分解为重量*级别+跳跃

本页的主要目标是提供一种新的方法，通过分解为重量×水平+跳跃。我们看到算术基本定理和埃拉托西尼筛在分解过程中自然数。应用于质数，该分解用于获得素数的新分类。

arXiv:0711.0865[math.NT]：分解为weight*level+jump，并应用于新的质数分类，2007-2010年。

原则

分解原则：我们选择最小的重量欧几里得除法一个数字的重量，余数是跳（第一个差异，gap）。商将是水平.

分类原则：如果数字不可分解，则不分类。如果重量大于水平然后根据水平，如果不是，则按重量.

定义

让$显示样式{{a（n）}}{n=i{min}}^{infty}}$成为严格递增整数序列.

跳跃

这个跳(第一个差异,缺口)第页，共页${\显示样式a（n）}$定义为

${\显示样式d（n）：=a（n+1）-a（n）.\，}$

l（n）

l（n）定义为

${\显示样式l（n）：={\开始{案例}（n） -d（n）&{\text{if}}a（n）-d（n）>d（n），\\0{\rm{~否则}}。\结束{cases}}\，}{案例}（n） -d（n）&{\text{if}}a（n）-d（n）>d（n），\\0{\rm{~否则}}。\结束{cases}}\，}$

使用mod函数的替代定义

${\显示样式l（n）：={\rm{最大~}}l{\rm}~这样~}}a（n+1）=a（n）+a（n$

重量

这个重量属于${\显示样式a（n）}$定义为

$｛\displaystyle k（n）：=｛\begin｛cases｝｛\rm｛minimum~｝k>d（n）｛~s.t.~｝k|l（n），\\0｛\rm｛~if~｝｝l（n）=0。\end｛cases｝｝\，｝$

使用mod函数的替代定义

${\显示样式k（n）：={\rm{最小~}}k{\rm}~这样~}a（n+1）=a（n）+a（n$

水平

这个水平属于${\显示样式a（n）}$定义为

$显示样式L（n）：={\begin{cases}{\frac{L（n）}{k（n）{}&{\text{if}}k（n$

分解准则

一个严格递增整数序列,$显示样式{{a（n）}}{n=i{min}}^{infty}}$可以分解为重量×水平+跳跃什么时候${\显示样式l（n）}$不同于在以下情况下可以重写的0：

${\显示样式a（n）-d（n）>d（n），\，}$

或

${\显示样式d（n）<{\分形{1}{2}}\乘以a（n），\，}$

或

${\显示样式a（n+1）<{\ frac{3}{2}}\乘以a（n）\，}$

独特的分解

这个重量 ${\显示样式k（n）}$是最小的，在欧几里得除法属于${\显示样式a（n）}$通过其重量 ${\显示样式k（n）}$，商是水平 $｛\displaystyle L（n）｝$，剩下的是跳 ${\显示样式d（n）}$.我们有独特的分解

${显示样式a（n）=k（n）\times L（n）+d（n）={\rm{weight}}\times{\rm}level}}+{\rm{jump}}\，}$

分类原则

• 如果是${\显示样式a（n）}$,

$｛\displaystyle l（n）=k（n）=l（n）=0\，｝$

然后${\显示样式a（n）}$未分类。

• 如果是${\显示样式a（n）}$,

${\显示样式k（n）>L（n）}$

然后${\显示样式a（n）}$按等级分类，如果不是，则按重量分类。

算法

朴素算法（PARI/GP）：

分解（n，n1）={/*严格增加*/如果（n>=n1，打印（“n1必须大于n”）；返回）；/*跳跃*/d=n1-n；/*l=n-d，如果n>2*d，则数字不可分解*/如果（n>2*d，l=n-d，打印（d，“，0，0”）；返回）；/*我们寻找重量跳跃+1直到l*/对于（k=d+1，l，如果（n%k==d，打印（n，“=”，k，“*”，l/k，“+”，d）；返回）；}

算法“newSieve”：

反筛（n，n1）={/*严格增加*/如果（n>=n1，打印（“n1必须大于n”）；返回）；/*跳跃*/d=n1-n；/*l=n-d，如果n>2*d，则数字不可分解*/如果（n>2*d，l=n-d，打印（d，“，0，0”）；返回）；/*我们寻找跳跃+1的重量，直到sqrt（l）*/对于（k=d+1，sqrt（l），如果（n%k==d，print（n，“=”，k，“*”，l/k，“+”，d）；返回）；/*我们期待水平跳到1（--）*/对于步骤（le=d，1，-1，如果（n%楼层（l/le）==d，打印（n，“=”，l/le，“*”，le，“+”，d）；返回）；}

算法“newSieve”对于按级别分类的数字是最快的。

一般性评论

可以分解的增长最大的序列是A003312号.

