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问题如下：
a） 选择一个数字N
b） 设k是N中的位数
c） 将N的每个数字提高到k次方，并将结果相加
d） 呼叫新号码N并重复
例子：
a） 14=否
b） k=2
c） 1^2+4^2=17
d） 17=否
e） k=2
f） 1^2+7^2=50
g） 50=牛顿
…等等。
以下是14的轨迹：
14 -> 1^2 + 4^2 = 17
17 -> 1^2 + 7^2 = 50
50 -> 5^2 + 0^2 = 25
25 -> 2^2 + 5^2 = 29
29 -> 2^2 + 9^2 = 85
85 -> 8^2 + 5^2 = 89
89 -> 8^2 + 9^2 = 145
145 -> 1^3 + 4^3 + 5^3 = 190
190 -> 1^3 + 9^3 + 0^3 = 730
730->7^3+3^3+0^3=370
370->3^3+7^3+0^3=370（固定点）
问题是，轨迹中出现的循环是什么？
Hans Havermann计算了前34个循环的下表（按最小前体排列）：
每个循环的格式为：
索引{最小的前兆（当前序列），循环长度，{循环本身与循环中最小元素的优先顺序-参见A151544号}}:
1 { 1, 1, {1}}
2 { 2, 1, {2}}
3 { 3, 1, {3}}
4 { 4, 1, {4}}
5 { 5, 1, {5}}
6 { 6, 1, {6}}
7 { 7, 1, {7}}
8｛8，1，｛8｝｝
9 { 9, 1, {9}}
10 { 14, 1, {370}}
11 { 59, 3, {160, 217, 352}}
12 { 108, 1, {153}}
13 { 119, 1, {371}}
14 { 136, 2, {136, 244}}
15 { 138, 10, {259, 862, 736, 586, 853, 664, 496, 1009, 6562, 3233}}
16 { 147, 14, {18829, 124618, 312962, 578955, 958109, 1340652, 376761, 329340, 537059, 681069, 886898, 1626673, 1665667, 2021413}}
17 { 177, 2, {58618, 76438}}
18 { 389, 6, {2929, 13154, 4394, 7154, 3283, 4274}}
19｛407，1，｛407｝｝
20 { 559, 3, {282595, 824963, 845130}}
21 { 709, 1, {8208}}
22 { 999, 2, {2178, 6514}}
23 { 1118, 4, {10933, 59536, 73318, 50062}}
24 { 1157, 12, {5908997, 17347727, 23131558, 17571846, 30442597, 49340036, 44870531, 23070276, 13216291, 44733413, 5981093, 11743403}}
25 { 1346, 1, {1634}}
26 { 4479, 1, {9474}}
27 { 11227, 1, {54748}}
28 { 12399, 1, {32164049651}}
29 { 22779, 1, {92727}}
30｛30489，1，｛93084｝｝
31 {100666, 12, {1680387, 5299971, 15250704, 6611844, 2689794, 12783081, 39326052, 45130596, 45579685, 68505765, 27073124, 11602212}}
32 {127779, 1, {548834}}
33 {577999, 1, {4210818}}
34 {677779, 3, {2767918, 8807272, 5841646}}
35 {1000259, 1, {9926315}}
36 {1001458, 6, {2191663, 5345158, 2350099, 9646378, 8282107, 5018104}}
37 {1007889, 1, {9800817}}
38 {1035889, 2, {8139850, 9057586}}
39 {1124577, 1, {1741725}}
40 {1188888, 1, {24678051}}
41 {2055779, 2, {2755907, 6586433}}
42 {2566699, 1, {472335975}}
43 {4888888, 10, {180450907, 564207094, 440329717, 468672187, 369560719, 837322786, 359260756, 451855933, 527799103, 857521513}}
44 {10135679, 1, {24678050}}
45 {10146899, 1, {146511208}}
46｛1023389，1，｛88593477｝｝
47 {10266888, 7, {1139785743, 5136409024, 3559173428, 4863700423, 1418899523, 9131926726, 7377037502}}
48 {14489999, 3, {180975193, 951385123, 525584347}}
49 {14788889, 1, {912985153}}
50 {20248999, 1, {534494836}}
51 {155999999, 2, {277668893, 756738746}}
任何小于10^9的数字都将属于这51个周期中的一个。
Mensanator在rec.puzzles网站上建议使用“递归数字不变量”这个名称。
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