Beeler,M,Gosper,R.W.和R.哈克梅姆. 麻省理工学院AI备忘录239,1972年2月29日。HTML(Web浏览器格式)Henry Baker1995年4月。

数论、素数、概率

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项目28(SuropppEL):

经过约40分钟的运行时间来验证是否存在任何小于235的非平凡因素,即第一百二十五梅森数,
125乘2 - 1,
在星期二,1971年1月5日,在371秒运行时间如下:
125×2 - 1=31×601×1801×269089806001×471088316887950600。
亚利桑那大学的John Brillhart已经做了这件事。M137在1971年7月9日,星期五,大约50个小时的计算机时间。
137×2 - 1=33022155964 964 35569*54 39042183600 204290159。
[当前原始记录——H.B.]

项目29(SuropppEL):

对于随机数x,其最大素数因子的概率为
  1. 大于SqRT(x)=x^(1/2)为Ln 2。
  2. 小于x^(1/3)约为4.86%。
这表明相似概率与X无关;对于实例,X的最大素因子小于X^(1/20)的概率可能是与X的大小无关的分数。

相关数据:([]表示相邻条目的期望值)。

射程计数累计计数为10 ^ 12至10 ^ 6 7198 [ 6944 ] 10018 10 10 ^ 6至10 ^ 4 2466 2466 ^ ^至α^α[α] ^ ^至αy;
在哪里?

“计数”是数在10 ^ 12+1和10 ^ 12+10018之间的数,其最大素因子在“范围”内。素数在10 ^ 12+1到10 ^ 12+10018的数是335;素数定理在这个范围内预测363。这与Knuth关于勒让德因式分解方法的讨论有关,第2卷,第351-354页。

项目30(SuropppEL):

孪生素数:数字166666666666667是素数,但166666666666669不是。

括号10 ^ 12的素数为10 ^ 12+39和10 ^ 12—11。

括号10 ^ 15的素数为10 ^ 15+37和10 ^ 15—11。

数字23333333333是素数。

各种素数,使用t=10 ^ 12,分别为:

40 T+1,62.5 T+1, 200 T-3, 500 T-1, 500 T-7。

项目31(SuropppEL):

RAMANUUJYN解的问题
N 2×2 - 7=x
搜索到n=10 ^ 40;只有HIS解(n=3, 4, 5,7,15)。最近已经证明,这些都是唯一的。另一个RAMANUJAN问题:找到N的所有解!+ 1=x ^ 2。

项目32(SuropppEL):

取一个随机实数并将其加到大功率上,我们期望分数部分是均匀分布的。一些例外情况:
  1. φ=(1 +SqRT(5))/ 2
  2. 全部- 1<x<1
  3. SqRT(2)(一半是整数,另一半是均匀分布的)
  4. 1 +SqRT(2)——证明:
    n n*(1 +SqRT(2))+(1 -SqRT(2))=整数(通过归纳);(n=1(平方)(2))变为零。
  5. 2 +SqRT(2)-类似于1 +SqRT(2)
  6. 任何共轭都在单位圆内的代数数
现在,3 +SqRT(2)是可疑的;它看起来不一致,并且似乎有一个零点。问题:它不统一吗?

项目33(SuropppEL):

右数字可以被重复删除并且仍然是素数的数字:猜想:在任何基数中都有有限数量的数字。十进制中有51个,最长的是1979339333和1979339339。

项目34(SuropppEL):

问题:每一个正整数都可以用3和运算因子和整数平方根来表示吗?例如,5=SqRT(Sqt(3!!))。

项目35(SuropppEL):

从1到n取尽可能多的数字,这样就不会有3的算术级数。猜想:作为n-无穷大,这类集合的密度接近零,可能类似于
(LN 2)/(LN 3)n n。
猜想XX.XX只是不断地被复制。如果N ^ [(LN 2)/(LN 3)]可以被证明,则在算术级数中存在无穷多个素数P1,P2,P3,因为素数比n^ [(LN 2)/(LN 3)]更普遍。

项目36(SuropppEL):

问题:十进制表达式中有多少个正方形没有零点?Ternary?

