显示找到的29个结果中的1-10个。
幂数,定义(1):如果素数p除以n,那么p^2也必须除以n(也称为平方、平方满、平方满或2幂数)。 (原名M3325 N1335)
+10 363
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000
评论
形式为a^2*b^3,a>=1,b>=1的数字。
换句话说,如果n的素因式分解是Product_k p_k^e_k,那么所有e_k都大于1。
以k=0开头的小于或等于10^k的项数:1,4,14,54,185,619,2027,6553,21044,…:18896年. -罗伯特·威尔逊v2014年8月11日
a(10^n):1,49,3136,253472,23002083,2200079025,215523459072,21348015504200,2125390162618116-罗伯特·威尔逊v2014年8月15日
对于某些有限非交换环R,数字m是强大的当且仅当|R/Z(R)|=m。
对于某些有限幂零类二群G(参考Aine-Nishe),数字m是强大的当且仅当|G/Z(G)|=m。(结束)
对n进行编号,使之和{k=1..n}phi(gcd(n,k))*mu(gcd(n,k))>0-理查德·奥尔勒顿2021年5月9日
参考文献
G.E.Hardy和M.V.Subbarao,《强大的数字》,国会。数字。37 (1983), 277-307.
Aleksandar Ivić,《Riemann Zeta-Function》,纽约州威利,1985年,见第407页。
理查德·莫林(Richard A.Mollin),《象限》,CRC出版社,1996年,第1.6节。
Aine NiShe,有限群中的交换性和泛化,博士论文,科克大学学院,2000年。
保罗·里本博伊姆(Paulo Ribenboim)、梅恩·扎伦(Meine Zahlen)和梅恩·弗伦德(Meine Freunde),2009年,施普林格(Springer),《波坦特·扎伦》(Potente Zahlene)9.1,第241-247页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Gérald Tenenbaum,《分析和概率数论导论》,剑桥大学出版社,1995年,第54页,练习10(2015年第三版,第63页,练习70)。
链接
何振聪,幂数中的算术级数,国际期刊。,第26卷(2023年),第23.1.1条。
J.-M.de Koninck、N.Doyon和F.Luca,二次多项式的强大值,J.国际顺序。14(2011),第11.3.3条。
S.W.Golomb,强大的数字阿默尔。数学。月刊,第77卷(1970),848-852。
V.Shevelev,S指数《算术学报》,第175卷(2016年),第385-395页。
D.Suryanarayana和R.Sita Rama Chandra Rao,平方-完整整数的分布《方舟材料》,第11卷,第1-2号(1973年),195-201年。
配方奶粉
贝特曼和格罗斯瓦尔德证明了在x之前存在zeta(3/2)/zeta(3)x^{1/2}+zeta(2/3)/zetax^{1/3}+O(x^{1/16})项;有关更精确的误差项,请参阅第5节-查尔斯·R·Greathouse IV2012年11月19日
和{n>=1}1/a(n)=zeta(2)*zeta(3)/zeta(6)-伊凡·内雷廷2015年8月30日
和{n>=1}1/a(n)^s=zeta(2*s)*zeta(3*s)/zeta(6*s),s>1/2(Golomb,1970)-阿米拉姆·埃尔达尔2022年10月2日
例子
1是一个术语,因为对于每个素数p除以1,p^2也除以1。
2不是一个术语,因为2除以2,但2^2不是。
4是一个项,因为2是唯一除4的素数,2^2除4-N.J.A.斯隆2022年1月16日
MAPLE公司
isA001694:=ifactors(n)[2]中p的proc(n)do,如果op(2,p)=1,则返回false;结束条件:;末端do;返回true;结束进程:
A001694年:=proc(n)选项记忆;如果n=1,则为1;对于from procname(n-1)+1 do,如果isA001694(a),则返回a;结束条件:;结束do;结束条件:;结束进程:
数学
连接[{1},选择[Range@1250,Min@FactorInteger[#][[All,2]]>1&]]
最大值=10^3;并集@扁平@表[a^2*b^3,{b,max^(1/3)},{a,Sqrt[max/b^3]}](*罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*)
nextPowerfulNumber[n_]:=块[{r=Range[Floor[1+n^(1/3)]]^3},最小@选择[Sort[r*Floor[1+Sqrt[n/r]]^2],#>n&]];嵌套列表[nextPowerfulNumber,1,55](*罗伯特·威尔逊v,2014年8月16日*)
黄体脂酮素
(PARI)列表(lim,mn=2)=我的(v=列表(),t);对于(m=1,sqrtnint(lim\1,3),t=m^3;对于(n=1,平方(lim\t),列表输入(v,t*n^2));集合(v)\\查尔斯·R·Greathouse IV2011年7月31日;2015年9月22日编辑
(哈斯克尔)
a001694 n=a001694_列表!!(n-1)
a001694_list=过滤器((==1)。a112526)[1..]
