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7, 8, 5, 3, 9, 8, 1, 6, 3, 3, 9, 7, 4, 4, 8, 3, 0, 9, 6, 1, 5, 6, 6, 0, 8, 4, 5, 8, 1, 9, 8, 7, 5, 7, 2, 1, 0, 4, 9, 2, 9, 2, 3, 4, 9, 8, 4, 3, 7, 7, 6, 4, 5, 5, 2, 4, 3, 7, 3, 6, 1, 4, 8, 0, 7, 6, 9, 5, 4, 1, 0, 1, 5, 7, 1, 5, 5, 2, 2, 4, 9, 6, 5, 7, 0, 0, 8, 7, 0, 6, 3, 3, 5, 5, 2, 9, 2, 6, 6, 9, 9, 5, 5, 3, 7
(列表；常数；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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也指圆的面积与外切正方形的面积之比。更一般地说，椭圆的面积与外切矩形的面积之比。也指圆柱体体积与外切立方体体积之比-奥马尔·波尔2013年9月25日
也是直径为1的四分之一球体的表面积-奥马尔·波尔2013年10月3日
这个常数也等于包含两个平方根的嵌套根的反正切函数的无穷和。具体地说，Pi的一个Viete-like公式是由Pi/4=Sum_{k=2..oo}arctan（sqrt（2-a_{k-1}）/a_k）给出的，其中嵌套根是由递归关系a_k=sqrt（2+a_{k-1}）和a_1=sqert（2）定义的（参见文章[Abrarov和Quine]）-桑贾·阿布拉罗夫2017年1月9日
Pi/4是单位边正多边形的外接圆和内切圆之间的封闭区域-亚辛2023年11月29日
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参考文献
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Jörg Arndt和Christoph Haenel，Pi:Algorithmen，Computer，Arithmetik，Springer 2000，第150页。
道格拉斯·R·霍夫斯塔特，哥德尔，埃舍尔，巴赫：永恒的金辫子，基础图书，第408页。
J.Rivaud，Analyse，Séries，equations différentielles，Mathématiques supérieures et spéciales，Premier循环大学，Vuibert，1981年，练习3，第136页。
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链接
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Jonathan M.Borwein、Peter B.Borwein和Karl Dilcher，Pi，Euler数和渐近展开阿默尔。数学。月刊，96（1989），681-687。
斯里尼瓦萨·拉马努扬，问题353J.Ind.数学。Soc公司。
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配方奶粉
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等于Integral_{x=0..oo}sin（2x）/（2x）dx。
等于积分{x=0..1}1/（1+x^2）dx-加里·亚当森2003年6月22日
等于（总和{x=0..oo}sin（x）*cos（x）/x）-1/2-布鲁诺·贝塞利2013年5月13日
等于和{n>=0}（-1）^n/（2*n+1）-杰弗里·克雷策2013年11月3日
等于Product_{k inA071904号}（如果k mod 4=1，则（k-1）/（k+1））其他（如果k mode 4=3，则（k+1）/（k-1））-迪米特里斯·瓦利亚纳托斯2016年10月5日
对于N偶数：2*（Pi/4-和{k=1..N/2}（-1）^（k-1）/（2*k-1））~（-1）*（N/2）*（1/N-1/N^3+5/N^5-61/N^7+1385/N^9-…），其中无符号系数[1，1，5，61，1385，…]的序列是A000364号参见Borwein等人，定理1（a）。
对于N奇数：2*（Pi/4-求和{k=1..（N-1）/2}（-1）^（k-1）/（2*k-1））~（-1）*（（N-1）/2）*（1/N-1/N^2+2/N^4-16/N^6+272/N^8-…），其中无符号系数[1，1，2，16，272，…]的序列是A000182号额外的初始项为1。
对于N=0,1,2，。。。m=1,3,5，。。。这里有Pi/4=（2*N）！*m^（2*N）*Sum_{k>=0}（（-1）^（N+k）*1/产品{j=-N.N.N}（2xk+1+2*m*j））；当N=0时，我们得到Pi/4的Madhava-Gregory-Leibniz级数。
对于N=0,1,2，。。。，Pi/4=4^（N-1）*N/（2*N）！*求和{k>=0}2^（k+1）*（k+N）！*（k+2*N）/（2*k+2*N+1）！，在m=1的情况下，将欧拉级数变换应用于上述Pi/4的级数表示。（结束）
对于k=0,1,2，。。。，Pi/4=k*求和{n=-oo..oo}1/（（4*n+1）*（4*n+3）**（4*n+2*k+1）），其中Sum_{n=-oo..oo}f（n）被理解为lim_{j->oo}Sum_{n=-j.j}f（n）。
