搜索： a122859-编号：a122859
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1, -6, 12, -12, -18, 0, 96, -156, 252, -204, 0, 0, -864, -2796, 9048, 0, -5922, 0, 31008, -50172, 0, -131352, 0, 0, 556416, -450150, 2913432, -1178508, -3813732, 0, 0, -16155228, 26139708, 0, 0, 0, -89582112, -289893804, 938116056, -758951832, 0, 0, 6429943104
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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1-6*Sum_{n>=1}克罗内克（n，3）*x^n/（1+x^n）。
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链接
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配方奶粉
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通用公式：1-6*Sum_{n>=1}斐波那契（n）*Kronecker（n，3）*x^n/（1+Lucas（n）*x^n+（-1）^n*x^（2*n））。
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例子
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通用公式：A（x）=1-6*x+12*x^2-12*x^3-18*x^4+96*x^6-156*x^7+。。。
其中A（x）=1-1*6*x+1*12*x ^2-2*6*x^3-3*6*×^4+8*12*x^6-13*12*×^7+21*12*x ^8-34*6*x ^9+…+斐波那契（n）*A122859号（n） *x^n+。。。
g.f.也由恒等式给出：
A（x）=1-6*（1*x/（1+x-x^2）-1*x^2/（1+3*x^2+x^4）+3*x^4/（1+7*x^4+x^8）-5*x^5/（1+11*x^5-x^10）+13*x^7/（1+29*x^7-x^14）-21*x^8/（1+47*x^8+x^16）+…）。
符号Kronecker（n，3）的值重复[1，-1,0，…]。
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数学
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A122859号：=系数列表[Series[EllipticTheta[3，0，-q]^3/Elliptic Theta[3,0，-q ^3]，{q，0，60}]，q]；表[如果[n==1，1，斐波那契[n-1]*A122859号[[n]]，{n，1，50}](*G.C.格鲁贝尔2017年12月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{Lucas（n）=斐波那契（n-1）+斐波那奇（n+1）}
{a（n）=polcoeff（1-6*和（m=1，n，fibonacci（m）*kronecker（m，3）*x^m/（1+Lucas（m）x^m+（-1）^m*x^（2*m）+x*O（x^n））），n）}
对于（n=0，40，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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作者
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经核准的
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1, -6, 24, -30, -72, 0, 840, -2028, 4896, -5910, 0, 0, -83160, -401532, 1938768, 0, -2824992, 0, 32930520, -79501308, 0, -463367580, 0, 0, 6520076640, -7870428726, 76003583088, -45872220270, -221490672624, 0, 0, -3116610274188, 7524162792576, 0, 0, 0, -127800022137480
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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将g.f.与Lambert系列进行比较A122859号：1-6*Sum_{n>=1}Kronecker（n，3）*x^n/（1+x^n）。
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配方奶粉
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G.f.：1-6*Sum_{n>=1}佩尔（n）*Kronecker（n，3）*x^n/（1）+A002203号（n） *x^n+（-1）^n*x^（2*n）），其中A002203号（n） =球团（n-1）+球团（n+1）。
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例子
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通用公式：A（x）=1-6*x+24*x^2-30*x^3-72*x^4+840*x^6-2028*x^7+。。。
其中A（x）=1-1*6*x+2*12*x ^2-5*6*x^3-12*6*x ^4+70*12*x^6-169*12*x ^7+408*12**x ^8-985*6 x ^9+…+佩尔（n）*A122859号（n） *x^n+。。。
g.f.也由恒等式给出：
A（x）=1-6*（1*x/（1+2*x-x^2）-2*x^2/（1+6*x^2+x^4）+12*x^4/（1+34*x^4+x^8）-29*x^5/（1+82*x^5-x^10）+169*x^7/（1+478*x^7-x^14）-408*x^8/（1+1154*x^8+x^16）+…）。
符号Kronecker（n，3）的值重复[1，-1,0，…]。
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数学
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A122859号[n_]：=级数系数[EllipticTheta[4，0，q]^3/椭圆Theta[4,0，q^3]，{q，0，n}]；连接[{1}，表[Fibonacci[n，2]*A122859号[n] ，｛n，1，50｝]](*G.C.格鲁贝尔2017年1月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{佩尔（n）=波尔科夫（x/（1-2*x-x^2+x*O（x^n）），n）}
{a（n）=polceoff（1-6*和（m=1，n，Pell（m）*kronecker（m，3）*x^m/（1+A002203号（m） *x^m+（-1）^m*x^（2*m）+x*O（x^n））），n）}
