d-n），n=1..d），d=1.15）#阿洛伊斯·海因茨在2011年4月4日的Sequence Fans邮件列表中[我们不允许基于猜测的程序，但现在Fiol的评论证明了该程序的合理性-N.J.A.斯隆2024年3月9日]
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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A327916型
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| 按行读取三角形T（k，n）：数组A（k，n）=2^k*（k+1+2*n），k>=0，n>=0。 |
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+10
1
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1、4、3、12、8、5、32、20、12、7、80、48、28、16、9、192、112、64、36、20、11、448、256、144、80、44、24、13、1024、576、320、176、96、52、28、15、2304、1280、704、384、208、112、60、32、17、5120、2816、1536、832、448、240、128、68、36、19、11264、6144、3328、1792、960、512、272、144、76、40、21
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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数组A（k，n）由以下帕斯卡型三角形PTodd（k）产生，k>=0基于正奇整数A005408号.
例如，对于k=3，Pascal型三角形PTodd（k）为
1 3 5 7
4 8 12
12 20个
32
这样的三角形从上到下变成了所谓的高度为k+1的加法塔（德国小学里的Rechenturm；感谢我的通讯员Bennet D.），从任何k+1数字开始。这里使用的是正奇数。
这些Pascal型三角形PT（k）的最终数目的序列s，对于k>=0，从1、4、12、32…开始。。。；s（k）=（k+1）*2^k=A001787号（k+1），对于k>=0。
对于k->infinity，左对齐行序列构建数组A（k，n），其中k>=0且n>=0，即A（k、n）=2^k*（k+2*n+1）；此数组开始于：
k \n 0 1 2 3 4 5。。。
-------------------------------
2: 12 20 28 36 44 52 ... {A017113号（n+1）}
3: 32 48 64 80 96 112 ... {A008598号（n+2）}
4: 80 112 144 176 208 240 ... {16*A005408号（n+2）}
5: 192 256 320 384 448 512 ... {A152691号（n+3）}
6: 448 576 704 832 960 1088 ... {64*A005408号（n+3）}
...
序列s是A的第一列（n=0），它总是A中第一行（k=0）的二项式变换。
A（k，n）=Sum_{j=0..k}二项式（k，j）*（2*（n+j）+1）=2^k*（k+1+2*n），对于k>=0和n>=0。
对应的反对角线向上读取三角形为T（k，n）=A（k-n，n）=2^（k-n）*（k+n+1），n>=0，k=0..n。
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链接
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配方奶粉
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数组A（k，n）=Sum_{j=0..k}二项式（k，j）*（2*（n+j）+1）=2^k*（k+1+2*n），对于k>=0和n>=0。
三角形T（k，n）=A（k-n，n）=2^（k-n）*（k+n+1），n>=0，k=0..n。
递归：T（k，0）=（k+1）*2^k=A001787号（k+1），对于k>=0，T（k，n）=T（k、n-1）-T（k-1、n-1。
行多项式的O.g.f.：g（z，x）=和{n=0..k}R（k，x）*z^n=
（1+x*z*（1-4*z））/（1-2*z）^2*（1-x*z）*2）。
T（k，0）=和{n=0..k}二项式（k，n）*T（n，n），k>=0（二项式变换）。
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例子
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三角形T（k，n）开始于：
k \n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
-----------------------------------------------------
0: 1
1: 4 3
2: 12 8 5
3: 32 20 12 7
4: 80 48 28 16 9
5: 192 112 64 36 20 11
6: 448 256 144 80 44 24 13
7: 1024 576 320 176 96 52 28 15
8: 2304 1280 704 384 208 112 60 32 17
9: 5120 2816 1536 832 448 240 128 68 36 19
10: 11264 6144 3328 1792 960 512 272 144 76 40 21
...
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数学
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表[2^#*（#+1+2n）&[k-n]，{k，0，10}，{n，0，k}]//展平(*迈克尔·德·维利格2019年10月3日*）
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交叉参考
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对于k>=0，（次）对角线k的序列是数组A:{（k+2*n+1）*2^k}_{k>=0}的行k序列。
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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