根据Abel-Plana公式，等于积分{x=0..oo}sin（x）^4/x^2 dx=Sum_{n>=1}sin（n）^4/n^2。
根据Abel-Plana公式，等于积分{x=0..oo}sin（x）^3/xdx=Sum_{n>=1}sin（n）^3/n。（结束）
等于arcsin（1/sqrt（2））。
等于Product_{k>=1}（1-1/（2*k+1）^2）。
等于Integral_{x=0..oo}x/（x^4+1）dx。
等于Integral_{x=0..oo}1/（x^2+4）dx。（结束）
等于（1/2）^2=伽马（3/2）^2-加里·亚当森2021年8月23日
等于Integral_{x=0..oo}exp（-x）*sin（x）/x dx（参见Rivaud参考）-伯纳德·肖特2022年1月28日
等于beta（1），其中beta是Dirichlet beta函数。
等于乘积{p素数>=3}（1-（-1）^（（p-1）/2）/p）^。（结束）
等于arctan（F（1）/F（4））+arctan-加里·亚当森2024年3月3日
Pi/4=和{n>=1}i/（n*P（n，i）*P（n-1，i））=（1/2）*和{n>=1}（-1）^（n+1）*4^n/（n*A006139号（n）*A006139号（n-1）），其中i=sqrt（-1），P（n，x）表示第n个勒让德多项式。级数的第n个和是O（1/（3+2*sqrt（3））^n）-彼得·巴拉2024年3月16日
等于反正切（φ^（-3））+反正切（phi^（-1））-加里·亚当森2024年3月27日
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例子
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0.785398163397448309615660845819875721049292349843776455243736148...
N=2，m=6:Pi/4=4*3^4和{k>=0}（-1）^k/-彼得·巴拉2016年11月15日
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MAPLE公司
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evalf（Pi/4）；
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数学
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（*程序启动*）
（*通过递归定义嵌套根（_k）*）
a[k_]：=嵌套[Sqrt[2+#1]&，0，k]
（*K=100时Pi/4近似值示例*）
打印[“Pi/4的实际值为”]
编号[Pi/4，40]
打印[“在K=100时，Pi/4的近似值为”]
K:100；（*截断整数*）
N[Sum[ArcTan[Sqrt[2-a[k-1]]/a[k]]，{k，2，k}]，40]（*方程（8）*）
（*Pi/4近似值的误差项*）
打印[“Pi/4的错误项”]
k:=1；（*指数k的初始值*）
K:=10；（*截断整数K的初始值*）
平方码：={}；（*启动序列*）
AppendTo[sqn，{“截断整数K”，“Pi/4中的错误项”}]；
而[K<=30，
附加到[sqn，{K，
N[Pi/4-和[ArcTan[Sqrt[2-a[k-1]]/a[k]]，{k，2，k}]，1000]//
N} ]；K++]（K++）
打印[MatrixForm[sqn]]
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程序
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（哈斯克尔）——见链接：识字程序
导入数据。字符（数字到Int）
a003881_list len=映射digitToInt$show$machin`div`（10^10），其中
machin=4*arccot 5单位-arccot 239单位
单位=10^（len+10）
arccot x unity=arccot'x unity 0（unity`div`x）1 1其中
arccot’x单位和xpow n符号
|项==0=总和
|否则=arccot’
x单位（总和+符号*项）（xpow`div`x^2）（n+2）（-符号）
其中term=xpow`div`n
（SageMath）#莱布尼茨/科恩/维莱加斯/扎吉尔/阿恩特/哈内尔
定义FastLeibniz（n）：
b=2^（2*n-1）；c=b；s=0
对于范围（n-1，-1，-1）中的k：
t=2*k+1
s=s+c/t，如果is_even（k）else s-c/t
b*=（t*（k+1））/（2*（n-k）*（n+k））
c+=b
返回s/c
A003881号=RealField（3333）（FastLeibniz（1330））
（岩浆）R:=RealField（100）；Pi（R）/4//G.C.格鲁贝尔，2018年3月8日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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