%我#30 2022年10月11日00:51:53
%S 0,1,1,0,2,4,3,3,7,15,0,6,12,26,56,9,9,21,45,97209,0,18,36,78168,
%电话:362780,27,27,6313529162713512911,5410823450410862340,
%电话:504210864,81,811894058731881405387331881740545
%N数组A(N,k),所有数字均为m,因此3*m^2+-3^k是一个正方形,其对应的平方根由对角线向下读取。
%C阵列在目标和结构上与A228405类似,但有关键区别。
%C左栏为A001353。顶行(不在OEIS中)将0与3的幂交错排列,如:0、1、0、3、0、9、0、27、0、81。
%C可以将其中一个或两个用作初始化值。请参阅公式部分。
%左栏是顶行的第二个二项式变换。中间转换序列是A002605,此数组中不存在。
%C数组的列按顺序保存数字m的所有值,例如3*m^2+3^k或3*m*2-3^k是平方,以及它们在下一列中的相应平方根,然后形成列k+1的m值的“下一轮”。
%C例如:A(n,0)是数字,其中3*m^2+1是平方,每个数字的整数平方根在A(n、1)中,然后是数字m,其中3*m^2-3是平方,这些平方根在A(n,2)中,等等。对于k的每个增量,符号交替。给定列中的相反符号不存在整数平方根,不管n。
%C另外,A(n,1)是m的值,使得地板(m^2/3)是平方的,相应的平方根由A(n、0)给出。
%C A(n,k)/A(n,k-2)=3;对于大n,A(n,k)/A(n,k-1)收敛到sqrt(3)。
%对于大n,CA(n,k)/A(n-1,k)收敛到2+sqrt(3)。
%C结合前几列的几种方法给出了OEIS序列:
%CA(n,0)+A(n,1)=A001835;(n,1)+A(n,2)=A001834;A(n,2)+A(n,3)=A082841;
%CA(n,0)*A(n,1)/2=A007655(n);A(n+2.0)*A(n+1,1)=A001922(n);
%CA(n,0)*A(n+1,1)=A001921(n);A(n,0)^2+A(n、1)^2=A103974(n);
%C A(n,1)^2-A(n,0)^2=A011922(n);(A(n+2.0)^2+A(n+1,1)^2)/2=A122770(n)=2*A011916(n)。
%C主对角线(无首字母0)=2*A090018。第一个子对角线=abs(A099842)。第一个超对角=A141041。
%C A0001353(在左列中)是唯一的初始化数字集,其中递归平方根方程(见下文)对于k的所有迭代只产生整数值。对于任何其他初始值,只有偶数迭代(在k=2,4,…)产生整数。
%H G.C.Greubel,反对角线n=0..50,扁平</a>
%F如果使用左栏和顶行进行初始化,则:A(n,k)=2*A(n、k-1)-A(n-1,k-1)。
%F如果只使用顶行进行初始化,则:A(n,k)=4*A(n-1,k)-A(n-2,k)。
%如果使用左列进行初始化,则:A(n,k)=sqrt(3*A(n、k-1)+(-3)^(k-1)),对于所有n,k>0。
%F其他适用的内部关系是:A(2*n-1,2*k)=A(n,k)^2-A(n-1,k)*2;
%F A(n+1,k)*A(n,k+1)-A(n+1、k+1)*A(n、k)=(-3)^k,对于所有n,k>0。
%F A(n,0)=A001353(n)。
%F A(n,1)=A001075(n)。
%F A(n,2)=A005320(n)。
%F A(n,3)=A151961(n)。
%F A(1,k)=A038754(k)。
%F A(n,n)=2*A090018(n),对于n>0(主对角线)。
%F A(n,n+1)=A141041(n-1)(超对角)。
%F A(n+1,n)=abs(A099842(n))(次对角线)。
%F来自G.C.Greubel,2022年10月9日:(开始)
%F T(n,0)=(1/2)*(1-(-1)^n)*3^(n-1)/2)。
%F T(n,1)=A038754(n-1)。
%F T(n,2)=A228879(n-2)。
%F T(2*n-1,n-1)=A141041(n-1)。
%F T(2*n,n)=2*A090018(n-1),n>0。
%F T(n,n-4)=3*A005320(n-4)。
%F T(n,n-3)=3*A001075(n-3)。
%F T(n,n-2)=3*A001353(n-2)。
%F T(n,n-1)=A001075(n-1)。
%F T(n,n)=A001353(n)。
%F和{k=0..n-1}T(n,k)=A084156(n)。
%F和{k=0..n}T(n,k)=A084156(n)+A001353(n)。(结束)
%e数组A(n,k)的开头为:
%e 0、1、0、3、0、9、0、27。。。见A000244;
%e 1、2、3、6、9、18、27、54。。。A038754;
%e 4、7、12、21、36、63、108、189。。。A228879;
%e 15、26、45、78、135、234、405、702。。。
%电子邮箱:56、97、168、291、504、873、1512、2619。。。
%e 209、362、627、1086、1881、3258、5643、9774。。。
%e 780、1351、2340、4053、7020、12159、21060、36477等。。。
%e反对角三角形T(n,k)的开头为:
%e 0;
%e 1,1;
%e 0、2、4;
%e三、三、七、十五;
%e 0、6、12、26、56;
%e第9、9、21、45、97、209页;
%第0、18、36、78、168、362、780页;
%e第27、27、63、135、291、627、1351、2911页;
%第0、54、108、234、504、1086、2340、5042、10864页;
%e 81、81、189、405、873、1881、4053、8733、18817、40545;
%tA[n_,k_]:=如果[k<0,0,如果[k==0,ChebyshevU[n-1,2],2*A[n,k-1]-A[n-1、k-1]];
%t t[n_,k_]:=A[k,n-k];
%t表[t[n,k],{n,0,15},{k,0,n}]//扁平(*_G.C.格鲁贝尔,2022年10月9日*)
%o(岩浆)
%o函数A(n,k)
%o如果k lt 0,则返回0;
%o elif n eq 0然后返回Round((1/2)*(1-(-1)^k)*3^((k-1)/2));
%o elif k eq 0,然后返回Evaluate(ChebyshevSecond(n),2);
%否则返回2*A(n,k-1)-A(n-1,k-1;
%o结束条件:;返回A;
%o端函数;
%o A227418:=函数;
%o[A227418(n,k):[0..n]中的k,[0..15]]中的n;//_G.C.Greubel,2022年10月9日
%o(SageMath)
%o定义A(n,k):
%o如果(k<0):返回0
%o elif(k==0):返回chebyshev_U(n-1,2)
%o else:返回2*A(n,k-1)-A(n-1,k-1)
%o定义A227418(n,k):返回A(k,n-k)
%o压平([[A227418(n,k)用于范围(n+1)中的k]用于范围(15)中的n])#_G.C.Greubel_,2022年10月9日
%Y参见A001353、A001075、A005320、A038754、A090018、A099842、A141041、A151961。
%Y参见A000244、A084156、A228879。
%K nonn公司
%0、5
%A _Richard R.Forberg,2013年9月2日
%E偏移由G.C.Greubel修正,2022年10月9日
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