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四边形的


四边形的

四边形,有时也称为四边形或四边形(Johnson 1929,第61页)是四边形多边形。如果没有明确说明声明,全部四个多边形顶点通常是躺在一个飞机.(如果点不在飞机,四边形称为倾斜四边形的.)四边形有三种拓扑类型(Wenninger1983年,第50页):凸四边形(左图),凹四边形图)和交叉四边形(或蝴蝶或蝴蝶;右图)。

有两条边的四边形平行称为梯形而具有相反对的四边形平行的边称为平行四边形.

四边形向量

对于平面凸四边形(上图左),让边的长度为一,b条,c,天,这个半周长 秒、和多边形对角线 第页q个. The多边形对角线垂直的 若(iff) a^2+c^2=b^2+d^2.

边长平方和的方程式为

 a^2+b^2+c^2+d^2=p^2+q^2+4x^2,
(1)

哪里x个是连接到中点多边形对角线(凯西1888年,第22页)。

对于双中心四边形,的外接圆内圆满足

 2r^2(R^2-s^2)=(R^2-s^2”^2-4r^2s^2,
(2)

哪里R(右)外半径,第页在中半径(inradius)、和秒是中心的分离。

给定平面上任意五个点的一般位置,四个点将形成凸四边形。这个结果是所谓的幸福的末端问题(霍夫曼1998年,第74-78页)。

对于平面凸四边形的面积,有一个很好的公式,它是根据其两条对角线对应的向量表示的。表示四边形的边通过矢量一,b条,c、和天安排如下a+b+c+d=0和向量的对角线第页q个这样安排p=b+cq=a+b.然后

K(K)=1/2 |细节(pq)|
(3)
=1/2|p×q|,
(4)

哪里测定(A)行列式像素是二维的交叉产品.

关于平面凸四边形的面积,有许多漂亮的公式,包括

K(K)=1/2英寸
(5)
=1/4(b^2+d^2-a^2-c^2)坦提塔
(6)

(拜尔1987年,第123页),Bretschneider的公式

K(K)=1/4平方米(4p^2q^2-(b^2+d^2-a^2-c^2)^2)
(7)
=sqrt((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-1/4(ac+bd+pq)(ac+b-pq))
(8)

(1939年柯立芝;1960年伊万诺夫;1987年拜尔,第123页)秒半周长、和美丽的公式

 K=平方((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdcos^2[1/2(a+b)])
(9)

(布雷奇奈德1842;斯特雷尔克1842;柯立芝1939;拜尔1987,第123页)。

四边形质心

四边形顶点的质心位于双介质(即线路M_(AB)M_(CD)M_(AD)M_(BC)相反的连接对中点)(Honsberger 1995,第36-37页)。此外,它是中点线路的M_(AC)M_(BD)连接对角线的中点自动控制BD公司(Honsberger 1995,第39-40页)。

四边形平分线

四人角平分线四边形的横断四个相邻平分线共环的点(Honsberger 1995,第35页)。

四边形平铺

任何非本人-交叉四边形平铺平面。

这六个距离之间有关系d_(12),d(13),d(14),d(23),d(24)、和d(34)在四边形的四个点之间(温伯格1972):

 0=d_(12)^4d_(34)^2+d_(13)^4d(24)^2+d_(14)^4d_(23)^2++d_(23)2d(41)^2+d(23)^2d(34)^2d_(42)^2-d_(12)^2ds(23)^2d_(32)^2-d_(23)^2d_。
(10)

这可以通过设置凯莱·门格尔行列式

 288V^2=|0 1 1 1 1;10d_(12)^2d_(13)^2d(14)^2;1d(21)^20d(23)^2d(24)^2;1d(31)^2d(32)^20d(34)^2;1d_(41)^2d_(42)^2d(43)^2 0|
(11)

等于0(对应于四面体卷0),从而给出距离平面四边形顶点之间(Uspensky 1948,第256页)。

四边形的一种特殊类型是循环四边形,其中圆圈可以被限定让它接触到每一个多边形顶点.另一个特殊类型是切向四边形,其中有一个圆,并内切,使其与每条边相切。四边形既循环又相切的称为双中心的四边形的.


另请参见

反中心,双中心四边形,Bimedian公司,布拉马古塔的公式,布雷施奈德公式,蝴蝶定理,凯莱·门格尔决定因素,完全四边形,循环四边形,钻石,八点圆定理,等位基因四边形的,法诺公理,莱昂安妮定理,菱形(Lozenge),麦芽糖,正中四边形,平行四边形,托勒密定理,理性四边形的,矩形,菱形(Rhombus),倾斜四边形,方形,切向四边形,梯形,范奥贝尔定理,瓦里农的定理,维滕鲍尔平行四边形 探索此主题在数学世界教室里

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拜尔,W.H。(编辑)。CRC标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第123页,1987布雷施奈德,C.A。“Untersuchung der trigonometrichenRelationen des geradlinigen Viereckes公司。"数学档案。 2, 225-261,1842J.凯西。A类欧几里德元素的前六本书的续集,包含简单介绍《现代几何与无数实例》,第5版,修订版。都柏林:Hodges,菲吉斯公司,1888年。柯立芝,J.L。“历史上有趣的四边形面积公式。"阿默尔。数学。每月 46,345-347, 1939.多斯托,G.“新提案”四边形。。。。"数学档案。u.物理。 48,245-348, 1868.C.V.杜雷尔。“四边形和四边形。”第7章现代几何学:直线和圆。伦敦:麦克米伦出版社,第77-87页,1928Fukagawa,H.和Pedoe,D.“圆和四边形”和“四边形”。§3.5和4.2日本人寺庙几何问题。加拿大马尼托巴省温尼伯市:查尔斯·巴贝奇研究《基金会》,第43-45、47-48和125-132页,1989年。J.W.哈里斯。和Stocker,H.“四边形”第3.6节手册数学和计算科学。纽约:Springer-Verlag,第82-86页,1998霍布森,E.W。A类平面与高级三角论。纽约:多佛,第204-205页,1957P.霍夫曼。这个只爱数字的人:保罗·埃尔德的故事与数学探索真相。纽约:Hyperion,1998年。Honsberger,R.“四边形研究”通道4英寸第集十九世纪和二十世纪的欧几里德几何。华盛顿特区:数学。美国协会。,第35-41页,1995年。V.F.伊万诺夫。“解决方案问题E1376:Bretschneider公式。"阿默尔。数学。每月 67,291-292, 1960.R.A.约翰逊。“四边形和四边形”和《托勒密定理》§91-92现代几何:关于三角形和圆的几何的一篇初级论文。马萨诸塞州波士顿:霍顿·米夫林,第61-641929页。E.J.劳斯。“四边形的惯性矩。”夸脱。J.纯应用。数学。 11,109-110, 1871.斯特雷尔克,F.“Zwei neue Sätze vom ebenen und《托勒密国王》(shparischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes)。"档案馆数学。 2, 33-326, 1842.J.V.乌斯彭斯基。理论方程式。纽约:McGraw-Hill,第256页,1948年。温伯格,美国。引力宇宙学:广义相对论的原理和应用。纽约:Wiley,第7页,1972年。M.J.温宁格。二重的模型。英国剑桥:剑桥大学出版社,1983年。

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“四边形。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html

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