搜索： a264173-编号：a264172
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A264319型
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| 连续模式3412正好出现k次（可能重叠）的[n]置换的数量T（n，k）；三角形T（n，k），n>=0，0<=k<=max（0，floor（n/2-1）），按行读取。 |
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13
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1, 1, 2, 6, 23, 1, 110, 10, 631, 88, 1, 4223, 794, 23, 32301, 7639, 379, 1, 277962, 79164, 5706, 48, 2657797, 885128, 84354, 1520, 1, 27954521, 10657588, 1266150, 38452, 89, 320752991, 137752283, 19621124, 869740, 5461, 1, 3987045780, 1904555934, 316459848
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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图案2143给出了相同的三角形。
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链接
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配方奶粉
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Sum_｛k>0｝k*T（n，k）=上限（（n-3）*n/4!) =A061206型（n-3）（对于n>3）。
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例子
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T（4,1）=1:3412。
T（5,1）=10:14523、24513、34125、34512、35124、43512、45123、45132、45231、53412。
T（6.2）=1:563412。
电话（7,2）=23:1674523，2674513，3674512，4673512，5614723，5624713，5634127，5634712，5673412，5714623，5724613，5734126，5734612，6573412。
T（8.3）=1:78563412。
T（9,3）=48:189674523，289674513，389674512。。。，896745132, 896745231, 978563412.
三角形T（n，k）开始于：
00 : 1;
01 : 1;
02 : 2;
03 : 6;
04 : 23, 1;
05 : 110, 10;
06 : 631, 88, 1;
07 : 4223, 794, 23;
08 : 32301, 7639, 379, 1;
09 : 277962, 79164, 5706, 48;
10 : 2657797, 885128, 84354, 1520, 1;
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枫木
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b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，则添加（展开(
b（u+j-1，o-j，j）*`如果`（t<0且j<1-t，x，1）），j=1..o）+
加（b（u-j，o+j-1，`if`（t>0且j>t，t-j，0）），j=1..u））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p））（b（n，0$2））：
seq（T（n），n=0..14）；
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数学
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b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=如果[u+o==0，1，Sum[Expand[b[u+j-1，o-j，j]*如果[t<0&j<1-t，x，1]]，{j，1，o}]+总和[b[u-j，o+j-1；如果[t>0&j>t，t-j，0]]，}，{j、1，u}]]；T[n_]：=函数[p，表[系数[p，x，i]，{i，0，指数[p，x]}][b[n，0，0]]；表[T[n]，{n，0，14}]//扁平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗，2017年1月16日，翻译自Maple_*）
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交叉参考
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k=0-10列给出：A113229号,A264320型,A264321型,A264322型,A264323型,1964年2月24日,A264325型,A264326型,A264327型,A264328号,A264329号.
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关键字
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非n,标签
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作者
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状态
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经核准的
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A061206型
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| a（n）＝在[n+3]的所有排列中连续图案1324的出现总数。 |
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12
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1, 10, 90, 840, 8400, 90720, 1058400, 13305600, 179625600, 2594592000, 39956716800, 653837184000, 11333177856000, 207484333056000, 4001483566080000, 81096733605888000, 1723305589125120000, 38318206628782080000, 889833909490606080000, 21543347282404147200000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（n）是用最多n种颜色着色的n+3个球的序列数，这样正好有四个球与序列中的其他球的颜色相同-杰里米·多佛2017年9月27日
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链接
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配方奶粉
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a（n）=n*（n+3）/24
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j），那么a（n-3）=（-1）^n*f（n、4、-2），（n>=4）-米兰Janjic2009年3月1日
a（n）=（（n+4）/6） *求和{k=1..n}（k+2）/（k+4）-加里·德特利夫斯2010年8月5日
a（n）=n*二项式（-n，4）-彼得·卢什尼2016年4月29日
求和{n>=1}1/a（n）=118/3-16*e-4*gamma+4*Ei（1），其中gamma是Euler常数(A001620号)并且Ei（1）是1处的指数积分(A091725号).
