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按行读取的三角形T（n，k）：相关的第一类斯特林数（n>=2，1<=k<=楼层（n/2））。
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1, 2, 6, 3, 24, 20, 120, 130, 15, 720, 924, 210, 5040, 7308, 2380, 105, 40320, 64224, 26432, 2520, 362880, 623376, 303660, 44100, 945, 3628800, 6636960, 3678840, 705320, 34650, 39916800, 76998240, 47324376, 11098780, 866250, 10395
评论
此外，T（n，k）是具有k个循环的{1..n}的无序排列（没有不动点的排列）的数量。
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第256页。
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第75页。
链接
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
巴黎共和国，不完全伽马函数的一致渐近展开《计算与应用数学杂志》，148（2002），第223-239页。（见333。来自Tom Copeland，2016年1月3日）
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例如：1+Sum_{1<=2*k<=n}T（n，k）*T^n*u^k/n！=exp（-t*u）*（1-t）^（-u）。
递归：T（n，k）=（n-1）*（T（n-1，k）+T（n-2，k-1）），对于边界条件T（0,0）=1的1<=k<=n/2，T（n、0）=0，对于n>=1，T（n，k）=0，对于k>n/2-大卫·卡伦2005年5月16日
列k:B（A（x））的E.g.f.，其中A（x）=log（1/1-x）-x和B（x）=x^k/k！。
这个有符号数组的行多项式是正交NL（n，x；x-n）=n！和{k=0..n}二项式（x，n-k）*（-x）^k/k！，Gautschi（Temme、Carlitz、Karlin和McGregor参考文献来源于本文）中讨论的关于上不完全伽马函数（Tricomi的特殊函数灰姑娘）的渐近展开式的归一化拉盖尔多项式（x-n）。
e^（x*t）*（1-t）^x=和{n>=0}NL（n，x；x-n）*x^n/n！。
最初的几个是
NL（0，x）=1
NL（1，x）=0
NL（2，x）=-x
NL（3，x）=2*x
NL（4，x）=-6*x+3*x^2。
对于D=D/dx，：xD:^n=x^n D^n，：dx:^n=D^n x^n，和K（a，b，c），Kummer合流超几何函数，NL（n，x；y-n）=n*e^x二项式（xD+y，n）*e^（-x）=n*e^x和{k=0..n}二项式（k+y，n）（-x）^k/k！=e^x^（-y+n）D^n（x^ye^（-x））=e^xx^*L（n，：xD:，0）*x^（y-n）*e^（-x）=n！二项式（y，n）*K（-n，y-n+1，x）=n*e^x*（-1）^n*二项式（-xD-y+n-1，n）*e^（-x）。在进行导数运算后，在y=x处对这些表达式求值，以获得NL（n，x；x-n）。（结束）
例子
第2行到第7行是：
1;
2;
6, 3;
24, 20;
120, 130, 15;
720, 924, 210;
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加法（二项式（j，n-2*k）*A008517号（n-k，j），j=0..n-k）结束；
seq（打印（seq(2008年8月06日（n，k），k=1..iquo（n，2）），n=2..12）：
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a008306 n k=a008306_tabf！！（n-2）！！（k-1）
a008306_row n=a008306-tabf！！（n-2）
a008306_tabf=映射（fst.fst）$迭代f（（[1]，[2]），3），其中
f（（美国，vs），x）=
（（vs，map（*x）$zipWith（+）（[0]++us）（vs++[0]）），x+1）
扩展
Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2001年2月16日
按行读取的三角形：T（n，k）是一个n个集的排列数，其中k个循环的大小大于1（0<=k<=floor（n/2））。
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14
1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 20, 3, 1, 84, 35, 1, 409, 295, 15, 1, 2365, 2359, 315, 1, 16064, 19670, 4480, 105, 1, 125664, 177078, 56672, 3465, 1, 1112073, 1738326, 703430, 74025, 945, 1, 10976173, 18607446, 8941790, 1346345, 45045, 1, 119481284, 216400569, 118685336
链接
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，特殊类型下降和例外的Foata变换，arXiv:2101.01928[math.CO]，2021。参见定理2。第5页。
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例如：exp（x*（1-y））/（1-x）^y.三角形的二项式变换2008年8月06日.exp（x）*（（-x-log（1-x））^k）/k！例如第k列的f。
总和{k=0..层（n/2）}k*T（n，k）=A001705号（n-1）对于n>=1。
总和{k=0..层（n/2）}（-1）^k*T（n，k）=1999年（n-1）对于n>=1。（结束）
例子
三角形（n，k）开始于：
1;
1;
1, 1;
1, 5;
1, 20, 3;
1, 84, 35;
1, 409, 295, 15;
1, 2365, 2359, 315;
...