对于（n=0，40，打印1（a（n），“，”）
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交叉参考
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A093829美元
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| q*psi（q^3）^3/psi（q）的q次幂展开式，其中psi（）是Ramanujanθ函数。 |
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1, -1, 1, 1, 0, -1, 2, -1, 1, 0, 0, 1, 2, -2, 0, 1, 0, -1, 2, 0, 2, 0, 0, -1, 1, -2, 1, 2, 0, 0, 2, -1, 0, 0, 0, 1, 2, -2, 2, 0, 0, -2, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 3, -1, 0, 2, 0, -1, 0, -2, 2, 0, 0, 0, 2, -2, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, -1, 2, -2, 1, 2, 0, -2, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 0, -2, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 0, -1, 2, -3, 0, 1, 0, 0, 2, -2, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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（a（q）-a（q^2））/6=c（q^ 2）^2/（3*c（q））的q次幂展开式，其中a（），c（）是三次AGM函数-迈克尔·索莫斯2007年9月6日
（eta（q）*eta（q^6）^6）/（eta。
周期6序列的欧拉变换[-1，1，2，1，-1，-2，…]。
如果p=2，则与a（p^e）=（-1）^e相乘；如果p=3，a（p^e）=1；如果p==1（mod 6），a（p^e）=1+e；如果p==5（mod 6），则a（p^e）=（1+（-1）^e）/2。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（6 t））=12^（-1/2）（t/i）G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是G.fA122859号.
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=w*（u+v）^2-v*（v+w）*（v+4*w）。
G.f.A（x）满足0=f（A（x”），A（x^2），A“x^3”，A（x^6）），其中f（u1，u2，u3，u6）=u2*（u2-u3-4*u6）-（u3+u6）*（u1-3*u3-3*u6。
G.f.：求和{k>0}（x^k-2*x^（2*k）+2*x^（4*k）-x^。
a（2*n）=-a（n）。a（3*n）=a（n）。a（6*n+5）=0。
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=Pi/（6*sqrt（3））=0.302299894039-阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月21日
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例子
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G.f=q-q^2+q^3+q^4-q^6+2*q^7-q^8+q^9+q^12+2*q ^13+。。。
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，0，DivisorSum[n，{1，-2，0，2，-1，0}[[Mod[#，6，1]]&]]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polcoeff（和（k=0，n，x^k*（1-x^k）^2/（1+x^（2*k）+x^（4*k）），x*O（x^n）），n））}；
（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<1，0，n---；a=x*O（x^n）；polceoff（eta（x+a）*eta（x^6+a）^6/；
（PARI）{a（n）=if（n<1，0，sumdiv（n，d，kronecker（-12，d）-if（d%2==0，2*kronecler（-3，d/2）））}/*迈克尔·索莫斯2005年5月29日*/
（Sage）模块形式（Gamma1（6），1，prec=90）.1#迈克尔·索莫斯2013年9月27日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma1（6），1），90）[2]/*迈克尔·索莫斯2014年7月2日*/
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签名,多重,容易的
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作者
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经核准的
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A229616号
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| （φ（-q）^3/φ（-q^3））^2的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。 |
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1, -12, 60, -156, 204, -72, -84, -96, 492, -588, 360, -144, 60, -168, 480, -936, 1068, -216, -516, -240, 1224, -1248, 720, -288, 348, -372, 840, -1884, 1632, -360, -504, -384, 2220, -1872, 1080, -576, -372, -456, 1200, -2184, 2952, -504, -672, -528, 2448
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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（2*a（q^2）-a（q））^2=b（q）^4/b（q^ 2）^2的q次幂展开式，其中a（），b（）是三次AGMθ函数。
（eta（q）^6*eta（q^6）/（eta。
周期6序列的欧拉变换[-12、-6、-8、-6，-12、-4…]。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（6 t））=432（t/i）^2 G（t），其中q=exp（2 Pi it），G（）是A229615型.
