搜索： a292906-编号：a292906
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A032279美元
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| 2种颜色的n颗珠子的手镯（周转项链）数量，其中5颗为黑色。 |
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1, 1, 3, 5, 10, 16, 26, 38, 57, 79, 111, 147, 196, 252, 324, 406, 507, 621, 759, 913, 1096, 1298, 1534, 1794, 2093, 2421, 2793, 3199, 3656, 4152, 4706, 5304, 5967, 6681, 7467, 8311, 9234, 10222, 11298, 12446, 13691, 15015, 16445
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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5,3
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评论
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还有5个珠子的非等效项链的数量，每个珠子涂有n种颜色中的一种。
该序列解决了k=5时关于凸k-gons的所谓Reis问题。全解由H.Gupta（1979）给出；我对古普塔的结果给出了一个简短的证明，并展示了这个问题与以下每个问题的等价性：列举了由两种颜色的n个珠子组成的手镯，其中k个是黑色的，以及列举了由n种颜色中的一种绘制的k个珠子的项链。
a（n）是n阶（0,1）-循环中每行有五个1的恒量的不同值个数的基本上不可改进的上限估计。（结束）
a（n+5）是T_1 X h振动微扰矩阵h（Q）的级数展开中n阶对称允许的线性无关项的数目（参见Dunn&Bates）-布拉德利·克莱2015年7月20日
设（c（n）:n>=1）是一个非负整数序列，设c（x）=Sum_{n>=1}c（n）*x^n是它的g.f。设k是一个正整数。设a_k=（a_k（n）：n>=1克里斯蒂安·鲍尔下面是的web链接。可以证明，当k是奇数时，A_k（x）=（（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*C（x^d）^（k/d）+C（x*2）^。
对于这个序列，k=5，c（n）=1，所有n>=1，c（x）=x/（1-x）。因此，对于所有n>=1，a（n）=a_5（n）。由于对于1<=n<=k-1，a_k（n）=0，因此该序列的偏移量为n=k=5。应用（c（n）：n>=1）的DIK[5]的g.f.公式，其中c（x）=x/（1-x）和k=5，我们得到A（x）=A_5（x）＝x^5*（（1/5）*求和{d|5}φ（d）*（1-x^d）^（-5/d）+（1+x）/（1-x2）^3）/2，这显然等于下面公式部分中的g.f。
g.f.也是赫伯特·科西姆巴的公式对奇偶k都有效：A_k（x）=x^k*（（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*（1-x^d）^（-k/d）+（1+x）/（1-x ^2）^Floor[（k+2）/2]）/2。
这里，a（n）被定义为两种颜色的n珠子手镯的数量，带有5个黑色珠子和n-5个白色珠子。但它也是带有5个正部分的n的二面体组成数。（此声明相当于弗拉基米尔·舍维列夫上面的说法是，a（n）是“由5个珠子组成的非等效项链的数量，每个珠子由n种颜色中的一种涂成。”“项链”的意思是“周转项链”。见他2004年在《印度纯粹与应用数学杂志》上发表的论文第2节第（2）段。）
n的两个环状组成（k=5份）属于相同的等价类，对应于n的二面体组成，当且仅当其中一个可以通过旋转或顺序反转从另一个获得。（结束）
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参考文献
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N.Zagaglia Salvi，《自行车和项链的有序分区和着色》，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.
