显示发现的69个结果中的1-10个。
2, 3, 5, 7, 22, 23, 25, 27, 32, 33, 35, 37, 52, 53, 55, 57, 72, 73, 75, 77, 222, 223, 225, 227, 232, 233, 235, 237, 252, 253, 255, 257, 272, 273, 275, 277, 322, 323, 325, 327, 332, 333, 335, 337, 352, 353, 355, 357, 372, 373, 375, 377, 522, 523, 525, 527, 532
链接
Robert Baillie和Thomas Schmelzer,求和坎普纳的好奇(慢收敛)级数,Mathematica Notebook kempnerSums.nb,Wolfram Library Archive,2008年。
配方奶粉
a(n)=总和{j=0..m-1}((2*b(j)+1)mod 8+楼层(b(j。
特殊值:
a(1*(4^n-1)/3)=2*(10^n-1”)/9。
a(2*(4^n-1)/3)=1*(10^n-1)/3。
a(3*(4^n-1)/3)=5*(10^n-1”)/9。
a(4*(4^n-1)/3)=7*(10^n-1”)/9。
不平等:
a(n)<=2*(10^log4(3*n+1)-1)/9,等式适用于n=(4^k-1)/3,k>0。
下限和上限:
lim inf a(n)/10^log_4(n)=(7/90)*10^log_3(3)=0.48232167706987…,对于n->oo。
lim-sup a(n)/10^log_4(n)=(2/9)*10^log_3(3)=1.378061934485343…,对于n->oo。
其中10^log_4(n)=n^1.66096404744。。。
通用公式:G(x)=(x^(1/3)*(1-x))^(-1)和{j>=0}10^j*z(j)^。
同时g(x)=(x^(1/3)*(1-x))^(-1)和{j>=0}10^j*z(j)^。
另外:g(x)=(1/(1-x))*。(结束)
总和{n>=1}1/a(n)=1.85733377994409775025748876514494355318556794733869779170825138954093657197…(使用Baillie和Schmelzer的kempnerSums.nb计算,请参阅链接)-阿米拉姆·埃尔达尔2024年2月15日
例子
a(100)=2277,
a(10^3)=55327,
a(9881)=3233232,
a(10^4)=3235757,
a(10922)=3333333,
a(10^5)=227233257。
数学
表[FromDigits/@Tuples[{2,3,5,7},n],{n,3}]//扁平(*迈克尔·德弗利格2016年9月19日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a046034 n=a046034_列表!!(n-1)
a046034_list=过滤器(all(`elem`“2357”)。显示)[0..]
(Magma)[n:n-in[2.532]|集合(Intseq(n))子集[2,3,5,7]]//布鲁诺·贝塞利,2011年7月19日
(Python)
m=(3*n+1).bit_length()-1>>1
对于范围(m)中的j,返回int(''.join(('2357'[(3*n+1-(1<<(m<<1)))//(3<<(m-1-j)<<1,)&3])#柴华武2023年2月8日
交叉参考
囊性纤维变性。A046035型,18950年,A019546号(素数),A203263型,A035232号,A039996号,A085823号,A052382美元,A084544号,A084984号,A017042号,A001743号,A001744号,A014261号,A014263号,A153025号,A191486号,A193238号,A202267号,A202268型,A211681号,A365471型(补充)。
2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797, 2333, 2339, 2393, 2399, 2939, 3119, 3137, 3733, 3739, 3793, 3797, 5939, 7193, 7331, 7333, 7393, 23333, 23339, 23399, 23993, 29399, 31193
评论
重复删除最低有效数字的素数在每一步都给出一个素数,直到保留一个单数字素数。序列结束于a(83)=73939133=A023107号(10).
