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Cayley-Menger行列式

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Cayley-Menger行列式是行列式它给出了单工在里面j个尺寸。如果S公司是一个j个-单工输入R^n（R ^n）具有顶点v_1，。。。，v（j+1）和B=（β_（ik））表示（j+1）×（j+1矩阵由给出

β_（ik）=|v_i-v_k|_2^2，
（1）

然后内容 V_j（_j）由提供

V_j^2（S）=（（-1）^（j+1））/（2^j（j！）^2）det（B^^），
（2）

哪里B类^^是（j+2）×（j+2）矩阵获取自B类通过边界B类带顶行(0,1,...,1)和左栏（0,1，…，1）^（T）。这里，向量L2-模板 |v_i-v_k|2边长和行列式英寸(2)是Cayley-Menger行列式（Sommerville 1958，Gritzmann and Klee 1994）。

预因子的乘法逆j=0, 1, 2, ... 是-1, 2,-16，288中，-9216, 460800, ... （组织环境信息系统A055546号).

对于j=2,(2)成为

-16增量^2=|0 1 1 1；1 0 c^2 b^2；1 c^2 0 a^2；1b^2 a^2 0|，
(3)

它提供了地区对于有边长的平面三角形一,b条,和c（c）,是一种Heron公式.

对于j=3,3-单纯形的内容（即一般的体积四面体)由行列式给出

288V^2=|0 1 1 1 1；10d_（12）^2d_（13）^2d（14）^2；1d（21）^20d（23）^2d（24）^2；1d（31）^2d（32）^20d（34）^2；1d（41）^2d（42）^2d_（43）^20|，
(4)

其中顶点之间的边我和j个有长度d（ij）.将左侧设置为0（对应于四面体第0卷）给出了这个距离平面顶点之间四边形的（Uspensky 1948年，第256页）。

Buchholz（1992）给出了该方程的一种稍有不同（且稍欠对称）的形式。

另请参阅

Heron公式,四边形,四面体

此条目由贡献凯伦D.科林斯

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R.H.布赫霍尔茨。“完美的金字塔。”牛市。南方的。数学。索克。 45, 353-368, 1992.菲德勒M。矩阵和几何图形。英国剑桥：剑桥大学出版社，2011年。格里兹曼，P.和Klee，V.§3.6.1，“关于计算凸性II。体积和混合体积。“输入聚乙烯：抽象、凸和计算（编辑：T.Bisztriczky，P.McMullen，R.Schneider，R。；和A.W。维斯）。荷兰多德雷赫特：Kluwer，1994新泽西州斯隆。答：。序列A055546号在“整数序列在线百科全书”中索默维尔，D.M.博士。年。安几何导论n个尺寸。纽约：多佛，第124页，1958年。J.V.乌斯彭斯基。理论等式的。纽约：McGraw-Hill，第256页，1948年。

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Cayley-Menger行列式

引用如下：

凯伦·科林斯。“Cayley-Menger行列式”摘自数学世界--Wolfram Web资源，创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html

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