(Python)
来自sympy导入因子
A001694年=[1]+[n代表范围(2,10**6)中的n,如果min(factorint(n).values())>1]
(Python)
从数学导入isqrt
来自sympy import mobius,integer_nthroot
定义平方自由度(n):
return int(范围(1,isqrt(n)+1)中k的总和(mobius(k)*(n//k**2))
定义平分(f,kmin=0,kmax=1):
而f(kmax)>kmax:kmax<<=1
当kmax-kmin>1时:
kmid=kmax+kmin>>1
如果f(kmid)<=kmid:
kmax=kmid
其他:
kmin=kmid
返回kmax
定义f(x):
c、 l=n+x,0
j=isqrt(x)
当j>1时:
k2=积分_节流(x//j**2,3)[0]+1
w=平方自由pi(k2-1)
c-=j*(w-l)
l、 j=w,isqrt(x//k2**3)
c-=平方自由π(整数_ntroot(x,3)[0])-l
返回c
(鼠尾草)
交叉参考
囊性纤维变性。A007532美元(强大的数字,定义(2)),A005934号,A005188号,A003321号,A014576号,A023052号(强大的数字,定义(3)),A046074美元,A013929号,A076871号,A258599型,A001248号,A112526号,A168363号,A224866号,A261883型,A300717型.
阿姆斯特朗(或多完美,或加完美,或自恋)数字:m位正数等于其数字的m次幂之和。 (原名M0488)
+10 91
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153, 4679307774, 32164049650, 32164049651
评论
一个有限序列,第88项也是最后一项是11513221901876399256509559799771522401。
设k=d_1 d_2。。。d_n以10为基数;那么k是序列iff k=Sum{i=1..n}d_i^n。
如果a(n)是10的倍数,则a(n+1)=a(n-M.F.哈斯勒2018年10月18日
以迈克尔·弗雷德里克·阿姆斯特朗(Michael Frederick Armstrong,1941-2020)命名,他于20世纪60年代中期在罗切斯特大学(University of Rochester)的计算课上使用了这些数字-阿米拉姆·埃尔达尔2024年3月9日
参考文献
Jean-Marie De Konink,《法定法西斯主义》,条目88,第30-31页,《椭圆》,巴黎,2008年。
Lionel E.Deimel,Jr.和Michael T.Jones,《发现最完美的数字不变量:技术、结果和观察》,J.Rec.数学。,14 (1981), 87-108.
Jean-Pierre Lamotiier,《五十种基本练习》。SYBEX公司,1981年。
Clifford A.Pickover,《数学的激情》,威利出版社,2005年;见第68页。
Alfred S.Posamentier,《数字:他们的故事、类型和财富》,普罗米修斯图书,2015年,第242-244页。
乔·罗伯茨,《整数的诱惑》,美国数学协会,1992年,第36页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
莱昂内尔·德伊梅尔,解开谜团!《莱昂内尔·迪梅尔的网络日志》,2010年5月5日。
哈维·海因茨,自恋数字(2018年3月备份于web/archive.org:页面不再可用),1998年9月,上次更新于2010年9月。
L.H.&W.Lopez,行星数学。组织,阿姆斯特朗数(2012年ArmstrongNumber.html在web.archive.org上的最新备份),由L.H.不迟于2007年7月发布。
托马斯·安东尼奥·门德斯·奥利维拉·席尔瓦(Tomas Antonio Mendes Oliveira e Silva),工厂的孤独1994年5月9日,在给sci.mas的一篇帖子(第42889条)中给出了完整的顺序。
D.T.温特,阿姆斯特朗数字表(2010年1月web.archive.org上的最新备份;页面不再可用),不迟于2003年8月发布。
例子
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3,
8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4,
4210818 = 4^7 + 2^7 + 1^7 + 0^7 + 8^7 + 1^7 + 8^7.
