A122859-OEIS公司

A122859号

φ（-q）^3/φ（-q^3）的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。

1, -6, 12, -6, -6, 0, 12, -12, 12, -6, 0, 0, -6, -12, 24, 0, -6, 0, 12, -12, 0, -12, 0, 0, 12, -6, 24, -6, -12, 0, 0, -12, 12, 0, 0, 0, -6, -12, 24, -12, 0, 0, 24, -12, 0, 0, 0, 0, -6, -18, 12, 0, -12, 0, 12, 0, 24, -12, 0, 0, 0, -12, 24, -12, -6, 0, 0, -12, 0, 0, 0, 0, 12, -12, 24, -6, -12, 0, 24, -12, 0, -6, 0, 0, -12, 0, 24

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0, 2

Ramanujanθ函数：f（q）（参见A121373号)，φ（q）(A000122号)，磅/平方英寸（q）(A010054号)，chi（q）(A000700型).

参考文献

Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第84页，等式（32.64）。

链接

G.C.格鲁贝尔，n=0..1000时的n，a（n）表

迈克尔·索莫斯，Ramanujan theta函数简介, 2019.

埃里克·魏斯坦的数学世界，Ramanujan Theta函数.

配方奶粉

2*a（q^2）-a（q）=b（q）^2/b（q^ 2）的q次幂展开式，其中a（），b（）是三次AGMθ函数。

eta（q）^6*eta（q^6）/（eta（q^2）^3*eta。

周期6序列的欧拉变换[-6，-3，-4，-3，-6，-2，…]。

莫比乌斯变换是周期6序列[-6，18，0，-18，6，0，…]。

G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=v*（u+v）^2-2*u*w*（v+w）。

G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2），A，（x^3），A）（x^6），其中f（u1，u2，u3，u6）=（u1-u2-u3+u6）*（u1+2*u2+u3）-（2*u1+u2-2*u3-u6）x（u1+2*u2-u3）。

通用公式：乘积{k>0}（1+x^（3*k））/（1+x^k）^3*（1-x^k）|3/。

通用公式：1-6*（和{k>0}x^（3*k-2）/（1+x^

/（1+x^（3*k-1）））。

a（3*n）=a（4*n）=a（n）。a（6*n+5）=0。

（-1）^n*a（n）=A113660型（n） ●●●●。-6*a（n）=A122860型（n）如果n>0。

a（2*n）=A227354号（n） ●●●●。a（2*n+1）=-6*A033762号（n） ●●●●。a（3*n+1）=-6*A033687号（n） ●●●●。a（4*n+1）=-6*A112604号（n） ●●●●。a（4*n+3）=-6*A112605号（n） ●●●●。a（6*n+1）=-6*A097195号（n） ●●●●。a（8*n+1）=-6*A112606号（n） ●●●●。a（8*n+3）=-6*A112608号（n） ●●●●。a（8*n+5）=-12*A112607号（n-1）。a（8*n+7）=-12*A112609号（n） ●●●●。a（12*n+1）=-6*A123884号（n） ●●●●。a（12*n+7）=-12*A121361号（n） ●●●●。 -迈克尔·索莫斯2013年9月27日

渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*和{k=1..m}a（k）=0。 -阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月23日

例子

G.f.=1-6*q+12*q^2-6*q^3-6*q*4+12*q ^6-12*q*7+12*q ^8-6*q ^9+。..

数学

a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[4，0，q]^3/椭圆Theta[4,0，q^3]，{q，0，n}](*迈克尔·索莫斯2013年9月27日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，（-1）^（n/d）*kronecker（-3，d））}

（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，-6*sumdiv（n，d，（2+（-1）^d）*kronecker（-3，d））}

（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x+a）^6*eta（x^6+a）/（eta

（鼠尾草）A=模块形式（Gamma1（6），1，prec=90）.basis（）；A[0]-6*A[1]#迈克尔·索莫斯2013年9月27日

交叉参考