G.f.：（产品_｛k>0｝（1+x^（3*k））*（1-x^k）^3/（（1+x^k）^3*（1-x^（3*k）））^2。
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例子
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G.f.=1-12*q+60*q^2-156*q^3+204*q^4-72*q^5-84*q^6-96*q^7+。。。
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，-12和[{1，-7，10，-7、1、2}[[Mod[d，6，1]]n/d，{d，除数[n]}]]；
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，-12和[{1，-3，4，-3，1，0}[[Mod[d，6，1]]d，{d，除数[n]}]；
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[4，0，q]^6/椭圆Theta[4,0，q^3]^2，{q，0，n}]；
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，-12*sumdiv（n，d，n/d*[2，1，-7，10，-7,1][d%6+1]）}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，-12*sumdiv（n，d，d*[0，1，-3，4，-3，1][d%6+1]）}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；polceoff（（eta（x+a）^6*eta（x^6+a）/（eta；
（Sage）A=模块形式（Gamma0（6），2，prec=50）.basis（）；A[0]-12*A[1]+60*A[2]；
（岩浆）A:=基础（模块形式（Gamma0（6），2），50）；A[1]-12*A[2]+60*A[3]；
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A122860型
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| （1-phi（-q）^3/phi（-q^3））/6的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。 |
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三
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1, -2, 1, 1, 0, -2, 2, -2, 1, 0, 0, 1, 2, -4, 0, 1, 0, -2, 2, 0, 2, 0, 0, -2, 1, -4, 1, 2, 0, 0, 2, -2, 0, 0, 0, 1, 2, -4, 2, 0, 0, -4, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 3, -2, 0, 2, 0, -2, 0, -4, 2, 0, 0, 0, 2, -4, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, -2, 2, -4, 1, 2, 0, -4, 2, 0, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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参考文献
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Nathan J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第84页，等式（32.64）。
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链接
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配方奶粉
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（1+a（q）-2*a（q^2））/6=（1-b（q）^2/b（q^ 2）））/6的q次幂展开式，其中a（）、b（）是三次AGMθ函数。
（1-eta（q）^6*eta（q^6）/（eta（q^2）^3*eta）（q^3）^2））/6的q次幂展开。
莫比乌斯变换是周期6序列[1，-3，0，3，-1，0，…]。
a（n）是乘法的，a（2^e）=（3（-1）^e-1）/2，a（3^e）=1，a（p^e）=e+1，如果p==1（mod 6），a（p ^e）等于（1+（-1）μe）/2，如果p==5（mod 5）。
a（3*n）=a（4*n）=a（n）。a（6*n+5）=0。
通用公式：（1-乘积{k>0}（1+x^（3k））/（1+x^k）^3*（1-x^k）|3/。
G.f.：Sum_｛k>0｝x^（3*k-2）/（1+x^（3*k-2））-x^（3*k-1）/（1+x^（3*k-1））。
渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*和{k=1..m}a（k）=0-阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月23日
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例子
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G.f.=q-2*q^2+q^3+q^4-2*q^6+2*q^7-2*q^8+q^9+q^12+2*qq^13+。。。
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，0，-除数和[n，（-1）^（n/#）JacobiSymbol[-3，#]&]]；(*迈克尔·索莫斯2015年2月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，-sumdiv（n，d，（-1）^（n/d）*kronecker（-3，d））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，sumdiv（n，d，（2+（-1）^d）*kronecker（-3，d）））}；
（PARI）{a（n）=我的（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，direculer（p=2，n，if（p==2，（1-2*X）/（1-X^2），1/（（1-X）*（1-kronecker（-3，p）*X））））[n]）}；
（PARI）{a（n）=my（a，p，e）；如果（n<1，0，a=因子（n）；prod（k=1，matsize（a）[1]，[p，e]=a[k，]；如果（p==2，（3*（-1）^e-1）/2，p==3，1，p%6==1，e+1，1-e%2））}；
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,多重
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作者
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状态
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经核准的
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A227354号