项目37(高斯):

N个数字串B的个数在至少一次出现,只是第n次幂的0的第0, 1次差。例如,n=4:
0 1 16 16 256 625 625 1 1 15 65 175 369 14 369α
因此有14个(=2 ^ 4—2)这样的4位字符串,36个这样的4位三进制字符串,24(=4!)这样的第四纪,0为所有更高的基地。27(=10e?)在每个数字出现之前,随机十进制数字是必需的;50位数的可能性是95%。

项目38(Fredkin):

用二项式定理,n的0, 1, 2、……幂的0的BTH前向差是(n-1)^ b。例如,对于n=4:
1 4 16 16 64 256 3 3 12 48 192 9 9 36 144
事实上,通过这样的一个数组,任何具有有理斜率的直线总是会经历一个具有n比A(n-1)^ b的共同比例的几何序列。

第39项(舒茨伯格):

问题:使用n个数字,构造一个数字串,它在任何时间都没有连续出现两段。确定n=3的最大字符串长度。

子问题:对于任何特定的长度存在多少个序列?

项目40(高斯):

伪随机分布随机变量的方差是由T 0独立的,均匀分布的随机整数变量组成的,其范围从0到n-1,包括T((n ^ 2 - 1)/12)。

第41项(Salamin):

有23000个素数小于2 ^ 18。

项目42(高斯):

表明
n=====l n+1 n+1 L 1>二项式(n+l,l)((1 x)x+(1-x)x=1)/y====l=0。
设置n到20,观察到一个或另一个玩家在乒乓球中获胜的概率。(X =第一个玩家获得一个点的概率,L =失败者的分数,平分规则无关)。如果这看起来愚蠢,尝试更传统的方法。

问题:如果不知何故,你应该确定一个B点6点,因为他们的获胜概率是相等的,B应该点C 9点,

项目43(SuropppEL):

设(a,b,c,…)为多项式系数
(A+B+C…)!------------A!B!C!
这等于素数p的模。
(A0,B0,C0…)(A1,B1,C1…)(A2,B2,C2…)
其中Aj是基p的右数字的JTH。

因此,二项式(a+b a)mod 2是0 iFF(和a b)不是。

当A、B、C、……的基p表达式等于(a,b,c,…)时,p的最大幂的指数等于所有进位的和。是加起来的。

项目44(高斯):

多项系数的递推:

(a,b,c,…)=(a+b,c,…)(a,b)=(a+b+c,…)(a,b,c)=…

问题45(高斯):

你的轨迹最初有什么角度?

部分回答(SuropppEL,Gosper):当初始角度是一个有理数的圆周率,似乎你的轨迹是有界的(事实上,最终是周期性的),IFF分母包含作为一个因子的奇数素的平方,而不是1093和3511,这必须发生在最小立方。(这与1093和3511是唯一已知的素数令人满意的事实有关。

p=2=2 mod p)。
但是171=9×19的分母永远不会循环,可能是因为9分。φ(19)。同样地,9009和2525。有人能建立一个无理的倍数吗?圆周率有界轨迹?这样的角度在Reals中形成了一组度量零点,即使在“理性”中的“测度”大约是155。约155=含奇数素数平方=1的分母的有理数的分数,在奇数素数为1—1/p(p+1)的情况下。该产品=84533064±-SMIDGEN,而不是,唉,SqRT(圆周率(2)ARCSEF(1/4)=84534756。这个误差是预期的修正因子的16倍,对于1093和3511来说是错误的,甚至不是所有的素数>一百万满足同余的假设。然而,它可能会被171的数量所打捞。

项目46(SuropppEL):

桥手最有可能的分布是4-4-3-2,与4-3-3-3相比,分布最均匀。这是因为世界喜欢具有不相等的数量:热力学效应说,物质不会处于最低能量的状态,而是处于最低无序能量的状态。

第47项(Beeler):

