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按行读取的尼科马科斯三角形，T（n，k）=2^（n-k）*3^k，对于0<=k<=n。
+10
35
1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27, 16, 24, 36, 54, 81, 32, 48, 72, 108, 162, 243, 64, 96, 144, 216, 324, 486, 729, 128, 192, 288, 432, 648, 972, 1458, 2187, 256, 384, 576, 864, 1296, 1944, 2916, 4374, 6561, 512, 768, 1152, 1728, 2592, 3888, 5832, 8748, 13122, 19683
评论
与这个序列有关的三角形具有这样的性质：每一行、每一列和每一对角线都包含一个非平凡的几何级数。更有趣的是，连接任意两个元素的每条线都包含一个非平凡的几何级数-阿玛纳斯·穆尔西2002年1月2日
Kappraff指出（第148-149页）：“我将把它称为尼科马丘斯的表，因为在格拉萨的尼科马丘斯算术（约公元150年）中出现了一个相同的数字表。”莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂在意大利文艺复兴时期重新发现了该表，他将这些数字融入了建筑的尺寸和音乐比例系统中。卡普拉夫说：“因此，一个房间可能会呈现出4:6或6:9的比例，但不是4:9。这确保了这些长度的比率将体现音乐比率”-加里·W·亚当森2003年8月18日
在尼科马库斯和阿尔贝蒂之后，几位文艺复兴时期的作家描述了这张表。例如，见1569年皮埃尔·德拉雷梅（Pierre de la Ramée）（链接部分中他的拉丁文算术论文的一页传真）-奥利维尔·杰拉德2013年7月4日
三角形和，请参见A180662号有关它们的定义，请将尼科马科斯的表与11个不同的序列联系起来，请参阅交叉引用。值得注意的是，这十一个序列可以用简单优雅的公式来描述。这个三角形的镜子是A175840个. -约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日
其中d（n）是除数函数，则d（T（i，j））=A003991号，其中的行总和为四面体数A000292号（n+1）。例如，这个三角形的第4行的除数之和（i＝4），给出d（16）+d（24）+d（36）+d（54）+d（81）＝5+8+9+8+5＝35=A000292号(5). 事实上，在p和q是不同素数的情况下，上述与除数函数和四面体数的关系可以推广到第i行为{p^（i-j）*q^j，0<=j<=i}形式的任何数字三角形；i>=0（例如。，A003593号,A003595号). -拉斐·弗兰克，2012年11月18日，2012年12月7日更正
由这些规则生成的序列（或树）：1位于S中，如果x位于S，则2*x和3*x位于S中并在重复出现时删除；看见A232559型. -克拉克·金伯利2013年11月28日
通过在字母表{0,1}上选择一个（可能是空的）单词，然后在字母表{2,3,4}上连接一个长度为j的单词，形成一个长度为i的单词。T（i，j）是此类单词的数量-杰弗里·克雷策2016年6月23日
Zorach加法三角形的形式（参见A035312号)其中每个数字是西部和西北部数字的总和，附加条件是每个数字是紧邻其下两个数字的GCD-米歇尔·拉格诺2018年12月27日
参考文献
Jay Kappraff，《超越测量》，《世界科学》，2002年，第148页。
弗洛拉·莱文（Flora R.Levin），《毕达哥拉斯尼科马库斯和声手册》（The Manual of Harmonics of Nicomachus The Pythagorean），费恩斯出版社，1994年，第114页。
链接
Reinhard Zumkeller和Matthew House，行n=0..300的三角形，展平【第0行到第120行由Reinhard Zumkeller计算；第121行到第300行由Matthew House计算，2015年7月9日】
配方奶粉
对于n>=1，T（n，k）=T（n、k-1）+T（n-1、k-1-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日
T（n，k）=2^（k-1）*3^（n-1），n，k>0由反对偶函数读取-鲍里斯·普蒂夫斯基2013年1月8日
a（n）=2^(A004736号（n） -1）*3^(A002260号（n） -1），n>0或a（n）=2^（j-1）*3^（i-1）n>0，其中i=n-t*（t+1）/2，j=（t*t+3*t+4）/2-n，t=floor[（-1+sqrt（8*n-7）））/2]-鲍里斯·普蒂夫斯基2013年1月8日
G.f.：1/（（1-2x）（1-3yx））-杰弗里·克雷策2016年6月23日
T（n，k）=（-1）^n*和{q=0..n}（-1）q*C（k+3*q，q）*C（n+2*q，n-q）-马尔科·里德尔2024年7月1日
例子
序列的开头是按行读取的三角形数组：
1
2 3
4 6 9
8 12 18 27
16 24 36 54 81
32 48 72 108 162 243
...
序列的开头为表T（n，k）n，k>0：
1 2 4 8 16 32 ...
3 6 12 24 48 96 ...
9 18 36 72 144 288 ...
27 54 108 216 432 864 ...
81 162 324 648 1296 2592 ...
243 486 972 1944 3888 7776 ...
...