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链接
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内斯琳·本亚希亚·塔尼（Nesrine Benyahia-Tani）、扎赫拉·亚希（Zahra Yahi）和萨德克·布鲁比（Sadek Bouroubi）内接在正n边上的有序和无序非相接凸四边形。罗斯托克数学。科洛克。68、71-79（2013），定理1。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，第35卷，第5期（2004年），629-638。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，第35卷，第5期（2004年），629-638。
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配方奶粉
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“DIK[5]”（项链，模糊，未标记，5部分）变换为1，1，1。。。
通用格式：x^5*（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x ^2）^2x（1-x^5））偏移量5修正为罗伯特·伊斯雷尔，2015年7月22日
如果n==k（mod d），则取s（n，k，d）=1，否则取0。然后
a（n）=（2/5）*s（n，0,5）+（n-1）*（n-3）*（（n-2）*（n-4）+15）/240，如果n是奇数>=5；
a（n）=（2/5）*s（n，0.5）+（n-2）*（n-4）*（（n-1）*（n-3）+15）/240，如果n甚至>=5。（结束）
a（n+5）=楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16）-罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日
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例子
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每一个有两种颜色的n珠子手镯（其中5个珠子是黑色的，n-5个是白色的）都可以通过以下方式转化为具有5个阳性部分的n的二面体组合。从一个B珠子开始，朝一个方向（顺时针方向）移动，直到到达下一个B珠。继续此过程，直到回到原来的B珠。
让b_i是从b珠子i到b珠子i+1（或b珠子1）之前的最后一个W珠子的珠子数。这里，b_i=1，如果b珠i和b珠i+1（或b珠5和b珠1）之间没有W珠。然后b1+b2+b3+b4+b5=n，我们得到了n的二面体组成（当然，b2+b2+b4+B5+b1和b5+b4+5+b3+b2+b1属于二面体构成b1+b2+b2+B3+b4+5的相同等价类）
例如，a（8）=5，我们有以下带有5个B珠子和3个W珠子的手镯。在手镯旁边，我们列出了n的相应二面体组成，k=5部分（必须在圆上查看）：
BBBBB WWW<->1+1+1+4
BBBBWBWW<->1+1+1+2+3
BBWBBBWW<->1+2+1+3
BWBBWBWB<->2+1+2+1
BWBWBBB<->2+2+2+1+1
（结束）
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MAPLE公司
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seq（楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年7月22日
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数学
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k=5；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，Divisors[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OrdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k'，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
系数列表[级数[（1-x+2x^3-x^5+x^6）/（1-x）^2（1-x^2）^2[1-x^5）），{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2013年9月7日*）
k=5（*手镯问题中的黑色珠子数量*）；系数列表[级数[x^k*（1/k加@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2,{x，0,50}]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月4日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=圆形（（n^4-10*n^3+50*n^2-（110+30*（1-n%2））*n）/240+3/5）\\华盛顿·邦菲姆2008年7月17日
（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x^2）^2*（1-x^5））//文森佐·利班迪2013年9月7日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A005514号
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| 带有8个红色珠子和n-8个黑色珠子的n珠子手镯（周转项链）数量。
（原名M3801）
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7
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1, 1, 5, 10, 29, 57, 126, 232, 440, 750, 1282, 2052, 3260, 4950, 7440, 10824, 15581, 21879, 30415, 41470, 56021, 74503, 98254, 127920, 165288, 211276, 268228, 337416, 421856, 523260, 645456, 790704, 963793, 1167645, 1408185
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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8,3
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评论
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还有由8个珠子组成的非等效项链，每个珠子由n种颜色中的一种涂成。
该序列解决了在k=8的情况下关于凸k-gons的所谓Reis问题（参见我们在A032279美元).
（结束）
设（c（n）：n>=1）是一个非负整数序列，c（x）=Sum_{n>=1}c（n）*x^n是它的g.f。设a_k=（a_k（n）：n>=1）为序列的DIK[k]变换的输出序列（c（n）:n>=1。可以证明，当k为偶数时，A_k（x）=（（1/k）*Sum_{d|k}phi（d）*C（x^d）^（k/d）+（1/2）*C（x^2）^（（k/2）-1）*（C（x）^2+C（x^2））/2。
对于这个序列，k=8，c（n）=1，所有n>=1，c（x）=x/（1-x）。因此，对于所有n>=1，a（n）=a_8（n）。由于对于1<=n<=k-1，a_k（n）=0，因此该序列的偏移量为n=k=8。应用c（x）=x/（1-x）且k=8时（c（n）：n>=1）的DIK[8]的g.f.公式，我们得到赫伯特·科西姆巴的公式如下。
这里，a（n）被定义为两种颜色的n珠子手镯的数量，其中有8个红色珠子和n-8个黑色珠子。但它也是n的八分之二面体组成数。（此声明相当于弗拉基米尔·舍维列夫上面的说法是，a（n）是“由8个珠子组成的非等效项链的数量，每个珠子由n种颜色中的一种涂成。”“项链”的意思是“周转项链”。见他2004年在《印度纯粹与应用数学杂志》上发表的论文第2节第二段。）
n的两个循环组成（k=8部分）属于与n的二面体组成相对应的相同等价类，当且仅当其中一个可以通过旋转或颠倒顺序从另一个获得时。（结束）
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
N.Zagglia Salvi，自行车和项链的有序分割和着色，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.