对Fibonacci级数模P进行了研究。这个系列有一个周期长度L,在这个周期内有由零成员限定的子循环。

素数的幂长度似乎是

幂=L=(素数的长度)*Prime。
素数幂的乘积的长度似乎是

L =素数幂长度的最小公倍数,这是因素。
质数周期中只有1, 2个或4个次循环。

具有1个子周期的素数似乎有长度。

素数为1的L=-------
n覆盖所有整数。具有2个子循环的素数似乎有长度。
M-素数(- 1)L=----------
m覆盖除表10 k+ 5以外的所有整数。

具有4个子周期的素数似乎总是形式为4 k+ 1,并且似乎有长度。

素数+ 1素数1=--------或--------
R覆盖所有形式10 k+ 1, 3, 7或9的整数;s覆盖所有整数。

在施罗普佩尔的建议中,素数已被分离为mod 40,这通常决定它们的子循环数:

原始MOD 40子循环(1, 9)通常为2,偶数为1或4(约等于)3, 7, 23,27 2 2 11, 19, 31,39 1 1,1或约(约等于)α(仅为α)(i)。
注意的是1或9 mod 40但具有1或4个亚周期的素数。
2 2×25 x+16 y
似乎表达那些9 mod 40;
2×2(10×+- 1)+400 y
似乎表达那些是1 mod 40。

问题:上面的一些“看起来”可以被证明吗?此外,可以做一个一般的测试,它能预测任何数字的确切长度吗?

项目48(高斯,施罗佩尔):

2维晶格的一个点称为看得见的它的坐标是相对素数的。不可见的2×2的平方与最小的x有接近的角(14,20)。(即,(14,20),(15,20),(14,21),和(15,21)都是不可见的)相应的3乘3是AT(1046200)。根据中国剩余定理,每个有限形状都有不可见的集合。优秀参考文献:埃默。每月数学,五月71日,P48。

项目49:

3侧有一个独特的“魔方六边形”:
3 17 18 18 19 7 1 11 11 16 2 5 6 9 6
首先是Clifford W. Adams发现的,他从1910开始研究这个问题。1957,他找到了解决办法。(见八月1963日)SCI。是。,数学其他长度的边是不可能的。

项目50(SuropppEL):

没有4号令的魔方。

证明:让k(=130)是行的和。

引理1:在四阶幻方中,角的和是K.。

证明:把正方形和两条对角线的每个边加起来。这完全覆盖了广场,每个角落又两次。这增加了6 K,所以两次,角和是2 K。

引理2:在4阶魔方中,由立方体边连接的任意两个角的和为k/2。

证明:调用角A和B,让C、D和E、F成为立方体中任意两个边平行于AB的角。然后ABCD、ABEF和CDEF都是幻方的角。所以a+b+c+d+a+b+e+f+c+d+e+f= 3k;a+b+c+d+e==3k/2;a+b= k/ 2。

魔方不可能的证明:考虑角X。有三个角通过边缘连接到X。

每个值必须有K/ 2 - x. QED

项目51(SuropppEL):

通过类似的推理,5阶魔方的中心必须是63=K/5。

推论:没有顺序5的魔术。

第52项(Salamin):

两个随机整数为相对素数的概率为6。圆周率^ 2。

伪证明:设X为概率。设S是整数格中的点集,其坐标是相对素数的,因此S占据格点的一个分数x。设S(d)是一个点集,其坐标具有d s(d)的GCD。因此S(D)占据格的分数x/d^ 2,或者两个随机整数具有d的GCD的概率为x/d^ 2。如果D不等于D’,则S(D)与S(D′)相交为空,所有S(D)的并集是整格。因此x*(1/1 ^ 2+1/2 ^ 2+1/3 ^ 2+…)=1,所以x=6。圆周率^ 2。这个论点不是严格的,但可以这样做。

第53项(Salamin):

n个数缺少一个PTH幂公约数的概率为1。泽塔(NP)。

项目54(萨拉明和高斯):

随机有理数具有偶分母的概率为1/3。

第55项(SuropppEL):高斯整数

参见下面的插图;圆周率区域

图1(a)。这个图是为了证明每个高斯整数具有唯一的比特组合的说法。通过比特组合0, 1, 10、11、……,图是值的映射,基数。I- 1。原点是圆形的,点是第一百二十七个组合(1111111=2+5)。I这只是最后一点。