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egf:=proc（k:：nonnegint）选项记忆；x->经验（x）*（（-x-ln（1-x））^k）/k！结束；T： =（n，k）->系数（级数（egf（k）（x），x=0，n+1），x，n）*n！；seq（seq（T（n，k），k=0..n/2），n=0..30）#阿洛伊斯·海因茨2008年8月14日
#第二个Maple项目：
b： =proc（n）选项记忆；展开（`if`（n=0，1，add（b（n-i））*
`如果`（i>1，x，1）*二项式（n-1，i-1）*（i-1）！，i=1…n））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..度（p）））（b（n））：
#第三个Maple项目：
T： =proc（n，k）选项记忆`如果`（k<0或k>2*n，0，
`if`（n=0，1，加（T（n-i，k-` if`（i>1，1，0））*
mul（n-j，j=1..i-1），i=1..n））
结束时间：
seq（seq（T（n，k），k=0..n/2），n=0..15）#阿洛伊斯·海因茨2017年7月16日
数学
最大值=12；egf=支出[x*（1-y）]/（1-x）^y；s=序列[egf，{x，0，max}，{y，0，max}]//正常；t[n_，k_]：=级数系数[s，{x，0，n}，{y，0，k}]*n！；t[0,0]=t[1,0]=1；表[t[n，k]，{n，0，max}，{k，0，n/2}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月28日*）
交叉参考
k=0-10列给出：A000012号,A006231号,289950加元,A289951型,A289952型,A289953型,A289954型,A289955型,A289956型,A289957型,A289958型.
按行读取的三角形，给出了以二项式系数表示的第一类斯特林数绝对值展开式中的系数。
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4
1, 2, 3, 6, 20, 15, 24, 130, 210, 105, 120, 924, 2380, 2520, 945, 720, 7308, 26432, 44100, 34650, 10395, 5040, 64224, 303660, 705320, 866250, 540540, 135135, 40320, 623376, 3678840, 11098780, 18858840, 18288270, 9459450, 2027025, 362880, 6636960, 47324376, 177331440, 389449060, 520059540, 416215800
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》（1974），第六章，第256页。
DJ Jeffrey、GA Kalugin、N Murdoch、Lagrange inversion和Lambert W，2015年预印本；http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/JeffreySYNASC2015paper17.pdf
查尔斯·乔丹（Charles Jordan），《有限差分演算》，切尔西1965年，第152页。表C_{m，nu}。
链接
S.Butler、P.Karasik、，关于嵌套和的注记，J.国际顺序。13（2010）#10.4.4第4页。
D.E.Knuth，卷积多项式《数学杂志》，第2卷（1992年），第67-78页。
D.E.Knuth，卷积多项式，arXiv:math/9207221[math.CA]，1992年。
L.Takacs，关于不同森林的数量，SIAM J.离散数学。，3 (1990), 574-581. 表3给出了三角形的一个版本。
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T（n，k）=（n-k-1）*（T（n-1，k-1）+T（n-1，k）），n>=1，1<=k<=n
关于细分多项式卷积的一般结果A133932号，在u1=1和u_n=-t的情况下，可以在这里应用，以获得这些无符号多项式的卷积的结果-汤姆·科普兰，2016年9月20日
例子
三角形开始：
1,
2,3,
6,20,15,
24,130,210,105,
120,924,2380,2520,945,
...
对于Knuth方程中的k=4和j=2，|S1（4,4-2）|=|S1|A008275美元（4,2）|=11=p_{2,1}*C（4,3）+p_{2}*C-R.J.马塔尔2015年7月16日
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选项记忆；
如果k＜1或k＞n，则
0 ;
elif n=1，则
1;
其他的
进程名（n-1，k-1）+进程名（n-1，k）；
%*（n+k-1）；
结束条件：；
结束进程：
数学
T[n_，k_]：=T[n，k]=如果[k<1|k>n，0，如果[n==1，1，（T[n-1，k-1]+T[n-l，k]）（n+k-1）]]；
二阶倒数斯特林数（费克特）a（n）=[2n+2，n]]。（2n+2）-集的n轨道置换数，每个轨道中至少有2个元素。也称为第一类相关斯特林数（例如Comtet）。
（原名M4298 N1797）
+10
三
6, 130, 2380, 44100, 866250, 18288270, 416215800, 10199989800, 268438920750, 7562120816250, 227266937597700, 7262844156067500, 246045975136211250, 8810836639999143750, 332624558868351750000, 13205706717164131170000
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第256页。
C.Jordan，有限差分法。布达佩斯，1939年，第152页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
C.约旦，关于斯特林数东北数学。J.，37（1933），254-278。
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a（n）=[[2n+2，n]]=Sum_{i=0..n}（-1）^i*二项式（2n+2,2n+2-i）*[2n+2-i，n-i]其中[n，k]是第一类无符号斯特林数Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
猜想：n*（4*n+5）*a（n）-（2*n+3）*（n+2）*-R.J.马塔尔2015年4月30日
a（n）=（4*n+5）*（2*n+2）/（9*2^（n+1）*（n-1）！）-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年1月17日
MAPLE公司
s1:=（n，k）->和（（-1）^i*二项式（n，i）*abs（stirling1（n-i，k-i）），i=0..n）；对于从1到20的j，做s1（2*j+2，j）；od；编号Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
