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数字1,2,……的交替幂和的普通生成函数的分子多项式的系数数组,。。。,2*n+1。
+10 4
1, 1, -4, 5, 1, -12, 55, -114, 94, 1, -24, 238, -1248, 3661, -5736, 3828, 1, -40, 690, -6700, 40053, -151060, 351800, -465000, 270576, 1, -60, 1595, -24720, 247203, -1665900, 7660565, -23745720, 47560876, -55805520, 29400480, 1, -84, 3185, -72030, 1081353, -11344872, 85234175, -461800710, 1790256286, -4843901664, 8693117160, -9320129280,4546558080
评论
这是前2*n+1个正整数的交替幂和的o.g.f.的分子多项式数组。
a(k,2*n+1)的明显例子f:=和{j=1..2*n+1}(-1)^(j+1)*j^k是go(n,x):求和{j=1..2*n+1}(-1)^(j+1)*exp(j*x)=exp(x)*(exp((2*n+1)*x)+1)/(exp。
通过拉普拉斯变换(参见下面的链接A196837号,附录)找到相应的o.g.f.:Go(n,x)=Po(n、x)/Product_{j=1..2*n+1}(1-j*x),分子多项式Po(n,x)=和{m=0..2*n}a(n,m)*x^m。
配方奶粉
a(n,m)=[x^m](Go(n,x)*Product_{j=1..2*n+1}(1-j*x)),序列a(k,2*n+1)的o.g.f.Go(n,x):=Sum_{j=1..2*n+1}(-1)^(j+1)*j^k。请参阅上面的注释。
a(n,0)=1,n>=0,和a(n、m)=(-1)^m*((和{i=1..n}S_{2*i-1,2*i}(2*(n-1),m)+|S(2*n+1,2n+1-m)|),n>=0,m=1..2*n,数字三角形S_{i,j}(n,k)的(i,j)-族在A196845号和第一类Stirling数s(n,m)=A048994号(n,m)。
例子
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0: 1
1: 1 -4 5
2: 1 -12 55 -114 94
3: 1 -24 238 -1248 3661 -5736 3828
4: 1 -40 690 -6700 40053 -151060 351800 -465000, 270576
...
序列a(k,5)的o.g.f.:=(1^k-2^k+3^k-4^k+5^k)=A198628号(k) ,k>=0,(n=2)是Go(2,x)=(1-12*x+55*x^2-114*x^3+94*x^4)/Product_{j=1..5}(1-j*x)。
a(3,2)=S_{1,2}(5,1)+S_{3,4}(5,1)+S_{5,6}(5,1)+|S(7,5)|=A196845号(5,1) +A196846号(5,1)+17+|s(7,5)|=25+21+17+175=238。这里使用了S_{5,6}(5,1)=1+2+3+4+7=17。
0, 1, 7, 45, 287, 1821, 11487, 72045, 449407, 2789181, 17230367, 105996045, 649630527, 3968504541, 24174772447, 146908944045, 890924667647, 5393590283901, 32604530573727, 196853323284045, 1187295678104767, 7154833690143261
配方奶粉
a(n)=总和((-1)^j)*j^n,j=1..6)/3,n>=0。
例如:sum((-1)^j)*exp(j*x),j=1..6)/3=exp(x)*(exp(6*x)-1)/(3*(expx(x)+1))。
O.g.f.:总和((-1)^j)/(1-j*x),j=1..6)/3=x*(1-14*x+73*x^2-168*x^3+148*x^4)/
乘积(1-j*x,j=1..6)。请参见A196847号对于分子多项式系数的公式。
MAPLE公司
(-3^n+4^n-1+2^n-5^n+6^n)/3;
结束进程:
数学
表[Total[Times@@@Partition[Riffle[Range[6]^n,{-1,1},{2,-1,2}],2]]/3,{n,0,30}](*哈维·P·戴尔2016年7月17日*)
1, 4, 28, 208, 1540, 11344, 83188, 607408, 4416580, 31986064, 230784148, 1659338608, 11892395620, 84983496784, 605698755508, 4306834677808, 30560156566660
配方奶粉
a(n)=总和(((-1)^(j+1))*j^n,j=1..7),n>=0。
例如:总和((-1)^(j+1))*exp(j*x),j=1..7)=exp(x)*
(1+exp(7*x))/(1+exp(x))。
O.g.f:总和(((-1)^(j+1))/(1-j*x),j=1..7)=(1-24*x+238*x^2-1248*x^3+3661*x^4-5736*x^5+3828*x*^6)/
产品(1-j*x,j=1..7)。请参见A196848号对于分子多项式系数的公式。
例子
a(2)=1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+7^2=28。
MAPLE公司
3^n-4^n+1-2^n+5^n-6^n+7^n;
结束进程:
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=([0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0;0,0,1,0,1,0,0\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年7月6日
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