子序列由以下连续的右截断素数“链”组成:73939133、7393913、739391、73939、7393、739、73、7,与由该序列子集形成的其他链相比,产生最大的和:73939.133+7393913+739391+73939+7393+739+737+7=82154588-亚历山大·波沃洛茨基2008年1月22日
也可以看作是第n行列出n位数术语的表;行长度(n>=9时为0)由下式给出A050986号序列可以从一位数素数开始,然后对列表中的每一个p追加10*p和10(p+1)内的素数,通过向p追加一个数字而形成-M.F.哈斯勒2018年11月7日
参考文献
Roozbeh Hazrat,《数学:以问题为中心的方法》,施普林格伦敦出版社,2010年,第86-89页
链接
I.O.Angell和H.J.Godwin,关于可截断素数,数学。计算。31, 265-267, 1977.
MAPLE公司
s: =[1,3,7,9]:a:=[[2],[3],[5],[7]]:l1:=1:l2:=4:从l1到l2的j的do从1到4的k的do d:=[s[k],op(a[j])]:如果(isprime(op(convert(d,base,10,10^nops(d)))),那么a:=[op(a),d]:fi:od:od:l1:=l2+1:l2:=nops(a):如果(l1>l2)然后中断:fi:od:seq(op(convert(a[j],base,10,10^nops(a[j])),j=1..nops(a))#纳撒尼尔·约翰斯顿2011年6月21日
数学
eppQ[n_]:=AllTrue[FromDigits/@Table[Take[IntegerDigits[n],i],{i,IntegerLength[n]-1}],PrimeQ];选择[Prime[Range[3400]],eppQ](*程序使用Mathematica版本10中的AllTrue函数*)(*哈维·P·戴尔2015年1月14日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
导入数据。列表(inits)
a024770 n=a024770_列表!!(n-1)
a024770_list=过滤器(\x->
所有(==1)$map(a010051.read)$tail$inits$show x)a038618_list
(PARI){fileO=“b024770.txt”;v=vector(100);v[1]=2;v[2]=3;v[3]=5;v[4]=7;j=4;j1=1;write(fileO,“12”);write(k=1,9,z=10*v[i]+k;如果(i素数(z),j++;v[j]=z;写入(文件O,j,“,z);));}\\哈里·史密斯2008年9月20日
(PARI)对于(n=231193,v=n;而(i素数(n),c=n;n=(c-升力(Mod(c,10))/10);如果(n==0,打印1(v,“,”));n=v)\\阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2014年3月20日
(平价)A024770号=向量(9,n,p=concat(应用(t->素数([t,t+1]*10),如果(n>1,p)))\\ n位术语列表,1<=n<=9。使用concat(%)将其“压平”-M.F.哈斯勒2018年11月7日
(Python)
从sympy导入primerange
交叉参考
囊性纤维变性。A033664号,A024785号(左可运行素数),A032437号,A020994年,A052023号,A052024号,A052025号,A050986号,A050987号,A069866号,A077390美元(左右可运行素数),A137812号(左右截断素数),A254751型,A254753型.
2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 237, 373, 537, 737, 2373, 3737, 5373, 7373, 23737, 37373, 53737, 73737, 237373, 373737, 537373, 737373, 2373737, 3737373, 5373737, 7373737, 23737373, 37373737, 53737373, 73737373, 237373737, 373737373, 537373737, 737373737
评论
对于指数n>8,素数项满足n mod 24=1,3,5,7,10,12,19,21,23。然而,这一条件是不够的。事实上,对于n<=200,大多数这些项都被证明是复合的,除非n=103、106、123、156、165、175、178、191、193和195的项可能是素数。
