搜索： a085823-编号：a085822
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2、3、5、7、22、23、25、27、32、33、35、37、52、53、55、57、72、73、75、77、222、223、225、227、232、233、235、237、252、253、255、257、272、273、275、277、322、323、325、327、332、333、335、337、352、353、355、357、372、373、375、377、522、523、525、527、532
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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Robert Baillie和Thomas Schmelzer，总结肯普纳的好奇（缓慢收敛）系列，Mathematica Notebook kempnerSums.nb，Wolfram Library Archive，2008年。
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配方奶粉
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a（n）=总和{j=0..m-1}（（2*b（j）+1）mod 8+楼层（b（j。
特殊值：
a（1*（4^n-1）/3）=2*（10^n-1”）/9。
a（2*（4^n-1）/3）=1*（10^n-1）/3。
a（3*（4^n-1）/3）=5*（10^n-1）/9。
a（4*（4^n-1）/3）=7*（10^n-1”）/9。
不平等：
a（n）<=2*（10^log4（3*n+1）-1）/9，等式适用于n=（4^k-1）/3，k>0。
下限和上限：
lim inf a（n）/10^log_4（n）=（7/90）*10^log_3（3）=0.48232167706987…，对于n->oo。
lim-supa（n）/10^log_4（n）=（2/9）*10^log_4（3）=1.378061934485343…，对于n->oo。
其中10^log_4（n）=n^1.66096404744。。。
通用公式：G（x）=（x^（1/3）*（1-x））^（-1）和{j>=0}10^j*z（j）^。
同时g（x）=（x^（1/3）*（1-x））^（-1）和{j>=0}10^j*z（j）^。
另外：g（x）=（1/（1-x））*。（结束）
总和{n>=1}1/a（n）=1.85733377994409775025748876514494355318556794733869779170825138954093657197…（使用Baillie和Schmelzer的kempnerSums.nb计算，请参阅链接）-阿米拉姆·埃尔达尔2024年2月15日
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例子
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a（100）=2277，
a（10^3）=55327，
a（9881）=3233232，
a（10^4）=3235757，
a（10922）=3333333，
a（10^5）=227233257。
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数学
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表[FromDigits/@Tuples[{2，3，5，7}，n]，{n，3}]//扁平(*迈克尔·德弗利格2016年9月19日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a046034 n=a046034_列表！！（n-1）
a046034_list=过滤器（all（`elem`“2357”）。显示）[0..]
（岩浆）[2..532]中的n：n |集合（Intseq（n））子集[2,3,5,7]]//布鲁诺·贝塞利2011年7月19日
（Python）
m=（3*n+1）.bit_length（）-1>>1
对于范围（m）中的j，返回int（''.join（（'2357'[（3*n+1-（1<<（m<<1）））//（3<<（m-1-j）<<1，）&3]）#柴华武2023年2月8日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A046035型,A118950型,A019546号（素数），A203263型,A035232号,A039996号,A085823号,A052382号,A084544号,A084984号,A017042号,A001743号,A001744号,A014261号,A014263号,A153025号,A191486号,A193238号,A202267号,A202268型,A211681号,A365471型（补语）。
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797, 2333, 2339, 2393, 2399, 2939, 3119, 3137, 3733, 3739, 3793, 3797, 5939, 7193, 7331, 7333, 7393, 23333, 23339, 23399, 23993, 29399, 31193
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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重复删除最低有效数字的素数在每一步都给出一个素数，直到保留一个单数字素数。序列结束于a（83）=73939133=A023107号(10).