八个术语370、2467850、32164049650、4338281769391370、37069079959555475988644380、19008174136254279995012734740、1867099610153879010634132976990和115132219018763992565095973971522400以数字零结尾,因此它们的后继a(n)+1是下一个术语a(n+1)。这也产生了序列的最后一项。首字母a(1)=1是唯一一个以数字1结尾的术语,前面没有a(n)-1-M.F.哈斯勒2018年10月18日
MAPLE公司
过滤器:=proc(k)局部d;
d: =1+ilog10(k);
加法(s^d,s=转换(k,基数,10))=k
结束进程:
数学
f[n_]:=加号@@(整数位数[n]^楼层[Log[10,n]+1]);选择[范围[10^7],f[#]==#&](*罗伯特·威尔逊v2005年5月4日*)
选择[Range[10^7],#==总数[Integer Digits[#]^ Integer Length[#]]&](*哈维·P·戴尔2011年9月30日*)
黄体脂酮素
(PARI)选择(是_A005188号(n) ={n==向量([d^#n|d<-n=数字(n)])},[0..9999])\\M.F.哈斯勒2019年11月18日
(Python)
从itertools导入组合with_replacement
对于范围(1,10)中的k:
a=[i在(10)范围内i的i**k]
对于组合s_with_replacement中的b(范围(10),k):
x=总和(映射(λy:a[y],b))
如果x>0且元组(int(d)表示排序的d(str(x)))==b:
扩展
32164049651来自Amit Munje(Amit.Munje(AT)gmail.com),2006年10月7日
为了与定义一致,第一条评论由修改乔纳森·松多2015年1月2日
已将名称中的评论移至评论节和由编辑的链接M.F.哈斯勒2018年10月18日
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 4150, 4151, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 194979, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 14459929, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153
评论
数字m,使m=Sum_{i=1..k}d(i)^s用于某些s,其中d(1..k)是m的十进制数字。
链接
大英百科全书,完美数字不变量,自1999年7月26日起在网上发表的文章“数字模式和好奇”,2000年8月25日修订。
唐纳德·科努特(Donald E.Knuth),《计算机编程艺术》(The Art of Computer Programming),第4卷,史前9B困惑的百花齐放
J.Randle,强大的数字,注3208,数学。加兹。52 (1968), 383.
J.Randle,强大的数字,注3208,数学。加兹。52 (1968), 383. [带注释的扫描副本]
例子
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3, 4210818 = 4^7 + 2^7 + 1^7 + 0^7 + 8^7 + 1^7 + 8^7.
数学
选择[Range[0,10^5],Function[m,AnyTrue[Function[k,Total@Map[Power[#,k]&,Integer Digits@m]]/@Range@10,#==m&]]](*迈克尔·德弗利格2016年2月8日,第10版*)
黄体脂酮素
(PARI)是(n)=如果(n<10,返回(1));my(d=数字(n),m=vecmax(d));如果(m<2,返回(0));对于(k=3,logint(n,m),如果(总和(i=1,#d,d[i]^k)==n,返回(1));0 \\查尔斯·R·Greathouse IV2017年2月6日
(PARI)选择(是_A023052号(n,b=10)={n<b||forstep(p=logint(n,max(vecmax(b=数字(n,b)),2),-1,my(t=vecsum([d^p|d<-b]));t>n||return(t==n))},[0..10^5])\\M.F.哈斯勒2019年11月21日
扩展
G.N.Gusev(GGN(AT)rm.yaroslavl.ru)计算为10^50
汤晓庆计算为10^74
1, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 144, 216, 288, 432, 864, 1296, 1728, 2592, 3456, 5184, 7776, 10368, 15552, 20736, 31104, 41472, 62208, 86400, 108000, 129600, 194400, 216000, 259200, 324000, 432000, 518400, 648000, 972000, 1296000, 1944000, 2592000
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
G.E.Hardy和M.V.Subbarao,强大的数字,国会。数字。,第37卷(1983年),第277-307页。(带注释的扫描副本)
C.B.Lacampagne和J.L.Selfridge,大而强大的数字是立方的,程序。阿默尔。数学。Soc.,第91卷,第2期(1984年),第173-181页。
配方奶粉