当n>10且n mod 24=0、2、4、6、8、9、11、13、14、15、16、17、18、20、22时,这些术语是复合的(有关详细信息,请参阅公式部分)。
(结束)
配方奶粉
a(1+8*k)=2*10^(2k)+37*(10^(20k)-1)/99,
a(2+8*k)=3*10^(2k)+73*(10^(20k)-1)/99,
a(3+8*k)=5*10^(2k)+37*(10^(20k)-1)/99,
a(4+8*k)=7*10^(2k)+37*(10^(20k)-1)/99,
a(5+8*k)=23*10^(2k)+73*(10^(20k)-1)/99,
a(6+8*k)=37*10^(2k)+37*(10^(20k)-1)/99,
a(7+8*k)=53*10^(2k)+73*(10^(20k)-1)/99,
a(8+8*k)=73*10^(2k)+73*(10^(20k)-1)/99,对于k>=0。
a(n)=((2*n+7)mod 8+dn3-dn2)*10^dn_1+楼层((37+36*(dn2-dn1))*10^dn_1/99),其中dn1=楼层((n+1)/4),dn2=楼层((n+2)/4),dn3=楼层(((n+3)/4),dn_1=楼层((n-1)/4)。[更新者Hieronymus Fischer公司2018年10月2日]
当k>0时,a(24k+0)=73*(10^(6k-2)+(10 ^(6 k-2)-1)/99)。
a(24k+2)=3*(1245790*(10^(6k)-1)/99999+1),
a(24k+4)=7*(1053390*(10^(6k)-1)/99999+1),
a(24k+6)=37*(10^(6k)+,
a(24k+8)=73*(10^(6k)+,
a(24k+9)=3*(79124500*(10^(6k)-1)/99999+79),
a(24k+11)=3*(79124500*(10^(6k)-1)/99999+79+10^(6 k+2)),
a(24k+13)=3*(791245000*(10^(6k)-1)/99999+791),
a(24k+14)=37*(10^(6k+2)+,
a(24k+15)=3*(791245000*(10^(6k)-1)/9999999+791+10^(6k+3)),
a(24k+16)=73*(10^(6k+2)+,
a(24k+17)=7*(339105000*(10^(6k)-1)/99999+3391),
a(24k+18)=7*(5339100000*(10^(6k)-1)/99999+5339),
a(24k+20)=3*(24579100000*(10^(6k)-1)/99999+24579),
a(24k+22)=37*(10^(6k+4)+。
(结束)
n>8的递归:
a(n)=10*(1+a(n-4))-a(n-4。
通用公式:(2*x*(1+x^10)+3*x^2*(1+x^3+x^5+x^6)+5*x^3*(1+4x^6,+7*x^4*(1+2))/((1-10*x^4)*(1-x^8))。[由更正Hieronymus Fischer公司2012年9月3日]
当n>9时,a(n)=a(n-1)+9*a(n-4)-9*a(n-5)+10*a(n8)-10*a(-n9)。
通用公式:x*(2*x^7-2*x*6+5*x^5-2*x^4+2*x^3+2*x*2+x+2)/((x-1)*(x^4+1)*(10*x^4-1))。(结束)
例子
a(11)=537,因为长度<=2的所有子串都是素数(5、3、7、53和37)。
a(21)=237373,长度<=2的子串为2,3,7,23,37,73。
数学
表[FromDigits/@Select[Tuples[{2,3,5,7},n],AllTrue[FromDigits/@分区[#,2,1],PrimeQ]&],{n,9}]//扁平(*需要Mathematica版本10或更高版本*)(*哈维·P·戴尔2020年6月13日*)
2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 373, 237373, 537373, 5373737, 53737373, 53737373737, 237373737373, 737373737373737, 53737373737373737, 373737373737373737373, 53737373737373737373737, 53737373737373737373737373, 373737373737373737373737373, 5373737373737373737373737373737