在本页中跳是第一个区别，但我们可以接受第二个、第三个。。。差异。请参见A133346号和A133347号对于素数。

自然数的分解

如果分解是可能的（即如果${\显示样式n>2}$)，我们有：

• A000027号（n）=A020639号（n-1）×A032742美元（n-1）+1（l（n））=A000027号（n-1）

这个重量是最小素因子属于${\显示样式n-1}$和水平是最大的真除数属于${\显示样式n-1}$.按重量分类的自然数为${\显示样式复合+1}$按级别分类的自然数是${\显示样式素数+1}$由于跳跃是恒定的，此分解可以简化为$｛\displaystyle l（n）｝$分为重量×水平，通过连续分解水平，我们回到了算术基本定理。我们看到算术基本定理和埃拉托西尼筛在图表上。

日志绘图(A020639号)vs日志(A032742美元)对于n≤10^4，埃拉托斯烯的筛(OEIS图)以下为：

素数分解

${\显示样式p（1）=2}$,${\显示样式p（2）=3}$和${\显示样式p（4）=7}$是唯一不可分解的素数吗。除了${\显示样式p（1）=2}$,${\显示样式p（2）=3}$和${\显示样式p（4）=7}$，的分解为重量×水平+跳跃素数的是：

• A000040型（n）=A117078号（n） ×A117563号（n）+A001223号（n） （l（n）=A118534号（n） ）。

日志绘图(A117078号)vs日志(A117563号)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

与OEIS相关的素数分类

（1；i）级底漆

一级素数的分类原则：

• 如果是${\显示样式p（n）}$,${\显示样式l（n）}$是质数表示${\显示样式质数（n-i）}$然后${\显示样式p（n）}$属于（1；i）级。

• （1；1）级的素数是平衡素数: (A006562号);
• （1；2）级底漆：A117876号;
• （1；3）级底漆：A118467号;
• ...

直接关系

对于${\显示样式p（n）}$与2、3和7不同，我们有：

• ${显示样式l（n）=p（n）-g（n）=2\乘以p（n，p（n+1）=k（n）\乘以l（n），\，}$

• ${\显示样式p（n）=l（n）+g（n）=k（n）\乘以l（n）+g（n$

• ${\显示样式\gcd（g（n），2）=2，\，}$

• ${显示样式\gcd（p（n），g（n））=\gcd$

• ${\显示样式3\leqk（n）\leql（n），\，}$

• $｛\displaystyle1\leq L（n）\leq L（n）/3，\，｝$

• ${\显示样式2\leq g（n）\leq k（n）-1，\，}$

• ${\显示样式2\乘以g（n）+1\leqp（n）.\，}$

按重量分类的底漆

对于按重量分类的素数（参见。A162175号)（其中的素数${\显示样式k（n）\leq L（n）\，}$)，我们有：

• $显示样式g（n）+1\leqk（n）\leq{\sqrt{l（n）}}\leqL（n）\ leq{\frac{l（n）}{3}}.\，}$

82,89%的素数${\显示样式p（n）}$是按重量分类对于${\显示样式n\leq 5\cdot 10^{7}}$.

我们可以看到，根据定义，按权重分类的素数遵循勒让德猜想和安德里卡猜想。

按等级分类的底漆

对于按等级分类的素数（参见。A162174型)（其中的素数$｛\displaystyle k（n）＞L（n）｝$)，我们有：

• $显示样式L（n）$

• ${\显示样式L（n）+2\leq g（n）+1\leq k（n）\leq L（n）.\，}$

17.11%的素数${\显示样式p（n）}$是按级别分类对于${\显示样式n\leq 5\cdot 10^{7}}$.

知道素数在自然数中是稀有的，根据数值数据，我们做出以下推测：

• 猜测9：该按级别分类的素数在素数中稀少。

较小的双素数

如果${\显示样式p（n）}$是一个双质数中较小的一个大于${\显示样式3}$然后${\显示样式p（n）}$有一个重量属于${\显示样式3}$.如果${\显示样式p（n）}$有一个重量属于${\显示样式3}$然后${\显示样式p（n）}$是一个双质数中较小的一个大于${\显示样式3}$.