子序列由以下连续的右截断素数“链”组成：73939133、7393913、739391、73939、7393、739、73、7，与由该序列子集形成的其他链相比，产生最大的和：73939.133+7393913+739391+73939+7393+739+737+7=82154588-亚历山大·波沃洛茨基2008年1月22日
也可以看作是第n行列出n位数术语的表；行长度（n>=9时为0）由下式给出A050986号序列可以从一位数素数开始，然后对列表中的每一个p追加10*p和10（p+1）内的素数，通过向p追加一个数字而形成-M.F.哈斯勒2018年11月7日
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参考文献
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Roozbeh Hazrat，《数学：以问题为中心的方法》，施普林格伦敦出版社，2010年，第86-89页
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链接
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I.O.Angell和H.J.Godwin，关于可截断素数，数学。计算。1977年12月31日至26日。
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MAPLE公司
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s： =[1，3，7，9]：a:=[[2]，[3]，[5]，[7]]：l1:=1:l2:=4:从l1到l2的j的do从1到4的k的do d:=[s[k]，op（a[j]）]：如果（isprime（op（convert（d，base，10，10^nops（d）））），那么a:=[op（a），d]：fi:od:od:l1:=l2+1:l2:=nops（a）：如果（l1>l2）然后中断：fi:od:seq（op（convert（a[j]，base，10，10^nops（a[j]）），j=1..nops（a））#纳撒尼尔·约翰斯顿，2011年6月21日
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数学
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eppQ[n_]：=AllTrue[FromDigits/@Table[Take[InterDigits[n]，i]，{i，IntegerLength[n]-1}]，PrimeQ]；选择[Prime[Range[3400]]，eppQ]（*程序使用Mathematica版本10中的AllTrue函数*）(*哈维·P·戴尔2015年1月14日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。列表（inits）
a024770 n=a024770_列表！！（n-1）
a024770_list=过滤器（\x->
所有（==1）$map（a010051.read）$tail$inits$show x）a038618_list
（PARI）{fileO=“b024770.txt”；v=vector（100）；v[1]=2；v[2]=3；v[3]=5；v[4]=7；j=4；j1=1；write（fileO，“12”）；write（k=1,9，z=10*v[i]+k；如果（i素数（z），j++；v[j]=z；写入（文件O，j，“，z）；））；}\\哈里·史密斯2008年9月20日
（PARI）对于（n=231193，v=n；而（i素数（n），c=n；n=（c-lift（Mod（c，10））/10）；如果（n==0，打印1（v，“，”））；n=v）\\阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2014年3月20日
（PARI）A024770号=向量（9，n，p=concat（应用（t->素数（[t，t+1]*10），如果（n>1，p）））\\ n位术语列表，1<=n<=9。使用concat（%）将其“展平”-M.F.哈斯勒2018年11月7日
（Python）
从sympy导入primerange
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交叉参考
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囊性纤维变性。A033664号,A024785号（左可运行素数），A032437号,A020994美元,A052023号,A052024号,A052025号,A050986号,A050987号,A069866号,A077390号（左右可运行素数），A137812号（左右截断素数），A254751型,A254753型.
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关键词
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非n,基础,容易的,完成,满的,美好的,标签
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作者
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状态
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经核准的
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2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 237, 373, 537, 737, 2373, 3737, 5373, 7373, 23737, 37373, 53737, 73737, 237373, 373737, 537373, 737373, 2373737, 3737373, 5373737, 7373737, 23737373, 37373737, 53737373, 73737373, 237373737, 373737373, 537373737, 737373737
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于指数n>8，素数项满足n mod 24=1，3，5，7，10，12，19，21，23。然而，这个条件是不够的。事实上，对于n<=200，大多数这些项都被证明是复合的，除非n=103、106、123、156、165、175、178、191、193和195的项可能是素数。
当n>10且n mod 24=0、2、4、6、8、9、11、13、14、15、16、17、18、20、22时，这些术语是复合的（有关详细信息，请参阅公式部分）。
（结束）
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链接
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配方奶粉
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a（1+8*k）=2*10^（2k）+37*（10^（20k）-1）/99，
a（2+8*k）=3*10^（2k）+73*（10^（20k）-1）/99，
a（3+8*k）=5*10^（2k）+37*（10^（20k）-1）/99，