图1(b)。作为1(a),但基数I+ 1。大圆圈是起源的。虚线表示混乱的地方曲线的连续性。虚线是向左无穷大的(大点=…1111=i)。实线和点曲线是以小圆点表示的点对称的。

图2。类似于1(A),但也显示了部分分数。由克努斯特别许可转载,计算机程序设计,第2卷,半数值算法1969,Addison Wesley,雷丁,Mass。

第56项(Beeler):

n位十进制数的“长度”定义为一个必须迭代地形成其数字乘积的次数,直到获得一位数的乘积(参见技术综述谜题角落,1969年12月和1970年4月)。对于不同的n,下面给出最大的“长度”,以及有多少个不同的数(n个数字的置换群):
nmax L L分别为2,4,54,3,5,219,4,6,714,5,7,7,2001,α,α,α,α,β,ε,ε,ε,β,7,5,7,5,7,5,7,5,7)
此外,对于n=10, 11和12,注意到“长度”=7的数目要少得多。除此之外,任何给定的n的数目的频率,通过n=12,随着长度的增加而减小,猜想(ScRooppel:):没有L>10。

项目57(比勒,Gosper):

每小数的十进制表达式中至少有10个介于2之间。
86 30739014×2=77 37 125 2455 336267181195264和2,
程序停止的地方。如果这些幂的数字是随机的,则存在另一个零幂的概率约为1/10 ^ 411816。假设没有提出任何问题:

两个幂有多少个非零数字?

答案(SuropppEL):任意多。如果我们看2个连续幂的最后n个数字,我们会看到:

  1. 零结束。
  2. n次之后,它们都是2 ^ n的倍数。
  3. 他们进入一个长度为4×5 ^(n-1)的循环。(因为2是5的幂的原根)。
但是,只有4×5(n-1)的2 ^ n的倍数不以零结尾,并且<10 ^ n,所以我们将看到它们。特别地,我们将看到完全由1和2组成的一个,其结尾是……11112111211111212122112。

项目58(Fredkin):

3 3 3 3 3 3 3 + 4 +5=6。

项目59(SuropppEL):

2,91038,90995,89338,00226,07743,74008,17871,09376,82880,83126,83126,51085,α,α,α,α,α,β,ε,82880,83126,82880,83126,82880,83126

第60项(Beeler):

如果S=完全除以n的整数,包括1和n,则“完全数”是S=2 N,S=3 N的前三个数是:
(3)120=2×3×5=1111000基2(5)672=2*3*7=7碱基α=* * * * * * *=α。

项目61(根):

考虑迭代形成数n的因数的总和(包括1,但不n)。这个过程可以循环;“完全数”是那些循环是一个成员的n,例如n=28=1+2+4+7+14。一个两成员循环的例子是:两个成员环被称为“友好的对”。

一个搜索长度为2的循环的程序,所有成员都是<6600000000的,发现已知的长度为5的环(最低成员为12496)和28乘(最低成员为14316),但也有4个成员的13个循环(最低成员是给定的):

1264460=2 ^ 2×5 * 17 * 3719 3719 2115324 2115324=2 ^ 2 * 3 ^ 2 * 67 * 67=α* * * * * * * * * * *=α* * * * * *=α* * * *=α* * * *=α* * * *=α* * * *=α* * * *=α****=α* * * * *=α****=α* * * * *=α****=α*****=α**************820=2 ^ 2×5×29×487×617 617 209524210 209524210=2 * 5 * 7 * 19** * * * * *=α* * * * * * * *=α* * * * * * * * * *

项目62(SPECIER):

前四个完全数是6, 28, 496个,8128个。

两个成员环(友好对)是:

220<>284>1210>2620>>2924>5020>>5564>6232>>6368>10744>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>〉。203432<196724<202444
(对较小的成员穷尽)< 196724和更大的成员< 2 ^ 35)。

十年是n+1、n+3、n+7和n+9都是素数的十年。具有理论最小分离的两个素数序列的第一次出现是n=1 1006300,n=1006330。第三百三十五个黄金十年是N=2342770。有172400个素数<2342770。

项目63(施罗佩尔等):

239的乐趣如下:

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