对于n=乘积p_i^e_i,设b(n)=乘积e_i;如果b(n)创造了一个新的记录,那么n是非常强大的。
数学
a={1};b={1};f[n_]:=时间@@Last/@FactorInteger[n];做[If[f@n>Max[b],And[AppendTo[b,f@n],AppendTo[a,n]],{n,1000000}];一个(*迈克尔·德弗利格2015年8月28日*)
使用[{s=Array[Times@@FactorInteger[#][[All,-1]]&,3*10^6]},Map[FirstPosition[s,#][[1]]&,Union@FoldList[Max,s]]](*迈克尔·德弗利格2017年10月15日*)
删除重复项[Table[{n,Times@@FactorInteger[n][[All,2]]},{n,26*10^5}],GreaterEqual[#1[[2]],#2[[2]]&][[All,1]](*哈维·P·戴尔2022年5月13日*)
黄体脂酮素
(PARI){prdex(n)=本地(s,fac);s=1;fac=因子(n);对于(k=1,matsize(fac)[1],s=s*fac[k,2]);返回}{hp(m)=本地
评论
假设n有d个数字;那么它的数字立方的和是<=729d和n>=10^(d-1)。因此d≤5。现在很容易检查显示的数字是否是唯一的解决方案。[由更正M.F.哈斯勒2015年4月12日]
参考文献
J.-M.De Konink,《法定法西斯》,第153条,第50页,《椭圆》,巴黎,2008年。
G.H.Hardy,《数学家的道歉》,剑桥,1967年。
J.Shallit,《数论和形式语言在数论新兴应用中》(明尼阿波利斯,明尼苏达州,1996年),547-570,IMA卷数学。申请。,109,斯普林格,纽约,1999年。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社,纽约,1986年,1987年修订版。见第140页。
例子
1^3 + 5^3 + 3^3 = 153. 3^3+7^3 +0^3 = 370.
数学
选择[Range[0,407],Total[Integer Digits[#]^3]==#&](*斯特凡诺·斯佩齐亚2024年9月8日*)
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 13, 14, 17, 16, 16, 17, 17, 17, 19, 19, 19, 19, 20, 21, 21, 23, 23, 23, 23, 23, 25, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 27, 27, 27, 27, 27, 27
扩展
约瑟夫·迈尔斯(Joseph S.Myers)计算的更多术语。汉斯·哈弗曼2009年6月18日
漂亮的数字:数字的正幂之和;a(n)=和{i=1..k}d[i]^e[i],其中d[1..k]是a(n)的十进制数字,e[i]>0。 (原名M0487)
+10 15
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24, 43, 63, 89, 132, 135, 153, 175, 209, 224, 226, 262, 264, 267, 283, 332, 333, 334, 357, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 407, 445, 463, 518, 598, 629, 739, 794, 849, 935, 994, 1034
评论
J.Randle建议将完美数字不变量命名为“强大的数字”A023052号,等于数字的固定幂的和。然而,“强大”通常指与素因子分解相关的属性,参见。A001694年(以及在那里和MathWorld页面上的引用)。C.里维拉建议将这些数字命名为“英俊”(鉴于自恋数字A005188号)在他的主要谜题15中:参见该页上关于术语的评论-M.F.哈斯勒2019年11月21日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
乔瓦尼·雷斯塔,d-幂次数30067项,总计10^6。
配方奶粉
如果n=d_1 d_2。。。d_k为十进制,则有整数m_1、m_2、…、。。。,m_k>0,从而n=d_1 ^m_1+…+d_k^m_k。
例子
43=4^2+3^3可以;254=2^7+5^3+4^0不正常,因为其中一个幂是0。
MAPLE公司
N: =10000;#获取所有条目<=N
总和:=proc(L,N)
选项记忆;
局部x1,L1;
x1:=L[1];
如果x1=1,则L1:={1}
否则L1:={seq(x1^j,j=1..层(log[x1](N))};
fi;
如果nops(L)=1,则L1
否则选择(`<=`,{seq(seq(a+b,a=L1),b=和(L[2..-1],N))},N)
fi(菲涅耳)
终末程序;
过滤器:=程序(x,N)
局部L;
五十: =排序(sub(0=NULL,convert(x,base,10));
成员(x,总和(L,N));
终末程序;
数学
选择[范围@1000,(s=#;成员Q[Total/@(a ^#&/@Tuples[范围@如果[#==1||#==0,1,楼层[Log[#,s]]&&@(a=整数位数[s])]),s])&&](*乔戈斯·卡洛格罗普洛斯2021年8月18日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a007532 n=a007532_列表!!(n-1)
a007532_list=过滤器f[1..],其中
f x=g x 0,其中
g 0 v=v==x
g u v=如果d<=1,则g u'(v+d),否则v<=x&h d
