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循环四边形


循环四边形

循环四边形是四边形的对于其中一个圆圈可以被限定,使其接触每一个多边形顶点一个四边形,可以是内切和外切在一对圆上的称为双中心的四边形的.

这个地区循环四边形的最大限度可能用于任何四边形的具有给定的边长度。相反循环四边形总计至圆周率 弧度(欧几里德,第三卷,第22号提案;希思1956;邓纳姆1990年,第121页)。存在一个关闭的台球循环四边形内的路径,如果圆心位于四边形内部(Wells 1991,p.11)。

这个地区然后由一个特殊情况给出布雷奇奈德公式.让侧面有长度一,b条,c(c),以及d日,让秒成为半周长

 s=1/2(a+b+c+d),
(1)

然后让R(右)成为圆周半径.然后

A类=sqrt((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))
(2)
=(sqrt((ac+bd)(ad+bc)(ab+cd))/(4R),
(3)

第一种被称为布拉马古斯塔公式.解决圆周半径英寸(2)和()给予

 R=1/4sqrt(((ac+bd)(ad+bc)(ab+cd))/((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))。
(4)

这个对角线循环四边形的长度

第页=sqrt(((ab+cd)(ac+bd))/(ad+bc))
(5)
q个=平方码((ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)),
(6)

以便pq=ac+bd.

一般来说,有三种基本不同的循环四边形(模旋转反射)其边缘是长度的排列一,b条,c(c),以及d日六个对应的多边形对角线长度,三个是不同的。除了第页q个,因此有一个“第三个”多边形对角线可以表示出来第页它由方程式给出

 r=sqrt(((ad+bc)(ab+cd))/(ac+bd))。
(7)

这允许地区公式要写在美丽而简单的形式

 A=(pqr)/(4R)。
(8)

这个多边形对角线有时也表示第页,q个,第页.

循环四边形矩形循环四边形网格

这个焚烧炉构成循环四边形a的四个三角形矩形此外,侧面矩形平行连接至中间圆弧点之间每对顶点(上图左图;福曼1890,第50页;约翰逊1929,第254-255页;威尔斯1991)。如果超中心构成四边形的三角形被添加到焚烧炉,4×4获得矩形网格(右图;Johnson 1929,p.255;Wells 1991)。

循环四边形点

再次考虑包含在循环四边形中的四个三角形。令人惊讶的是三角形质心 MI(_i),九点中心 i(_i),以及正中心 i(_i)由这些三角形组成的形状很相似到原始四边形。事实上,由正中心与之一致(Wells 1991,第44页)。

具有的循环四边形理性的一,b条,c(c),以及d日,多边形对角线 第页q个,圆周半径 第页,以及地区 一由提供a=25,b=33,c=39,d=65,p=60,q=52,r=65/2,以及a=1344.

AHBO公司成为四边形的这样的角度∠HAB∠HOB直角,然后AHBO公司是一个循环四边形(Dunham 1990)。这是一个必然结果在一个直角三角形,的中点斜边与三个等距顶点.自M(M)中点两者的正确的三角形 德尔塔AHBDeltaBOH公司,它与所有四个都等距顶点,所以a圆圈居中于M(M)可能会被他们吸引。这个定理是Heron定理的一个组成部分推导Heron公式.

循环四回路中心

应用程序布拉马古塔定理给出了一个很好的结果,对于具有垂直对角线的循环四边形,距离圆心 O(运行)一边的长度是另一边的一半,所以在上图,

 OM_(AB)=1/2CD=CM_(CD)=DM_(CD,
(9)

等等(Honsberger 1995,第37-38页)。

循环四正交中心

M_(交流)M_(BD)成为中点循环四边形的对角线ABCD公司,然后让P(P)是对角线的交点。然后正心属于三角形 增量PM_(AC)M_(BD)反中心 T型属于ABCD公司(Honsberger 1995,第39页)。

循环四圆

将四等分圈子所以他们横断在某一点上。四边形ABCD公司则为循环四边形(Honsberger 1991)。对于凸面的循环四边形问,考虑一组凸面的循环的,循环的四边形Q_‖其侧面为平行问.然后Q_‖最大值的地区就是那个谁的多边形对角线垂直的(Gürel 1996)。


另请参见

双心四边形,布拉马古塔定理,布拉马古塔的梯形,布雷奇奈德公式,蝴蝶定理,共循环的,循环多边形,循环(Cyclic)四边形,欧拉砖,苍鹭的公式,麦芽糖,中弧点数,九点中心,矫形中心,Poncelet交叉线,托勒密的定理,四边形,切向四边形,三角形质心

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工具书类

Andreescu,T.和Gelca,R.《循环四边形》§1.2数学奥运会挑战。马萨诸塞州波士顿:Birkhäuser,第6-9页,2000年。拜尔,W.H.公司。CRC公司标准数学表,第28版。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第123页,1987W.邓纳姆。旅程通过天才:伟大的数学定理。纽约:威利出版社,1990年。福尔曼,W。Synthetische Beweise平面测量公司。柏林,1890年。古雷尔,E.问题1472的解决方案。“四边形的最大面积。”数学。美格。 69, 149, 1996.J.W.哈里斯。和Stocker,H.“四边形和弦。“§3.6.7手册数学和计算科学。纽约:Springer-Verlag出版社,第85页,1998希思·T·L。这个《元素的十三本书》,第二版,第3卷:第X-XIII册。纽约:多佛,1956年。R.洪斯伯格。更多数学模型。华盛顿特区:数学。美国协会。,第36-37页,1991Honsberger,R.“循环四边形”§4.2第集十九世纪和二十世纪的欧几里德几何。华盛顿特区:数学。美国协会。,第35-40页,1995年。R.A.约翰逊。现代几何:关于三角形和圆的几何的一篇初级论文。马萨诸塞州波士顿:霍顿·米夫林,第182-194页,1929年。威尔斯,D。这个企鹅奇趣几何词典。伦敦:企鹅,第11页和第43-44页,1991年。

参考Wolfram | Alpha

循环四边形

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“循环四边形。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html

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