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快乐结局问题


快乐结局问题

幸福结局问题,也称为“幸福结局问题”,是决定n> =3最小点数克(n)在里面一般立场在平面上(即,没有三个是共线的),这样,每一个可能的安排克(n)点将始终包含至少一组n个点的顶点凸面的多边形属于n个边。Erdős在两名第一次工作的调查员时将问题命名为在这个问题上,埃斯特·克莱恩和乔治·塞克尔斯订婚了,随后已婚(霍夫曼1998年,第76页)。

由于三个非共线点总是决定一个三角形,克(3)=3.

快乐结局问题4

随机安排n=4上述各点均已说明。注意,凸四边形不可能用于上面第五和第八张图中所示的安排,所以克(4)必须大于4。E.Klein证明了g(4)=5通过表明任何安排五分之一必须属于三种情况之一(左上图;霍夫曼1998,第75-76页)。

快乐结局问题8

随机安排n=8以上对各点进行了说明。注意,没有凸五边形对于上面第五个图中所示的布置是可能的,所以克(5)必须大于8。E.Makai证明克(5)=9在证明可以找到反例之后8分(右上图;霍夫曼1998,第75-76页)。

作为点数n个增加,数量k个-的子集n个必须检查它们是否形成凸面k个-gon随着(n;k),所以组合爆炸可以防止更大的案件n=5不容易被研究。此外,参数空间变得如此大,以至于随机寻找反例n=6具有k=12积分需要非常长的时间。基于这些原因,总体问题仍未解决。

克(6)=17由Szekeres和Peters(2006)使用1500 CPU小时的计算机搜索,消除了所有可能的17个点的配置,缺少凸六边形,而只检查一个微小的所有配置的一部分。Marić(2019)和Scheucher(2020)独立已证实的g(6)=17在几个CPU小时内使用可满足性(SAT)求解,之后时间减少到10Scheucher(2023年)的CPU分钟数和Heule和Scheucher(2024年)的8.53 CPU秒数。

的前几个值克(n)对于n=3因此,4、5和6是3、5、9、17,正好确切地说2^(n-2)+1.然而克(n)对于n> =7未知。

Erdős和Szekeres(1935)表明克(n)始终存在并导出了界限

 2^(n-2)+1<=g(n)<=(2n-4;n-2)+1,
(1)

哪里(n;k)是一个二项式系数。对于n> =4,这已经减少到g(n)<=g1(n)对于

 g1(n)=(2n-4;n-2)
(2)

作者:Chung和Graham(1998),g(n)<=g2(n)对于

 g2(n)=(2n-4;n-2)+7-2n
(3)

Kleitman和Pachter(1998),以及g(n)<=g3(n)对于

 g3(n)=(2n-5;n-2)+2
(4)

Tóth和Valtr(1998)。


另请参见

凸面外壳,凸面的多边形

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工具书类

Borwein,J.和Bailey,D。实验数学:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,第78页,2003年。F.R.钟。英国。和Graham,R.L。“强制凸面n个-贡斯在飞机上。"离散。计算。地理。 19, 367-371, 1998.埃尔德,P.和Szekeres,G.“几何中的组合问题”复合材料数学。 2, 463-470, 1935.Heule,M.J。小时。和Scheucher,M.《快乐结局:每组30个点中的一个空六边形》,2024年3月1日。https://arxiv.org/abs/2403.00737.霍夫曼,第页。这个只爱数字的人:保罗·埃尔德的故事与数学探索真相。纽约:Hyperion,第75-78页,1998年。克莱特曼,D。和Pachter,L.“在平面上寻找点之间的凸集”离散。计算。地理。 19, 405-410, 1998.Lovász,L。;佩利坎,J。;和Vesztergombi,K。离散的数学、初等及其他。纽约:Springer-Verlag,2003年。马里奇,F.“凸多边形Erdős-Szekeres猜想的快速形式证明最多6分。"J.自动推理 62, 301-329, 2019.Scheucher、,M.“点集中两个不相交的5孔。”计算。地理。 91,101670, 2020.Scheucher,M.“对Erd-Szekeres数字的SAT攻击Rd和空六边形定理。"几何与拓扑计算 2,2:1-2:13, 2023.Szekeres,G.和Peters,L.“计算机解决方案17点Erdős-Szekeres问题。"ANZIAM J。 48, 151-164,2006Tóth,G.和Valtr,P.“关于Erdős-Szekeres的注释定理。"离散。计算。地理。 19, 457-459, 1998.苏伊弗,A.《幸福结局问题》第31章这个新数学着色书:着色数学与色彩生活《创造者》,第二版。纽约:施普林格出版社,第321-3372024页。

引用的关于Wolfram | Alpha

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“幸福结局问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HappyEndProblem.html

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