求和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=2/3-8/e+4*gamma-4*Ei（-1），其中-Ei（-1(A099285号). （结束）
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例子
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a（4）=840，因为4*（7！）/24=4*7*6*5=840。
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枫木
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a:=n->n*二项式（-n，4）：seq（a（n），n=1..20）#彼得·卢什尼2016年4月29日
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数学
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数组[#（#+3）！/24&，20]（*或*）数组[#！*二项式[-#，4]&，20'(*迈克尔·德弗利格2017年9月30日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[范围（4，21）内的n的二项式（n，4）*阶乘（n-3）]#零入侵拉霍斯2009年7月7日
（岩浆）[1..20]]中的[n*阶乘（n+3）/24:n//文森佐·利班迪2011年10月11日
（PARI）a（n）=n*（n+3）/24; \\阿尔图·阿尔坎2017年10月8日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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梅尔文·奈特（knightmj（AT）juno.com），2001年5月30日
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扩展
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状态
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经核准的
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A113228号
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| a（n）是避免连续模式1324的[1..n]的排列数（同样，避免4231的排列）。 |
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9
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1, 1, 2, 6, 23, 110, 632, 4229, 32337, 278204, 2659223, 27959880, 320706444, 3985116699, 53328433923, 764610089967, 11693644958690, 190015358010114, 3269272324528547, 59373764638615449, 1135048629795612125, 22783668363316052016, 479111084084119883217
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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链接
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科林·德芬特、诺亚·克拉维茨和内森·威廉姆斯，Ungar游戏，arXiv:2302.06552[math.CO]，2023年。
Sergi Elizalde和Marc Noy，排列中的连续模式，高级申请。数学。30 (2003), 110-125.
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配方奶粉
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在下面Mathematica中编码的递归中，w[n，a]=#1324-避免在[n]上使用第一个条目a进行排列；u[n，a，b]是以上升a<b开始的数字，v[n，a]是从a（n>=2）开始下降的数字。u[n，a，b]的主和按最长初始递增子序列的长度k计数。分别考虑k=2、k=3、k>=4的情况。
a（n）~c*d^n*n！，其中d=0.955850313474249989886507376383060906722796…，c=1.15104498870191374794895134035262624-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年8月23日
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例子
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在24135中，条目2435的顺序是相对的1324，但它们不是连续出现的，24135避免了连续的1324模式。
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枫木
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b： =proc（u，o，t）选项记忆`如果`（u+o=0，1，
加（b（u-j，o+j-1，`if`（t>0且j<t，-j，0）），j=1..u）+
加（b（u+j-1，o-j，j），j=1..`如果`（t<0，min（-t-1，o），o））
结束时间：
a： =n->b（n，0，0）：
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数学
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清除[u，v，w]；w[0]=1；w[1]=1；w[2]=2；w[n]/；n> =3:=w[n]=总和[w[n，a]，{a，n}]；w[1，1]=w[2，1]=w[2,2]=1；w[n，a]/；n> =3&&1<=a<=n：=和[u[n，a，b]，{b，a+1，n}]+v[n，a]；v[1,1]=1；v[n，a]/；n> =2&&a==1：=0；v[n，a]/；n> =2&&2<=a<=n：=w累计[n-1，a-1]；w累计[n_，k_]/；不是[1<=k<=n]：=0；w累计[n_，k]/；1<=k<=n：=wCumulative[n，k]=总和[w[n，a]，{a，k}]；u[n，a，b]/；不是[1<=a<b<=n]：=0；u[2,1,2]=u[3，1，2]=u[3]，1，3]=u[3,2,3]=1；u[n，a，b]/；n> =4&&1<=a<b<=n:=u[n，a，b]=wCumulative[n-2，a-1]+Sum[u[n-2、c、d]、{d、c+1、b-2}]+v[n-2和c]、{c、a、b-2{]+（n-b）wCumultive[n-3，b-2]+Sum[（Sum[u[n-3、d、e]、{e、d+1、c-3}]+v[n-3和d]），{d，b-1，c-3}]，{c，b+1，n}]+总和[（n-c）bi[c-b-1，i]w累计[n-4-i，c-i-3]，{i，0，n-2-b}，{c，b+i+1，n-1}]+和[bi[c-b1，i]*求和[（和[u[n-4-i，e，f]，{f，e+1，d-i-4}]+v[n-4-i，e]），{d，c+1，n}，{e，c-i-2，d-i-4]，{i，0，n-3-b}，}，c+i+1，n-1}]+如果[{a，b}={1，2}，1，0]；表[w[n]，{n，0，12}]
（*第二个节目：*）
b[u_，o_，t_]：=b[u，o，t]=如果[u+o==0，1，总和[b[u-j，o+j-1，如果[t>0&&j<t，-j，0]]，{j，1，u}]+总和[b[u+j-1，o-j，j]，{j,1，If[t<0，Min[-t-1，o]，o]}]]；a[n]：=b[n，0，0]；表[a[n]，{n，0，25}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2017年1月19日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 10, 86, 782, 7571, 78726, 882997, 10657118, 137977980, 1910131680, 28178987795, 441555002430, 7326966011380, 128386409972224, 2369404379818067, 45945570232645676, 934057289766619391, 19867567809865839562, 441307130768553551181, 10218971845916640741804
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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4,2
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链接
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例子
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a（4）=1:1324。
a（5）=10:12435、13245、13254、14253、14352、21435、24351、31425、41325、51324。
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A264175号
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| 连续模式1324中正好出现两次（可能重叠）的[n]排列数。 |
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+10
2
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2, 29, 407, 5856, 84351, 1251246, 19318314, 311306106, 5247587002, 92593553775, 1709675651881, 33009644160452, 665774603385155, 14011066071814409, 307285854478257587, 7014599706534263680, 166463062283304010885, 4101715354110043233880, 104819153609360857542346