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T:=proc（n，k）选项请记住：如果k=0，则2^n elif k>=1，则procname（n，k-1）+procname；
数学
扁平[表[2^（i-j）3^j，{i，0，12}，{j，0，i}]]（*扁平由哈维·P·戴尔2011年6月7日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（i=0，9，对于（j=0，i，print1（3^j<<（i-j）“，”））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年12月22日
（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，2^（n-k）*3^k）}/*迈克尔·索莫斯2012年5月28日*/
（哈斯克尔）
a036561 n k=a036561_tabf！！不！！k个
a036561_row n=a036561 _ tabf！！n个
a036561_tabf=迭代（\xs@（x:_）->x*2:map（*3）xs）[1]
（岩浆）/*作为三角形：*/[[（2^（i-j）*3^j）/3:j in[1..i]]：i in[1..10]]//文森佐·利班迪2014年10月17日
0, 1, 29, 787, 21257, 573955, 15496817, 418414123, 11297181449, 305023899379, 8235645283745, 222362422662139, 6003785411879801, 162102206120758723, 4376759565260493713, 118172508262033346635, 3190657723074900391913
评论
a（n+1）出现在尼科马科斯表的几个三角形和中A036561号即Ca2（3*n）、Ca2（3*n+1）/3、Ca2[3*n+2）/9和Ca3（n）。请参见A180662号了解这些骆驼和其他象棋的总和。
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a（n）=（27^n-2^n）/25。
G.f.:x/（（27*x-1）*（2*x-1。
数学
（#[[1]]-#[2]]）/25&/@分区[Riffle[27^范围[0，20]，2^范围[0，20]]，2](*哈维·P·戴尔2011年1月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=（27^n-2^n）/25\\伊恩·福克斯2017年12月12日
（PARI）第一（n）=Vec（x/（（27*x-1）*（2*x-1”）+O（x^n），-n）\\伊恩·福克斯，2017年12月12日
0, 1, 19, 313, 5035, 80641, 1290499, 20648713, 330381595, 5286112081, 84577812979, 1353245066713, 21651921244555, 346430740444321, 5542891848703459, 88686269584038313, 1418980313358961915
评论
a（n+1）出现在Nicomachus表的几个三角形和中A036561号即Gi1（4*n）、Gi1（4*n+1）/2、Gi1。请参见A180662号获取有关这些长颈鹿和其他象棋总和的信息。
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a（n）=（16^n-3^n）/13
G.f.:x/（（16*x-1）*（3*x-1））
0, 1, 83, 6727, 544895, 44136511, 3575057423, 289579651327, 23455951757615, 1899932092367071, 153894499481733263, 12465454458020395327, 1009701811099652023535, 81785846699071813910431, 6624653582624816926753103
评论
a（n+1）出现在尼科马科斯表的几个三角形和中A036561号即Gi2（4*n）、Gi2（4*n+1）/2、Gi2。请参见A180662号获取有关这些长颈鹿和其他象棋总和的信息。
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a（n）=（81^n-2^n）/79。
G.f.:x/（（81*x-1）*（2*x-1。
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（岩浆）[（81^n-2^n）/79:n in[0.50]]//文森佐·利班迪2011年4月15日
尼科马科斯表的镜像：T（n，k）=3^（n-k）*2^k表示n>=0和0<=k<=n。
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4
1, 3, 2, 9, 6, 4, 27, 18, 12, 8, 81, 54, 36, 24, 16, 243, 162, 108, 72, 48, 32, 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, 2187, 1458, 972, 648, 432, 288, 192, 128, 6561, 4374, 2916, 1944, 1296, 864, 576, 384, 256, 19683, 13122, 8748, 5832, 3888, 2592, 1728, 1152, 768, 512
评论
伦斯特拉称这些数字为菲利普·德·维特里（1291-1361）的调和数。德维特里想找到一对相差一的调和数。列维·本·格尔森（Levi ben Gerson），也被称为格索尼德斯（Gersonides），于1342年证明了只有四对具有这种形式2^n*3^m的特性。另请参阅彼得森的故事《中世纪的和谐》（Medieval Harmony）。
链接
J.O’Connor和E.F.Robertson，杰拉萨的尼科马科斯《MacTutor数学史档案》，2010年。
伊瓦斯·彼得森，中世纪和谐，《数学迷航》，美国数学协会，1998年。
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T（n，k）=3^（n-k）*2^k，对于n>=0和0<=k<=n。
对于n>=1和1<=k<=n，T（n，n）=2^n，对于n>=0，T（n-k）=T（n、n-k+1）+T（n-1、n-k）。
例子
1;
3, 2;
9, 6, 4;
27, 18, 12, 8;
81, 54, 36, 24, 16;
243, 162, 108, 72, 48, 32;
数学
扁平[表[3^（n-k）2^k，{n，0，10}，{k，0，n}]](*哈维·P·戴尔2013年5月8日*）
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（哈斯克尔）
a175840 n k=a175840_tabf！！不！！k个
a175840_当前n=a175840_tabf！！n个
a175840_tabf=迭代（\xs@（x:_）->x*3:map（*2）xs）[1]
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