例子
a(10)=237373,因为长度<=2的所有子串都是素数(2,3,7,23,37,73),并且237373是素数。
数字>1000,这样所有长度=3的子串都是素数(前导为“0”的子串被视为非素数)。
+10 50
1131, 1137, 1139, 1271, 1277, 1311, 1313, 1317, 1373, 1379, 1397, 1491, 1499, 1571, 1577, 1631, 1673, 1677, 1733, 1739, 1797, 1811, 1911, 1919, 1937, 1971, 1977, 1991, 1997, 2113, 2233, 2239, 2271, 2277, 2293, 2331, 2337, 2397, 2419, 2571
评论
由于所有三位数素数都是平凡的成员,因此只考虑大于1000的数。请参见A069489号对于素数项>1000的序列。
序列是无限的(例如,考虑“19”或“337”的连续串联:1919、19191、191919…、3373、33733、337337…是成员)。
无穷多的术语都是回文的。
例子
a(1)=1131,因为长度=3(113和131)的所有子串都是素数。
a(33)=2271,因为长度=3(227271)的所有子串都是素数。
素数>1000,因此长度>=3的所有子串都是素数(前导为“0”的子串被视为非素数)。
+10 49
1277, 1373, 1499, 1571, 1733, 1811, 1997, 2113, 2239, 2293, 2719, 3137, 3313, 3373, 3491, 3499, 3593, 3673, 3677, 3733, 3739, 3797, 4211, 4337, 4397, 4673, 4877, 4919, 5233, 5419, 5479, 6131, 6173, 6197, 6199, 6311, 6317, 6599, 6619, 6733
评论
由于所有三位数素数都是平凡的成员,因此只考虑大于1000的数。
根据定义,4位以上序列的每个项都是由先前项的重叠并集构成的,即a(59)=33739包含两个嵌入的先前项a(14)=3373和a(21)=3739。
序列是有限的,最后一项是349199(n=63)。有限性的证明:设p是一个超过6位的数字。根据上面的参数,p的每个6位数子串必须是前一项。唯一的6位数术语是349199。因此,没有具有所需属性的数字p。
例子
a(1)=1277,因为长度>=3的所有子串都是素数(127、277和1277)。
a(63)=349199,长度>=3的所有子串(349、491、919、199、3491、4919、9199、34919、49199和349199)都是素数。
具有n个非素数子串的最大数(具有前导零的子串被视为非素数)。
+10 49
373, 3797, 37337, 73373, 373379, 831373, 3733797, 3733739, 8313733, 9973331, 37337397, 82337397, 99733313, 99733317, 99793373, 733133733, 831373379, 997333137, 997337397, 997933739, 7331337337, 8313733797, 9733733797, 9973331373, 9979337397, 9982337397
评论
序列的定义是,对于每个n,具有n个非素数子串的数集是非空的和有限的。存在性证明:定义m(n):=2*sum_{j=i..k}10^j,其中k:=floor((sqrt(8n+1)-1)/2),i:=n-k(k+1)/2。对于n=0,1,2,3,。。。m(n)是2、22、20、222、220、200、2222、2220、2200、2000、22222、22220。m(n)有k+1位和(k-i+1)2位。因此m(n)的非素子串的个数是((k+1)(k+2)/2)-k-1+i=(k(k+1/2)+i=n。这证明了存在性。有限性证明:每个4位数至少有一个非素数子串。因此每个4*(n+1)位数至少有n+1个非素子串。因此,有一个边界b<10^(4n+3),使得所有数字>b都有n个以上的非素子串。因此,具有n个非素子串的数字集是有限的。
以下陈述是正确的:
对于所有n>=0,都存在具有n个非素子串的最大数(=A213300型=此序列)。
具有n素子串的最大数不存在。证明:如果p是一个有n个素数子串的数字,那么10*p是一个有n个素数子串的更大数字。
来自的评论N.J.A.斯隆,2012年9月1日:令人惊讶的是,任何大于373的数字都有一个非素数子串!