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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6,1
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|
链接
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例子
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a（6）=2:132546142536。
a（7）=29:1243657，1253647，1324657，1325467，1325476，1326475，1326574，1425367，1425376，1426375，1426573，1436572，1526374，1526473，1536472，2143657，2153647，2436571，2536471，3142657，3152647，4132657，4152677，5132647，5142637，6132547，6142537，7132546，7142536。
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
|
经核准的
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A264176型
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| 连续模式1324中正好出现三次（可能重叠）的[n]排列数。 |
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+10
2
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5, 94, 2215, 48234, 984498, 20018292, 410686782, 8572433100, 183327724185, 4031683382270, 91372697900165, 2136865477317678, 51598608241844089, 1286708862328929178, 33133108712407230345, 880758960967930222782, 24159154493395236208028, 683464289463119208686060
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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8,1
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链接
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例子
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a（8）=5:1325476813264758142537681426375815263748。
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交叉参考
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|
关键字
|
非n
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|
作者
|
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状态
|
经核准的
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| |
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264177元
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| 连续模式1324中恰好出现四次（可能重叠）的[n]排列数。 |
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+10
2
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14, 322, 14322, 446883, 12483967, 338673045, 9001362380, 238129970970, 6339260568095, 170856651003305, 4682542114588253, 130886424229747444, 3738852184485065063, 109293382675549834910, 3272185613468650581758, 100391722311294374198126, 3157137371183609019647618
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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10,1
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|
链接
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|
交叉参考
|
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|
关键字
|
非n
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|
作者
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状态
|
经核准的
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| |
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1964年
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| 连续模式1324中正好出现五次（可能重叠）的[n]排列数。 |
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+10
2
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42, 1140, 111599, 4611558, 173158550, 6150882796, 207804108053, 6856445861216, 223949186168735, 7301452481956954, 239153348717534527, 7905330813488457406, 264571946551458787730, 8986227993271868092040, 310292223622481235050006, 10906047958204275121950876
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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12,1
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链接
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A264179号
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| 具有连续图案的恰好六次（可能重叠）出现的[n]的排列的数目1324。 |
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+10
2
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132, 4125, 1020505, 51702016, 2624962373, 120276735039, 5090983012009, 207018756962968, 8203026471635019, 320184726894303006, 12416042942124295046, 481161485425852541912, 18716816000121904713776, 733252038482676120349158, 29003355422362252267923702
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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14,1
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|
链接
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A264180型
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| 连续模式1324中恰好出现七次（可能重叠）的[n]排列数。 |
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+10
2
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429, 15158, 10456115, 614782886, 43495122923, 2526575343670, 132579863515715, 6585406452179450, 313695654024665114, 14537292870957416456, 662270871072941918072, 29874010431593104928640, 1341720576566678207783742, 60253806120517563450850104
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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16,1
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链接
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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