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链接
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Hansraj Gupta，不一致循环k-gon的计数印度J.Pure和Appl。数学。，10（1979年），第8期，964-999。
W.D.Hoskins和Anne Penfold街，给定数量线束上的斜纹，J.Austral。数学。Soc.序列号。A 33（1982），第1期，第1-15页。
W.D.Hoskins和A.P.街，给定数量线束上的斜纹，J.Austral。数学。Soc.（A系列），33（1982），1-15。（带注释的扫描副本）
理查德·赖斯（Richard H.Reis），古普塔论文中C（T）的一个公式印度J.Pure和Appl。数学。，10（1979），第8期，1000-1001。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，35（2004），第5期，629-638。
弗拉基米尔·舍维列夫，项链和凸面k形印度J.Pure和Appl。数学。，35（2004），第5期，629-638。
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配方奶粉
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S.J.Cyvin等人（1997年）给出了一个g.f.（见他们论文第870页的等式（18））。除了额外的x^8外，他们的g.f.与V.Jovovic给出的相同。）-Petros Hadjicostas公司（2018年7月14日）
通用公式：（x^8/16）*（1/（1-x）^8+4/（1-x^8）+5/（1-x2）^4+2/8/（1+x）^4/（1+x^2）^2/（1+x^4）-弗拉德塔·乔沃维奇2002年7月17日
设s（n，k，d）=1，如果n==k（mod d），否则为0。然后
a（n）=（（n+4）/32）*s（n，0,8）+（（n-4）/32；a（n）=（48*C（n-1,7）+（n-1）*（n-3）*（n-5）*（n7））/768，如果n奇数>=8。
（结束）
序列（a（n）：n>=8）是鲍尔的“DIK[8]”（手镯，模糊，未标记，8部分）变换的输出序列，1，1。。。
（结束）
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例子
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每一个有两种颜色的n珠子手镯，其中8个珠子是红色的，n-8个是黑色的，可以通过以下方式转换成由8个部分组成的n的二面体。从一个R珠子开始，朝一个方向（顺时针方向）移动，直到到达下一个R珠。继续此过程，直到回到原来的R胎圈。
设b_i为R珠子i到R珠子i+1（或R珠子1）之前的最后一个b珠子的珠子数。这里，b_i=1，如果R珠i和R珠i+1（或R珠8和R珠1）之间没有b珠。然后是b_1+b_2+…+b8=n，我们得到了n的二面体组成（当然，b2+b3+…+b8+b1和b8+b27+…+b1属于二面体构成b1+…+b28的相同等价类。）
例如，a（10）=5，我们有以下带有8个R珠子和2个B珠子的手镯。在手镯旁边，我们列出了n的相应二面体组成，k=8部分（必须在圆上查看）：
RRRRRRRR BB<->1+1+1+1+1+1+3
RRRRRRR BRB<->1+1+1+1+1+2
RRRRRR BRRB<->1+1+1+1+2
rrrrr brrrb<->1+1+1+2+1+1+2
RRRRBRRRRB<->1+1+2+1+1+2
（结束）
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数学
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k=8；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，Divisors[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OrdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k'，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}](*罗伯特·拉塞尔2004年9月27日*）
k=8；系数列表[级数[x^k*（1/k加@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2,{x，0,50}]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月4日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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经核准的
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1, 1, 2, 2, 3, 6, 7, 11, 18, 29, 42, 73, 111, 183, 299, 491, 796, 1333, 2188, 3652, 6073, 10155, 16959, 28500, 47813, 80508, 135621, 228967, 386749, 654535, 1108353, 1879478, 3189495, 5418556, 9212099, 15676275, 26694509, 45493327, 77580915
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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（1,1,1,1，…）的CycleBG变换。
循环BG变换T（A）=invMOEBIUS（invEULER（Carlitz（A））+A（x^2）-A）+A。
Carlitz变换T（A（x））具有g.f.1/（1-求和{k>0}（-1）^（k+1）*A（x^k））。
G.f.：x/（1-x）-和{s>=1}（φ（s）/s）*f（x^s），其中f（x）=log（1-和{n>=1}x^n/（1+x^n））+和{n>=1}log（1+x ^n）和φ=A000010号是欧拉的总方向函数-佩特罗斯·哈吉科斯塔斯，2017年9月6日
CycleBG变换的一般公式：T（A）（x）=A（x）-求和{k>=0}A（x^（2k+1））+求和{k>=1}（phi（k）/k）*log（Carlitz（A）（x^k））。有关证明，请参阅上面的链接。（对于这个序列，A（x）=x/（1-x）。）-Petros Hadjicostas公司，2017年10月8日
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例子
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a（6）=6，因为6的6个循环组成为：6，5+1，4+2，3+2+1，3+1+2，2+1+2+1。
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作者
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