猜测

著名的关于双素数无穷大存在性的猜想可以重写为：

• 猜想1：带重量等于3是无限的。

为了扩展这个猜想，我们提出了这两个猜想：

• 猜想2：带重量对于任何情况，等于k都是无限的${\显示样式k\geq 3\，}$其不是2的倍数；

• 推测3：的素数水平 ${\显示样式L}$对于任何情况都是无限的${\显示样式L\geq 1\，}$不是2的倍数。

 

• 猜想4：除了p（6）=13，p（11）=31，p（30）=113，p（32）=131 et p（154）=887按级别分类有一个重量它本身就是一个质数。

 关于无穷大存在性的猜想平衡素数可以重写为：

• 猜想5：数量水平（1；1）的素数是无限的。

我们可以很容易地概括为：

• 推测6：数量水平（1；i）的素数对于任何i≥1都是无限的。

 

• 猜测7:如果跳g（n）不是6的倍数，那么l（n）是3的倍数。（琐碎）

• 推测8:如果l（n）不是3的倍数跳g（n）是6的倍数。（琐碎）

 知道素数在自然数中是稀少的，根据数值数据，我们做出以下推测：

• 猜测9：该按级别分类的素数在素数中是稀有的。

奇数分解

如果分解是可能的，我们有：

• A005408号（n）=A090368号（n-1）×A184726号（n） +2（l（n））=A005408号（n-1））。

日志绘图(A090368号)vs日志(A184726号)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

偶数分解

如果分解是可能的，我们有：

• A005843号（n）=A090369号（n-1）×A184727号（n） +2（l（n））=A005843号（n-1））。

日志绘图(A090369号)vs日志(A184727号)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

复合数的分解

如果分解是可能的，我们有：

• A002808号（n）=A130882号（n） ×A179621号（n）+A073783号（n） （l（n）=A179620型（n） ）。

日志绘图(A130882号)vs对数(179621英镑)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

半素数的分解

如果分解是可能的，我们有：

• A001358号（n）=A130533型（n） ×A184729号（n）+A065516型（n） （l（n）=A184728号（n） ）。

日志绘图(A130533型)vs日志(A184729号)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

3-几乎素数的分解

如果分解是可能的，我们有：

• A014612号（n）=A130650个（n） ×A184753号（n）+A114403号（n） （l（n）=184752英镑（n） ）。

日志绘图(A130650个)vs日志(A184753号)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

幸运数字的分解

如果分解是可能的，我们有：

• A000959号（n）=A130889号（n） ×184428英镑（n）+A031883美元（n） （l（n）=A184827号（n） ）。

日志绘图(A130889号)vs日志(A184828号)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

素数幂分解

如果分解是可能的，我们有：

• A000961号（n）=A184829号（n） ×A184831号（n）+A057820号（n） （l（n）=A184830型（n） ）。

日志绘图(A184829号)vs日志(A184831号)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

无平方数的分解

如果分解是可能的，我们有：

• A005117号（n）=A184832号（n） ×A184834号（n）+A076259号（n） （l（n）=A184833型（n） ）。

日志绘图(A184832号)vs日志(184834元)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

三角数的分解

如果分解是可能的，我们有：

• A000217号（n）=A130703号（n） ×A184219号（n） +（n+1）（（l（n））=A184218号（n）=A000096号（n-2））。

日志绘图(A130703号)vs日志(A184219号)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

平方的分解

如果分解是可能的，我们有：

• A000290型（n）=A133150型（n） ×A184221号（n）+A005408号（n） （l（n）=A184220型（n）=A008865号（n-1））。

日志绘图(A133150型)vs日志(A184221号)对于n≤10^4(OEIS图)以下为：

五边形数的分解

如果分解是可能的，我们有：

• A000326号（n）=133151英镑（n） ×A184751号（n）+A016777号（n） （l（n）=A184750个（n） ）。

日志绘图(A133151号)vs日志(A184751号)对于n≤10^3(OEIS图)以下为：

序列

序列与分解有关。

另请参见

• 素数的分类

外部链接

• arXiv:0711.0865[math.NT]：分解为weight*level+jump并应用于新的素数分类，2007-2010，雷米·艾斯曼.