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| 2*a（q）-a（q^2）的q次幂展开式，其中a（）是三次AGMθ函数。 |
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1, 12, -6, 12, 12, 0, -6, 24, -6, 12, 0, 0, 12, 24, -12, 0, 12, 0, -6, 24, 0, 24, 0, 0, -6, 12, -12, 12, 24, 0, 0, 24, -6, 0, 0, 0, 12, 24, -12, 24, 0, 0, -12, 24, 0, 0, 0, 0, 12, 36, -6, 0, 24, 0, -6, 0, -12, 24, 0, 0, 0, 24, -12, 24, 12, 0, 0, 24, 0, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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（4*b（q^4）^2-2*b（q）*b（q^4）-b（q）^2）/b（q^2）的q次幂展开式，其中b（）是三次AGMθ函数。
φ（-q^2）^3/φ（-q ^6）+12*q*psi（q ^2）*psi（q^6）的q次幂展开式，其中phi（）、psi（）是Ramanujan theta函数-迈克尔·索莫斯2015年1月9日
θ_4（q^2）^3/θ_3（q^6）+3*θ_2（q）*theta_2（q^3）的q次幂展开。
莫比乌斯变换是周期6序列[12，-18，0，18，-12，0…]。
a（n）=12*b（n），其中b（n。
一般公式：1+6*Sum_{k>0}（mod（k，2）+1）*x^k/（1+x^k+x^（2*k））-迈克尔·索莫斯2015年1月9日
渐近平均值：Limit_{m->oo}（1/m）*Sum_{k=1..m}a（k）=Pi*sqrt（3）=5.441398(A304656型). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年11月23日
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例子
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G.f.=1+12*q-6*q^2+12*q^3+12*q^4-6*q ^6+24*q ^7-6*q ^8+12*q ^9+。。。
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数学
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a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[4，0，q^2]^3/椭圆Theta[4,0,q^6]+3椭圆Theta[2,0，q]椭圆Theta[2,0,q ^3]，{q，0，n}]；
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，6和[JacobiSymbol[d，3]（Mod[n/d，2]+1），{d，除数@n}]]; (*迈克尔·索莫斯2015年1月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，12*sumdiv（n，d，kronecker（d，3））-6*sumdov（2*n，d；
（PARI）{a（n）=局部（a，p，e）；如果（n<1，n==0，a=系数（n）；12*prod（k=1，matsize（a）[1]，如果（p=a[k，1]，e=a[k,2]；如果（p=2，（1+3*（-1；
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A259662型
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| phi（-q^3）/phi（-q）^3的q次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。 |
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1、6、24、78、222、576、1392、3180、6936、14550、29520、58176、111750、209820、385968、696960、1237470、2163456、3728904、6343068、10658880、17708412、29108880、47373696、76378992、122058870、193435248、304134558、474609180、73537416、1131698448、1730375436
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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1/（2*a（q^2）-a（q）））=b（q^ 2）/b（q）^2的q次幂展开式，其中a（），b（）是三次AGMθ函数。
eta（q^2）^3*eta（q^3）^2/（eta（q）^6*eta。
周期6序列的欧拉变换[6，3，4，3，6，2，…]。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=w^2*（u+v）^2-2*u*v^2*。
G.f.是满足f（-1/（6t））=432^（-1/2）（t/I）^-1 G（t）的周期1傅立叶级数，其中q=exp（2pi I t），G（t）是A258093型.
G.f.：产品{k>0}（1+x^k）^3*（1-x^（3*k））/（1+x^（3+k））*（1-x^k）。
a（n）~exp（2*Pi*sqrt（2*n/3））/（2^（9/4）*3^（5/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日
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例子
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G.f.=1+6*x+24*x^2+78*x^3+222*x^4+576*x^5+1392*x^6+。。。
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数学
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a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[4，0，x^3]/椭圆Theta[4,0，x]^3，{x，0，n}]；
nmax=60；系数列表[系列[乘积[（1+x^k）^3*（1-x^（3*k））/（（1+x^（3+k）））*（1-x^k）^3），{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<0，0，a=x*O（x^n）；极系数（eta（x^2+a）^3*eta（x^3+a）^2/（eta（x+a）^6*eta（x^6+a）），n））}；
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交叉参考
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关键词
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非n
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