数学
表[总和[（-1）^i二项式[2 n+2，2 n+2-i]Abs@StirlingS1[2 n+2-i，n-i]，{i，0，n}]，{n，16}](*迈克尔·德弗利格2016年1月4日*）
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（PARI）a（n）=和（i=0，n，（-1）^i*二项式（2*n+2，2*n=2-i）*abs（斯特林（2*n+2-i，n-i，1））\\米歇尔·马库斯2016年1月4日
扩展
更多术语来自Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
二阶倒数斯特林数（费克特）a（n）=[2n+3，n]]。（2n+3）-集的n轨道置换数，每个轨道中至少有2个元素。也称为第一类相关斯特林数（例如Comtet）。
（原名M5169 N2244）
+10
三
1, 24, 924, 26432, 705320, 18858840, 520059540, 14980405440, 453247114320, 14433720701400, 483908513388300, 17068210823664000, 632607429473019000, 24602295329058447000, 1002393959071727722500, 42720592574082543120000
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第256页。
C.Jordan，有限差分法。布达佩斯，1939年，第152页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
C.约旦，关于斯特林数东北数学。J.，37（1933），254-278。
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a（n）=[[2n+3，n]]=Sum_{i=0..n}（-1）^i*二项式（2n+3、2n+3-i）*[2n+3-i，n-i]其中[n，k]是第一类无符号斯特林数Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
猜想：480*（n+1）*a（n）+30*（-32*n^2-14821*n+42287）*a-R.J.马塔尔2015年7月18日
猜想：（n-2）*（20*n^2-5*n-3）*a（n）-n*（2*n+1）*-R.J.马塔尔2015年7月18日
对于n>0，a（n）=（67+75*n+20*n^2）*（2*n+3）/（405*2^n*（n-1）！）-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年1月17日
MAPLE公司
与（组合）：s1:=（n，k）->和（（-1）^i*二项式（n，i）*abs（stirling1（n-i，k-i）），i=0..n）；1; 对于从1到20的j，做s1（2*j+3，j）；od；编号Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
数学
前缀[表[Sum[（-1）^i二项式[2n+3，2n+3-i]Abs@StirlingS1[2n+3-i，n-i]，{i，0，n}]，{n，15}]，1](*迈克尔·德弗利格2016年1月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（！n，1，和（i=0，n，（-1）^i*二项式（2*n+3，2*n=3-i）*abs（stirling（2*n+3-i，n-i，1）））\\米歇尔·马库斯2016年1月4日
扩展
更多术语来自Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
二阶倒数斯特林数（费克特）a（n）=[2n+4，n]]。（2n+4）-集合的n轨道排列数，每个轨道上至少有2个元素。也称为第一类相关斯特灵数（例如，Comtet）。
（原名M5382 N2338）
+10
三
1, 120, 7308, 303660, 11098780, 389449060, 13642629000, 486591585480, 17856935296200, 678103775949600, 26726282654771700, 1094862336960892500, 46641683693715610500, 2066075391660447667500, 95122549872697437090000
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第256页。
C.Jordan，有限差分法。布达佩斯，1939年，第152页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
C.约旦，关于斯特林数东北数学。J.，37（1933），254-278。
配方奶粉
a（n）=[[2n+4，n]]=Sum_{i=0..n}（-1）^i*二项式（2n+4,2n+4-i）*[2n+4-i，n-i]其中[n，k]是第一类无符号斯特林数Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
重复次数：30*（n-1）*（116*n+75）*a（n）+（-6960*n^3-49760*n^2-112691*n-80787）*a-R.J.马塔尔2015年7月18日
对于n>0，a（n）=（1113+1447*n+600*n^2+80*n^3）*（2*n+4）/（1215*2^（n+3）*（n-1）！）-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年1月17日
递归（对于n>1）：（n-1）*（80*n^3+360*n^2+487*n+186）*a（n）=（n+2）*（2*n+3）*-瓦茨拉夫·科特索维奇2016年1月18日
MAPLE公司
与（组合）：s1:=（n，k）->和（（-1）^i*二项式（n，i）*abs（stirling1（n-i，k-i）），i=0..n）；对于从1到20的j，do s1（2*j+4，j）；od；编号Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
数学
前缀[表[Sum[（-1）^i二项式[2n+4，2n+4-i]Abs@StirlingS1[2n+4-i，n-i]，{i，0，n}]，{n，14}]，1](*迈克尔·德弗利格2016年1月4日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（！n，1，和（i=0，n，（-1）^i*二项式（2*n+4，2*n+4-i）*abs（stirling（2*n+4-i，n-i，1）））\\米歇尔·马库斯2016年1月4日
（岩浆）[1]cat[（1113+1447*n+600*n^2+80*n^3）*阶乘（2*n+4）/（1215*2^（n+3）*阶跃（n-1））：n in[1..15]]//文森佐·利班迪2016年1月18日
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更多术语来自Barbara Haas Margolius（Margolius，AT）math.csuohio.edu），2000年12月14日
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