%I#17 2023年11月23日08:01:20

%S 1，-6,12，-6，-6,0,12，-12,12，-6,0-0，-6，-12,24,0，-6,0-12，-12,0，-12,0,0，

%T 12，-6,24，-6，-12,0,0，-12,12,0,0,0-6，-12,24，-12,0，0,24，-12,0,0,1,0，-6，

%U-18,12,0，-12,0,12,0,24，-12,0-0,0，-122,24，-12，-6,0,0

%Nφ（-q）^3/φ（-q^3）的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。

%C Ramanujan theta函数：f（q）（见A121373）、phi。

%D Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第84页，等式（32.64）。

%H G.C.Greubel，n表，n=0..1000时的a（n）</a>

%H Michael Somos，《Ramanujan theta函数简介》，2019年。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RamanujanThetaFunctions.html“>Ramanujan Theta函数。

%F 2*a（q^2）-a（q）=b（q）^2/b（q^ 2）的q次幂展开式，其中a（），b（）是三次AGMθ函数。

%F eta（q）^6*eta（q^6）/（eta（q^2）^3*eta。

%周期6序列的F Euler变换[-6，-3，-4，-3，-6，-2，…]。

%F Moebius变换是周期6序列[-6，18，0，-18，6，0，…]。

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中F（u，v，w）=v*（u+v）^2-2*u*w*（v+w）。

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2），A（x ^3），B（x ^6）），其中F（u1，u2，u3，u6）=（u1-u2-u3+u6）*（u1+2*u2+u3）-（2*u1+u2-2*u3-u6）x（u1+2*u2-u3-u3）。

%F G.F.：乘积{k>0}（1+x^（3*k））/（1+x ^k）^3*（1-x ^ k）^3/（1-x（3k））=1+6*求和{k>0}（-1）^k*x^k/（1+x ^k+x ^（2*k）。

%F G.F.：1-6*（和{k>0}x^（3*k-2）/（1+x^

%F/（1+x^（3*k-1）））。

%F a（3*n）=a（4*n）=a（n）。a（6*n+5）=0。

%F（-1）^n*a（n）=A113660（n）-如果n>0，则6*a（n）=A122860（n）。

%F a（2*n）=A227354（n）。a（2*n+1）=-6*A033762（n）。a（3*n+1）=-6*A033687（n）。a（4*n+1）=-6*A112604（n）。a（4*n+3）=-6*A112605（n）。a（6*n+1）=-6*A097195（n）。a（8*n+1）=-6*A112606（n）。a（8*n+3）=-6*A112608（n）。a（8*n+5）=-12*A112607（n-1）。a（8*n+7）=-12*A112609（n）。a（12*n+1）=-6*A123884（n）。a（12*n+7）=-12*A121361（n）.-_Michael Somos，2013年9月27日

%F渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*和{k=1..m}a（k）=0.-_阿米拉姆·埃尔达尔，2023年11月23日

%e G.f=1-6*q+12*q^2-6*q^3-6*qq^4+12*q ^6-12*q ^7+12*q ^8-6*q ^9+。。。

%t a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[4，0，q]^3/椭圆Theta[4,0，q^3]，{q，0，n}]（*迈克尔·索莫斯，2013年9月27日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，6*sumdiv（n，d，（-1）^（n/d）*kronecker（-3，d））}

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，-6*sumdiv（n，d，（2+（-1）^d）*kronecker（-3，d））}

%o（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<0，0，a=x*o（x^n）；polceoff（eta（x+a）^6*eta（x^6+a）/（eta

%o（Sage）A=模块形式（Gamma1（6），1，prec=90）.basis（）；A[0]-6*A[1]#_Michael Somos_，2013年9月27日

%Y参见A033687、A033762、A097195、A112604、A112605、A112606、A112607、A112608、A112609、A113660、A121361、A122860、A123884、A227354。

%Y参考A000122、A000700、A010054、A121373。

%K符号

%0、2

%A _迈克尔·索莫斯，2006年9月15日