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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
A154921号 行读取的三角形，T（n，k）=二项式（n，k）*和{j=0..n-k}E（n-k，j）*2^j，其中E（n，m）是欧拉数173018年（n，k），对于0<=k<=n。 15
1, 1, 1, 3, 2, 1, 13, 9, 3, 1, 75, 52, 18, 4, 1, 541, 375, 130, 30, 5, 1, 4683, 3246, 1125, 260, 45, 6, 1, 47293, 32781, 11361, 2625, 455, 63, 7, 1, 545835, 378344, 131124, 30296, 5250, 728, 84, 8, 1, 7087261, 4912515, 1702548, 393372, 68166, 9450, 1092, 108, 9, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
上一个名称：矩阵逆A154926号.
A000670号出现在第一列中。A052882号出现在第二列中。A000027号和A045943号以对角线形式出现。计算矩阵逆的另一种方法A154926号是将右下角的项移到同一列中的某个位置，然后计算行列式，得到相同的答案。
（2*I-P）的矩阵逆，其中P是帕斯卡三角形，I是单位矩阵。参见A162312号关于（2*P-I）的矩阵逆，以及关于形式M（a）：=（I-a*P）^-1的数组及其与整数加权幂和的关系的一些一般性注记。当前数组等于（1/2）*M（1/2）-彼得·巴拉2009年7月1日
发件人Mats Granvik公司，2009年8月11日：（开始）
这个三角形中的值可以看作类似于Redheffer矩阵中方法的Pascal三角形的永久值。元素满足（T（n，k）/T（n，k-1））*k=（T（n-1，k）/T（n、k））*n，它收敛到log（2），作为n->oo和k->0。一般来说，计算log（x）时，将A154926号通过1/（x-1）计算矩阵的逆。然后得到的三角形中的（T（n，k）/T（n，k-1））*k和（T（n-1，k）/T（n、k））*n收敛到log（x）。
当x大于5左右时，这种计算对数（x）的方法比泰勒级数收敛得更快。有关比较，请参阅《明镜》中关于泰勒级数的章节。（结束）
指数Riordan数组[1/（2-exp（x）），x]-保罗·巴里2011年4月6日
T（n，k）是{1,2，…，n}的有序集分区数，使得第一个块包含k个元素。对于k=0，第一个块包含任意多个元素-杰弗里·克雷策2013年7月22日
这些多项式的自然（有符号）求精由Appell序列给出，例如f.e^（xt）/f（t）=exp[tP.（x）]，形式Taylor级数f（x）=1+x[1]x+x[2]x^2/2！+。。。和提升算子R=x-d[log（f（d）]/dD（cf。A263634型). -汤姆·科普兰2015年11月6日
参考文献
Murray R.Spiegel，《数学手册》，Schaum的大纲，第111页。
链接
阿洛伊斯·海因茨，行n=0..140，扁平
R.B.内尔森，问题E3062，美国。数学。月刊，第94卷，第4期（1987年4月），376-377。
R.B.Nelsen和H.Schmidt，Jr。，发电机组中的链条《数学杂志》，第64卷，第1期（1991年2月），第23-31页。
配方奶粉
发件人彼得·巴拉，2009年7月1日：（开始）
表格条目
（1） T（n，k）=二项式（n，k）*A000670号（n-k）。
生成函数
（2） exp（x*t）/（2-exp（t））=1+（1+x）*t+（3+2*x+x^2）*t^2/2！+。。。。
行多项式的性质
生成多项式R_n（x）的行构成Appell序列。它们出现在幂集偏序集的研究中[Nelsen和Schmidt]。
前几个值是R_0（x）=1，R_1（x）=1+x，R_2（x）=3+2*x+x^2和R_3（x”）=13+9*x+3*x^2+x^3。
行多项式可以通过以下方式递归计算
（3） R_n（x）=x^n+和{k=0..n-1}二项式（n，k）*R_k（x）。
显式公式包括
（4） R_n（x）=（1/2）*和{k>=0}（1/2）^k*（x+k）^n，
（5） R_n（x）=和{j=0..n}和{k=0..j}（-1）^（j-k）*二项式（j，k）*（x+k）^n，
和
（6） R_n（x）=和{j=0..n}和{k=j.n}k*斯特林2（n，k）*二项式（x，k-j）。
整数的幂和
行多项式满足差分方程
（7） 2*R_m（x）-R_m（x+1）=x^m，
这很容易导致计算整数的加权幂和
（8） 和{k=1..n-1}（1/2）^k*k^m=2*R_m（0）-（1/2）。
例如，m=2表示
（9） 和{k=1..n-1}（1/2）^k*k^2=6-（1/2）（n-1）*（n^2+2*n+3）。
一般来说，我们有
（10） 求和{k=0..n-1}（1/2）^k*（x+k）^m=2*R_m（x）-（1/2）。
与其他序列的关系
数据库中由行多项式的特定值给出的序列如下
(11)A000670号（n） =R_n（0）
(12)A052841号（n） =R_n（-1）
(13)A000629号（n） =R_n（1）
(14)A007047号（n） =R_n（2）
(15)A080253号（n） =2^n*R_n（1/2）。
最后一个结果是多项式2^n*R_n（1/2+x/2）是以下结果的特殊情况（x=0）：A162313号.
