A227418-OEIS公司

A227418号

数组A（n，k）包含所有数字m，使得3*m^2+-3^k是一个平方及其对应的平方根，由向下的反对偶读取。

0, 1, 1, 0, 2, 4, 3, 3, 7, 15, 0, 6, 12, 26, 56, 9, 9, 21, 45, 97, 209, 0, 18, 36, 78, 168, 362, 780, 27, 27, 63, 135, 291, 627, 1351, 2911, 0, 54, 108, 234, 504, 1086, 2340, 5042, 10864, 81, 81, 189, 405, 873, 1881, 4053, 8733, 18817, 40545

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,5

数组类似于A228405型在目标和结构方面，存在关键差异。

左栏为A001353号。顶行（不在OEIS中）将0与3的幂交错排列，如：0、1、0、3、0、9、0、27、0、81。

可以将其中一个或两个用作初始化值。请参阅公式部分。

左列是顶行的第二个二项式变换。中间变换序列为A002605号，此数组中不存在。

数组的列按顺序保存数字m的所有值，例如3*m^2+3^k或3*m*2-3^k是平方，以及它们在下一列中的相应平方根，然后形成列k+1的m值的“下一轮”。

例如：A（n，0）是这样的数字，3*m^2+1是平方，每个数字的整数平方根在A（n、1）中，然后是数字m，3*m ^2-3是平方，这些平方根在A（n，2）中，等等。符号在k等的每一个增量中交替出现。给定列中的相反符号不存在整数平方根，与n无关。

此外，A（n，1）是m的值，使得地板（m^2/3）是平方的，相应的平方根由A（n、0）给出。

A（n，k）/A（n，k-2）=3；对于大n，A（n，k）/A（n，k-1）收敛到sqrt（3）。

对于大n，A（n，k）/A（n-1，k）收敛到2+sqrt（3）。

结合前几列的几种方法给出了OEIS序列：

（n，0）+（n，1）=A001835号；（n，1）+（n，2）=A001834号；（n，2）+（n，3）=A082841号;

（n，0）*（n，1）/2=A007655号（n）；A（n+2.0）*A（n+1，1）=A001922号（n）；

A（n，0）*A（n+1，1）=A001921号（n）；A（n，0）^2+A（n、1）^2=A103974号（n）；

A（n，1）^2-A（n，0）^2=A011922号（n）；（A（n+2.0）^2+A（n+1，1）^2）/2=A122770型（n） =2*A011916号（n） ●●●●。

主对角线（无首字母0）=2*A090018型.第一个子对角线=abs(A099842号).第一超对角线=A141041号.

A001353号（左栏中）是唯一的初始化数字集，其中递归平方根方程（见下文）对于k的所有迭代只产生整数值。对于任何其他初始值，只有偶数迭代（在k=2，4，…）才产生整数。

链接

G.C.格鲁贝尔，反对角线n=0..50，平坦

配方奶粉

如果使用左列和顶行进行初始化，则：A（n，k）=2*A（n、k-1）-A（n-1，k-1）。

如果只使用顶行进行初始化，则：A（n，k）=4*A（n-1，k）-A（n-2，k）。

如果使用左列进行初始化，则：A（n，k）=sqrt（3*A（n、k-1）+（-3）^（k-1）），对于所有n，k>0。

其他适用的内部关系是：A（2*n-1，2*k）=A（n，k）^2-A（n-1，k）*2；

对于所有n，k>0，A（n+1，k）*A（n，k+1）-A（n+1、k+1）*1（n，k）=（-3）^k。

A（n，0）=A001353号（n） ●●●●。

A（n，1）=A001075号（n） ●●●●。

A（n，2）=A005320型（n） ●●●●。

A（n，3）=A151961号（n） ●●●●。

A（1，k）=A038754号（k） ●●●●。

A（n，n）=2*A090018型（n），对于n>0（主对角线）。

A（n，n+1）=A141041号（n-1）（超对角线）。

A（n+1，n）=绝对值(A099842号（n））（次对角线）。

发件人G.C.格鲁贝尔，2022年10月9日：（开始）

T（n，0）=（1/2）*（1-（-1）^n）*3^（（n-1）/2）。

T（n，1）=A038754号（n-1）。

T（n，2）=A228879型（n-2）。

T（2*n-1，n-1）=A141041号（n-1）。

T（2*n，n）=2*A090018型（n-1），n>0。

T（n，n-4）=3*A005320型（n-4）。

T（n，n-3）=3*A001075号（n-3）。

T（n，n-2）=3*A001353号（n-2）。

T（n，n-1）=A001075号（n-1）。

T（n，n）=A001353号（n） ●●●●。

和{k=0..n-1}T（n，k）=A084156号（n） ●●●●。

和{k=0..n}T（n，k）=A084156号（n）+A001353号（n） ●●●●。（结束）

例子

数组A（n，k）的开头是：

0, 1, 0, 3, 0, 9, 0, 27, ...请参见A000244号;

1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, ...A038754号;

4, 7, 12, 21, 36, 63, 108, 189, ...A228879型;

15, 26, 45, 78, 135, 234, 405, 702, ...

56, 97, 168, 291, 504, 873, 1512, 2619, ...

209, 362, 627, 1086, 1881, 3258, 5643, 9774, ...

780, 1351, 2340, 4053, 7020, 12159, 21060, 36477, ...

反对角三角形T（n，k）的开头为：

1, 1;

0, 2, 4;

3, 3, 7, 15;

0, 6, 12, 26, 56;

9, 9, 21, 45, 97, 209;

0, 18, 36, 78, 168, 362, 780;

27, 27, 63, 135, 291, 627, 1351, 2911;

0, 54, 108, 234, 504, 1086, 2340, 5042, 10864;

81, 81, 189, 405, 873, 1881, 4053, 8733, 18817, 40545;

数学

A[n_，k_]：=如果[k<0，0，如果[k==0，ChebyshevU[n-1，2]，2*A[n，k-1]-A[n-1、k-1]]；

T[n_，k_]：=A[k，n-k]；

表[T[n，k]，{n，0，15}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年10月9日*）

黄体脂酮素

（岩浆）

函数A（n，k）

如果k lt 0，则返回0；

elif n eq 0然后返回Round（（1/2）*（1-（-1）^k）*3^（（k-1）/2））；

elif k eq 0然后返回Evaluate（ChebyshevSecond（n），2）；

否则返回2*A（n，k-1）-A（n-1，k-1；

结束条件：；返回A；

端函数；

A227418号：=函数；

[A227418号（n，k）：[0..n]中的k，[0..15]]中的n； //G.C.格鲁贝尔2022年10月9日

（SageMath）

定义A（n，k）：

如果（k<0）：返回0

elif（k==0）：返回chebyshev_U（n-1，2）

else：返回2*A（n，k-1）-A（n-1，k-1

定义A227418年（n，k）：返回A（k，n-k）

压扁([[A227418号（n，k）对于范围（n+1）中的k]对于范围（15）中的n]）#G.C.格鲁贝尔，2022年10月9日

交叉参考

囊性纤维变性。A001353号,A001075号,A005320型,A038754号,A090018型,A099842号,A141041号,A151961号.

囊性纤维变性。A000244号,A084156号,A228879型.

上下文中的序列：A201049号 A303354型 A330256型*A278447型 A235590型 A378067型

相邻序列：A227415号 A227416号 2017年2月17日*A227419号 A227420型 A227421个

关键词

非n,表

作者

理查德·福伯格2013年9月2日

扩展

偏移校正人G.C.格鲁贝尔2022年10月9日

状态

经核准的