a（4+8*k）=7*10^（2k）+37*（10^（20k）-1）/99，
a（5+8*k）=23*10^（2k）+73*（10^（20k）-1）/99，
a（6+8*k）=37*10^（2k）+37*（10^（20k）-1）/99，
a（7+8*k）=53*10^（2k）+73*（10^（20k）-1）/99，
a（8+8*k）=73*10^（2k）+73*（10^（20k）-1）/99，对于k>=0。
a（n）=（（2*n+7）mod 8+dn3-dn2）*10^dn_1+floor（（37+36*（dn2-dn1））*10*dn_1/99），其中dn1=floor（n+1）/4），dn2=floor。[更新者Hieronymus Fischer公司2018年10月2日]
当k>0时，a（24k+0）=73*（10^（6k-2）+（10 ^（6 k-2）-1）/99）。
a（24k+2）=3*（1245790*（10^（6k）-1）/99999+1），
a（24k+4）=7*（1053390*（10^（6k）-1）/99999+1），
a（24k+6）=37*（10^（6k）+，
a（24k+8）=73*（10^（6k）+，
a（24k+9）=3*（79124500*（10^（6k）-1）/99999+79），
a（24k+11）=3*（79124500*（10^（6k）-1）/99999+79+10^（6 k+2）），
a（24k+13）=3*（791245000*（10^（6k）-1）/99999+791），
a（24k+14）=37*（10^（6k+2）+，
a（24k+15）=3*（791245000*（10^（6k）-1）/9999999+791+10^（6k+3）），
a（24k+16）=73*（10^（6k+2）+，
a（24k+17）=7*（339105000*（10^（6k）-1）/99999+3391），
a（24k+18）=7*（5339100000*（10^（6k）-1）/99999+5339），
a（24k+20）=3*（24579100000*（10^（6k）-1）/99999+24579），
a（24k+22）=37*（10^（6k+4）+。
（结束）
n>8的递归：
a（n）=10*（1+a（n-4））-a（n-4。
通用公式：（2*x*（1+x^10）+3*x^2*（1+x^3+x^5+x^6）+5*x^3*（1+4x^6，+7*x^4*（1+2））/（（1-10*x^4）*（1-x^8））。[更正人Hieronymus Fischer公司，2012年9月3日]
当n>9时，a（n）=a（n-1）+9*a（n-4）-9*a（n-5）+10*a（n8）-10*a（-n9）。
通用公式：x*（2*x^7-2*x*6+5*x^5-2*x^4+2*x^3+2*x*2+x+2）/（（x-1）*（x^4+1）*（10*x^4-1））。（结束）
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例子
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a（11）=537，因为长度<=2的所有子串都是素数（5、3、7、53和37）。
a（21）=237373，长度<=2的子串为2、3、7、23、37、73。
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数学
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表[FromDigits/@Select[Tuples[｛2，3，5，7｝，n]，AllTrue[FromDigits/@Partition[#，2，1]，PrimeQ]&]，｛n，9｝]//压扁（*需要Mathematica版本10或更高版本*）(*哈维·P·戴尔2020年6月13日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 373, 237373, 537373, 5373737, 53737373, 53737373737, 237373737373, 737373737373737, 53737373737373737, 373737373737373737373, 53737373737373737373737, 53737373737373737373737373, 373737373737373737373737373, 5373737373737373737373737373737
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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链接
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例子
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a（10）=237373，因为长度<=2的所有子串都是素数（2、3、7、23、37、73），而237373是素数。
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A211684号
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| 数字>1000，这样所有长度=3的子串都是素数（前导为“0”的子串被视为非素数）。 |
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50
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1131, 1137, 1139, 1271, 1277, 1311, 1313, 1317, 1373, 1379, 1397, 1491, 1499, 1571, 1577, 1631, 1673, 1677, 1733, 1739, 1797, 1811, 1911, 1919, 1937, 1971, 1977, 1991, 1997, 2113, 2233, 2239, 2271, 2277, 2293, 2331, 2337, 2397, 2419, 2571
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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由于所有三位数素数都是平凡的成员，因此只考虑大于1000的数。请参见A069489号对于素数项>1000的序列。
序列是无限的（例如，考虑“19”或“337”的连续串联：1919、19191、191919…、3373、33733、337337…是成员）。
无限多的术语是回文的。
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链接
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例子
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a（1）=1131，因为长度=3（113和131）的所有子串都是素数。
a（33）=2271，因为长度=3（227271）的所有子串都是素数。
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A211685型
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| 素数>1000，因此长度>=3的所有子串都是素数（前导为“0”的子串被视为非素数）。 |