其中h p=p<=x&&(g u’(v+p)| | h(p*d))
(u',d)=divMod u 10
(Python)
来自itertools导入计数,takewhile
定义坎迪斯(n,d):
返回takewhile(λx:x<=n,(计数(1)中i的d**i))
定义英俊(s,t):
如果s==“”:
返回t==0
如果“01”中的s[0]:
返回英俊(s[1:],t-int(s[0])
对于坎迪斯(t,int(s[0]))中的p,返回任意(英俊(s[1:],t-p)
定义正常(n):
返回n和英俊(str(n),n)
打印(列表(过滤器(正常,范围(1035)))#迈克尔·布拉尼基2021年8月18日
1, 9, 1, 407, 9474, 194979, 548834, 14459929, 88593477, 912985153, 4679307774, 94204591914, 1, 564240140138, 28116440335967, 1, 4338281769391371, 35875699062250035, 1, 4929273885928088826, 63105425988599693916
n>1的完美数字不变量的不规则表,即,数字等于其数字的n次幂之和,按行读取。
+10 13
1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 0, 1, 153, 370, 371, 407, 0, 1, 1634, 8208, 9474, 0, 1, 4150, 4151, 54748, 92727, 93084, 194979, 0, 1, 548834, 0, 1, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 14459929, 0, 1, 24678050, 24678051, 88593477, 0, 1, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153, 0, 1, 4679307774
评论
对于具有d位的数字x>=10^(d-1),这些数字的n次幂之和不能超过d*9^n。因此,对于任何n,只有有限个可能的完美数字不变量,其中最大的n最多有d*位,其中d*=1+(n*log(9)+log d*)/log(10)-M.F.哈斯勒2015年4月14日
例子
表格开始:
1; (n=0;1=1 ^0。)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; (n=1)
0, 1; (n=2)
0, 1, 153, 370, 371, 407; (n=3,A046197号)
0, 1, 4150, 4151, 54748, 92727, 93084, 194979; (n=5,A052464号)
0, 1, 548834; (n=6)
0, 1, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 14459929; (n=7,A124068型)
0, 1, 24678050, 24678051, 88593477; (n=8,A124069型)
0, 1, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153; (n=9,A226970型)
术语153是n=3行的成员,因为153=1^3+5^3+3^3-M.F.哈斯勒2015年4月14日
黄体脂酮素
(PARI)行(n)={m=1;而(m*9^n>=10^m,m++);对于(k=1,10^m,和(i=1,#d=数字(k),d[i]^n)==k&&print1(k,“,”)}
对于(n=0,7,打印1(行(n),“,”)
(Python)
从itertools导入组合with_replacement
对于范围(1,21)中的m:
l、 l,dm,xlist,q=1,1,[d**m代表范围(10)内的d],[0],9**m
而l*q>=l:
对于组合s_with_replacement中的c(范围(1,10),l):
n=总和(dm[d]代表c中的d)
如果排序(字符串(n)中d的int(d))==[0]*(len(str(n))-len(c))+list(c):
xlist.append(n)
l+=1
L*=10
最小n位自恋(或阿姆斯特朗)数字:最小n位数字等于其数字的n次幂之和(如果不存在,则为0)。
+10 11
1, 0, 153, 1634, 54748, 548834, 1741725, 24678050, 146511208, 4679307774, 32164049650, 0, 0, 28116440335967, 0, 4338281769391370, 21897142587612075, 0, 1517841543307505039, 63105425988599693916, 128468643043731391252, 0
参考文献
M.Gardner,《矩阵博士的神奇数字》,普罗米修斯,布法罗,纽约州,1985年,第249页。
C.A.Pickover,无限的钥匙。纽约:W.H.Freeman,第169-170页,1995年。
链接
迈克·基思,野生自恋数字(自2008年5月起复制到web.archive.org-页面不再存在。)
数学
(*此程序不适合超过10个术语*)a[n_]:=对于[k=10^(n-1),True,k++,如果[k>10^n-1,返回[0],如果[k==总数[IntegerDigits[k]^IntegerLength[k]],返回[k]]];表格[打印[an=a[n]];an,{n,1,10}](*Jean-François Alcover公司2013年10月15日*)
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