应将上述公式与以下公式进行比较A162312号.（结束）
发件人彼得·卢什尼2012年7月15日：（开始）
(16)A151919号（n） =R_n（1/3）*3^n*（-1）^n
(17)A052882号（n） =[x^1]R_n（x）
(18)A045943号（n） =[x^（n-1）]R_n+1（x）
(19)A099880型（n） =[x^n]R_2n（x）。（结束）
多项式p{0}（x）=1和p{n}（x）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n，k）*p{k}（0）*（1+x^（n-k））的x^i的升序系数-彼得·卢什尼2012年7月15日
例子
发件人彼得·巴拉，2009年7月1日：（开始）
三角形T（n，k）开始于：
否|0 1 2 3 4 5 6
==============================================
0 | 1
1 | 1 1
2 | 3 2 1
3 | 13 9 3 1
4 | 75 52 18 4 1
5 | 541 375 130 30 5 1
6 | 4683 3246 1125 260 45 6 1
...
（结束）
发件人Mats Granvik公司，2009年8月11日：（开始）
第4行等于75,52,18,4,1，因为永久数为：
1,0,0,0,1 1,0,0,0,0 1,0,0,0,0 1,0,0,0,0 1,0,0,0,0
1,1,0,0,01,1,0,11,1,0,0,01,1,0,0,0,01,1,0,0,0,01,1,0,0,0,0
1,2,1,0,0 1,2,1,0,0 1,2,1,0,1 1,2,1,0,0 1,2,1,0,0
1,3,3,1,0 1,3,3,1,0 1,3,3,1,0 1,3,3,1,1 1,3,3,1,0
1,4,6,4,0 1,4,6,4,0 1,4,6,4,0 1,4,6,4,0 1,4,6,4,1
是：
75 52 18 4 1
（结束）
MAPLE公司
A154921号_行：=proc（n）局部i，p；p:=proc（n，x）选项记住；局部k；
如果n=0，则1加上（p（k，0）*二项式（n，k）*（1+x^（n-k）），k=0..n-1）fi结束：
seq（系数（p（n，x），x，i），i=0..n）结束：n从0到5 doA154921号_行（n）od；
#彼得·卢什尼2012年7月15日
T:=（n，k）->二项式（n，k）*加法（组合：-eulerian1（n-k，j）*2^j，j=0..n-k）：
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..n）），n=0..6）#彼得·卢什尼2015年2月7日
#第三个Maple项目：
b： =proc（n）b（n）：=`if`（n=0，1，add（b（n-j）/j！，j=1..n）结束：
T： =（n，k）->n/k*b（n-k）：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..12）#阿洛伊斯·海因茨2019年2月3日
#第四个枫叶项目：
p:=proc（n，m）选项记忆；如果n=0，则为1
（m+x）*p（n-1，m）+（m+1）*p
行：=n->local k；seq（系数（p（n，0），x，k），k=0..n）：
对于从0到6的n，做第（n）行od#彼得·卢什尼2023年6月23日
数学
nn=8；a=实验[x]-1；
地图[Select[#，#>0&]&，
转座[
表[范围[0，nn]！系数列表[
序列[x^n/n！/（1-a），｛x，0，nn｝]，x]，｛n，0，nn｝]]//网格(*杰弗里·克雷策2013年7月22日*）
E1[n_/；n>=0，0]=1；E1[n_，k_]/；k<0|k>n=0；E1[n_，k_]：=E1[n，k]=（n-k）E1[n-1，k-1]+（k+1）E1[n-1，k]；
T[n_，k_]：=二项式[n，k]和[E1[n-k，j]2^j，{j，0，n-k}]；
表[T[n，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2018年12月30日，之后彼得·卢什尼*)
黄体脂酮素
（鼠尾草）
@缓存函数
定义多边形（n，x）：
如果n==0，则返回1，否则为范围（n）中的k加上（多项式（k，0）*二项式（n，k）*（x^（n-k）+1））
R=多项式环（ZZ，'x'）
对于（0..6）中的n：打印（R（多边形（n，x））.list（））#彼得·卢什尼2012年7月15日
交叉参考
囊性纤维变性。A000629号（行总和），A000670号，A007047号，A052822号（第1列），A052841号（可选行总和），A080253号，A162312号，A162313号.
囊性纤维变性。A263634型，A099880型（T（2n，n））。
上下文中的序列：A134090型 A132845号 A129652号*A127126号 A371461 A161133号
相邻序列：A154918号 A154919号 A154920号*A154922号 A154923号 A154924号
关键词
非n，表
作者
Mats Granvik公司2009年1月17日
扩展
新名称依据彼得·卢什尼2015年2月7日
状态
经核准的

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上次修改时间：美国东部夏令时2024年5月28日21:13。包含372920个序列。（在oeis4上运行。）