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49
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1277, 1373, 1499, 1571, 1733, 1811, 1997, 2113, 2239, 2293, 2719, 3137, 3313, 3373, 3491, 3499, 3593, 3673, 3677, 3733, 3739, 3797, 4211, 4337, 4397, 4673, 4877, 4919, 5233, 5419, 5479, 6131, 6173, 6197, 6199, 6311, 6317, 6599, 6619, 6733
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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由于所有三位数素数都是平凡的成员，因此只考虑大于1000的数。
根据定义，4位以上序列的每个项都是由先前项的重叠并集构成的，即a（59）=33739包含两个嵌入的先前项a（14）=3373和a（21）=3739。
序列是有限的，最后一项是349199（n=63）。有限性证明：设p是一个6位数以上的数。根据上面的参数，p的每个6位数子串必须是前一项。唯一的6位数术语是349199。因此，没有具有所需属性的数字p。
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链接
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例子
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a（1）=1277，因为长度>=3的所有子串都是素数（127、277和1277）。
a（63）=349199，长度>=3的所有子串（349、491、919、199、3491、4919、9199、34919、49199和349199）都是素数。
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交叉参考
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关键词
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非n,完成,基础,满的
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作者
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状态
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经核准的
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A213300型
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| 具有n个非素数子串的最大数（具有前导零的子串被视为非素数）。 |
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+10
49
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373, 3797, 37337, 73373, 373379, 831373, 3733797, 3733739, 8313733, 9973331, 37337397, 82337397, 99733313, 99733317, 99793373, 733133733, 831373379, 997333137, 997337397, 997933739, 7331337337, 8313733797, 9733733797, 9973331373, 9979337397, 9982337397
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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序列的定义很好，因为对于每个n，具有n个非素子串的数字集是非空的和有限的。存在性证明：定义m（n）：=2*sum_{j=i..k}10^j，其中k:=floor（（sqrt（8n+1）-1）/2），i:=n-k（k+1）/2。对于n=0,1,2,3，。。。m（n）是2、22、20、222、220、200、2222、2220、2200、2000、22222、22220。m（n）有k+1位和（k-i+1）2位。因此，m（n）的非素数子串的数量是（（k+1）（k+2）/2）-k1+i＝（k（k+1）/2）+i＝n。这证明了存在性。有限性证明：每个4位数至少有一个非素数子串。因此每个4*（n+1）位数至少有n+1个非素子串。因此，有一个边界b<10^（4n+3），使得所有数字>b都有n个以上的非素子串。因此，具有n个非素子串的数字集是有限的。
以下陈述是正确的：
对于所有n>=0，都存在具有n个非素子串的最大数(=A213300型=此序列）。
具有n素子串的最大数不存在。证明：如果p是一个具有n个素子串的数，那么10*p是具有n个质子串的较大数。
来自的评论N.J.A.斯隆，2012年9月1日：令人惊讶的是，任何大于373的数字都有一个非素数子串！
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（0）=373，因为373是使所有子串都是素数的最大数，因此它是具有0个非素数子串的最大数。
a（1）=3797，因为3797的唯一非素子串是9，并且所有较大的数都有1个以上的非素子字符串。
a（2）=37337，因为37337的非素子串是33和7337，并且所有较大的数都有>2个非素子字符串。
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A213321型
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| 带n个素子串的最小素数（带前导零的子串被视为非素数）。 |
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+10
46
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2, 13, 23, 113, 137, 373, 1973, 1733, 1373, 11317, 17333, 31379, 37337, 113173, 211373, 313739, 337397, 1113173, 1137337, 2313797, 2337397, 11131733, 12337397, 11373379, 33133733, 111733373, 113137337, 123733739, 291733373, 113733797, 1173313373, 1137333137, 1237337393, 1137337973
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1，1
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配方奶粉