例子
a(0)=373,因为373是使所有子串都是素数的最大数,因此它是具有0个非素数子串的最大数。
a(1)=3797,因为3797的唯一非素子串是9,并且所有较大的数都有1个以上的非素子字符串。
a(2)=37337,因为37337的非素子串是33和7337,并且所有较大的数都有>2个非素子字符串。
具有n个素数子串的极小素数(具有前导零的子串被认为是非素数)。
+10 46
2, 13, 23, 113, 137, 373, 1973, 1733, 1373, 11317, 17333, 31379, 37337, 113173, 211373, 313739, 337397, 1113173, 1137337, 2313797, 2337397, 11131733, 12337397, 11373379, 33133733, 111733373, 113137337, 123733739, 291733373, 113733797, 1173313373, 1137333137, 1237337393, 1137337973
配方奶粉
a(n)>10^层((sqrt(8*n+1)-1)/2)。
例子
a(1)=2,因为2是素数,有1个素子串(2)。
a(2)=13,因为13是素数并且有2个素子串(3和13)
最小自然数(十进制表示),二进制表示中有n个素数子串(带前导零的子串被视为非素数)。
+10 24
1, 2, 5, 7, 11, 15, 27, 23, 31, 55, 47, 63, 111, 95, 187, 127, 223, 191, 381, 255, 447, 503, 383, 511, 1015, 895, 767, 1023, 1533, 1791, 1535, 1919, 3039, 3069, 3067, 3839, 3967, 6079, 6139, 6135, 7679, 8063, 8159, 12159, 12271, 15359, 16127
评论
序列的定义很好,因为在二进制表示中,每n个具有n个素子串的数字集不为空。证明:A000975号(n+1)在二进制表示中正好有n个素子串(请参见A000975号).
所有n>1的项都是奇数。
配方奶粉
a(n)>=2^天花板(sqrt(8*n+1)-1)/2)。
a(n+1)<=2*a(n)+1。
例子
a(1)=2=10_2,因为2是二进制表示中具有1素数子串(=10_2)的最小数。
a(2)=5=1012,因为5是二进制表示中具有2个素子串的最小数(102和1012)。
a(4)=11=1011-2,因为11是二进制表示(10_2、11_2、101_2和1011-2)中具有4个素子串的最小数。
a(8)=31=11111 _2,因为31是二进制表示中具有8个素数子串的最小数(4乘以11_2,3乘以111_2和11111 _2)。
a(9)=47=101111_2,因为47是二进制表示中具有9个素子串的最小数(10_2、3乘以11_2、101_2、2乘以111_2、1011_2和10111_2)。
交叉参考
囊性纤维变性。A019546号,A035232号,A039996号,A046034美元,A069489号,A085823号,A211681号,A211682号,A211684号,A211685型,A035244号,A079397美元,A213300型-2013年2月21日,A217303型-A217309型,A000975号.
最小自然数(十进制表示),n个素数子串以9为基数表示(带前导零的子串被视为非素数)。
+10 24
1, 2, 11, 23, 101, 173, 902, 1562, 1559, 8120, 14032, 14033, 73082, 126290, 604523, 657743, 723269, 1136684, 5918933, 5972147, 10227787, 25051529, 53276231, 54333278, 92071913, 441753767, 479669051, 483743986, 828662228, 3971590751, 4315446629
评论
序列的定义很好,即对于每个n个素子串的数字集不为空。证明:定义m(0):=1,m(1):=2和m(n+1):=9*m(n)+2以表示n>0。这导致m(n)=2*sum_{j=0..n-1}9^j=(9^n-1)/4或m(n)=1,2,22222222222,…,(以9为基数),n=0,1,2,3,…。显然,对于n>0 m(n)有n 2,这是base-9表示中唯一的素子串。这就是为什么m(n)的每个超过一位数的子串都是两个整数>1的乘积(根据定义),因此不能是质数。
任何项都不能被9整除。
配方奶粉
a(n)>9^层(sqrt(8*n-7)-1)/2),对于n>0。
a(n)<=(9^n-1)/4,n>0。
a(n+1)<=9*a(n)+3。
例子
a(1)=2=2_9,因为在base-9表示中,2是带1素数子串的最小数。
a(2)=11=12_9,因为11是在9进制表示(2_9和12_9)中具有2个素数子串的最小数。
a(3)=23=259,因为23是在base-9表示法(2_9、39和239)中具有3个素子串的最小数。
a(4)=101=1229,因为101是以9为基数表示的具有4个素数子串的最小数(2乘以2_9,129=11,和1229=101)。
a(7)=1562=2125_9,因为1562是以9为基数表示的最少数,有7个素子串(2乘以2_9、5_9、12_9=11、21_9=19、25_9=23和212_9=173)。
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