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a（n）>10^层（（sqrt（8*n+1）-1）/2）。
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例子
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a（1）＝2，因为2是素数，所以有1个素数子串（2）。
a（2）=13，因为13是素数并且有2个素子串（3和13）
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A217309型
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| 最小自然数（十进制表示），n个素数子串以9为基数表示（带前导零的子串被视为非素数）。 |
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+10
25
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1, 2, 11, 23, 101, 173, 902, 1562, 1559, 8120, 14032, 14033, 73082, 126290, 604523, 657743, 723269, 1136684, 5918933, 5972147, 10227787, 25051529, 53276231, 54333278, 92071913, 441753767, 479669051, 483743986, 828662228, 3971590751, 4315446629
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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序列的定义很好，即对于每个n个素子串的数字集不为空。证明：定义m（0）：=1，m（1）：=2和m（n+1）：=9*m（n）+2，n>0。这导致m（n）=2*sum_{j=0..n-1}9^j=（9^n-1）/4或m（n，…。显然，对于n>0 m（n）有n 2，这是base-9表示中唯一的素子串。这就是为什么m（n）的每个超过一位数的子串都是两个整数>1的乘积（根据定义），因此不能是质数。
任何项都不能被9整除。
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配方奶粉
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a（n）>9^层（sqrt（8*n-7）-1）/2），对于n>0。
a（n）<=（9^n-1）/4，n>0。
a（n+1）<=9*a（n）+3。
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例子
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a（1）=2=2_9，因为在base-9表示中，2是带1素数子串的最小数。
a（2）=11=12_9，因为在base-9表示中，11是具有2个素子串的最小数（2_9和12_9）。
a（3）=23=259，因为23是在base-9表示法（2_9、39和239）中具有3个素子串的最小数。
a（4）=101=1229，因为101是以9为基数表示的具有4个素数子串的最小数（2乘以2_9，129=11，和1229=101）。
a（7）=1562=2125_9，因为1562是以9为基数表示的最少数，有7个素子串（2乘以2_9、5_9、12_9=11、21_9=19、25_9=23和212_9=173）。
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A217302型
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| 最小自然数（十进制表示），二进制表示中有n个素数子串（带前导零的子串被视为非素数）。 |
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+10
24
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1, 2, 5, 7, 11, 15, 27, 23, 31, 55, 47, 63, 111, 95, 187, 127, 223, 191, 381, 255, 447, 503, 383, 511, 1015, 895, 767, 1023, 1533, 1791, 1535, 1919, 3039, 3069, 3067, 3839, 3967, 6079, 6139, 6135, 7679, 8063, 8159, 12159, 12271, 15359, 16127
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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序列的定义很好，因为在二进制表示中，每n个具有n个素子串的数字集不为空。证明：A000975号（n+1）在二进制表示中正好有n个素子串（请参见A000975号).
所有n>1的项都是奇数。
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链接
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配方奶粉
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a（n）>=2^天花板（平方英尺（8*n+1）-1）/2）。
a（n+1）<=2*a（n）+1。
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例子
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a（1）=2=10_2，因为2是二进制表示中具有1素数子串（=10_2）的最小数。
a（2）=5=1012，因为5是二进制表示中具有2个素子串的最小数（102和1012）。
a（4）=11=1011-2，因为11是二进制表示（10_2、11_2、101_2和1011-2）中具有4个素子串的最小数。
a（8）=31=11111 _2，因为31是二进制表示中具有8个素子串的最小数（4乘以11 _2、3乘以111 _2和11111 _2）。
a（9）=47=101111_2，因为47是二进制表示中具有9个素子串的最小数（10_2、3乘以11_2、101_2、2乘以111_2、1011_2和10111_2）。
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交叉参考
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囊性纤维变性。A019546号,A035232号,A039996号,A046034号,A069489号,A085823号,A211681号,A211682号,A211684号,A211685型,A035244号,A079397号,A213300型-A213321型,A217303型-A217309型,A000975号.
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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