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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A024235 E、 g.f.tan(x)*sin(x)/2(仅限偶数幂)。 8
0,1,2,31,692,25261,135138299680491,9695756072,1202439837721,185594118762,34674437196568951,7757267081778543452,204353625464656619481,626129820701814932734142,220771946624511552276841411,88759695789769644718332394832 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

彼得·巴拉2016年11月10日:(开始)

这个序列给出了与常数Pi/8有关的渐近展开式中的系数。回想一下Madhava Gregory Leibniz级数Pi/4=Sum{k=1..inf}(-1)^(k-1)/(2*k-1)。Borwein等人。给出了这个级数尾部的渐近展开式:Pi/2-2*Sum{k=1..N/2}(-1)^(k-1)/(2*k-1)~1/N-1/N^3+5/N^5-61/N^7+…,其中N是可被4整除的整数,无符号系数序列[1,1,5,61,…]是欧拉数序列A000364号.

类似地,我们得到了级数表示Pi/8=Sum{k=1..inf}(-1)^k/((2*k-3)*(2*k-1)*(2*k+1)):使用Borwein等人的方法。我们可以证明级数尾部的相关渐近展开式是Pi/4-2*Sum{k=1..N/2}(-1)^k/((2*k-3)*(2*k-1)*(2*k+1))~-1/N^3+2/N^5-31/N^7+692/N^9-…,其中N可被4整除,其中无符号系数序列[1,2,31,692,…]构成当前序列。下面给出了一个数值例子。囊性纤维变性。A278080号A278195号. (结束)

链接

文琴佐·利班迪,n=0..50时的n,a(n)表

J、 M.Borwein,P.B.Borwein,K.Dilcher,Pi,Euler数与渐近展开阿默尔。数学。月刊,96(1989),681-687。

埃里克·韦斯坦的数学世界,数学世界:欧拉多项式

公式

G、 f.:1/2*(G(0)-1/(1+x)),其中G(k)=1-x*(2*k+1)^2/(1-x*(2*k+2)^2/G(k+1));(递归定义的连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年2月9日

a(n)~(2*n)!*(2/Pi)^(2*n+1)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年1月23日

彼得·巴拉2016年11月10日:(开始)

a(n)=1/2*(A000364号(n) -(-1)^n)。

a(n)=1/8*(-4)^n*(-E(2*n,3/2)+2*E(2*n,1/2)-E(2*n,-1/2)),其中E(n,x)是n阶的欧拉多项式。

G、 二分之一!*sin^2(x)/cos(x)=x^2/2!+2*x^4/4!+31*x^6/6!+692*x^8/8!+ ....

O、 g.f.对于序列的有符号版本:Sum{n>=0}(1/2^n*Sum{k=0..n}(-1)^k*二项式(n,k)/((1-(2*k-1)*x)*(1-(2*k+1)*x)*(1-(2*k+3)*x))=1-2*x^2+31*x^4-692*x^6+。。。。(结束)

例子

棕褐色(x)*sin(x)/2=1/2*x^2+1/12*x^4+31/720*x^6+173/10080*x^8+。。。

彼得·巴拉2016年11月10日:(开始)

N=100000时的渐近展开。

截断级数2*和{k=1..N/2}(-1)^k/((2*k-3)*(2*k-1)*(2*k+1))=0.78539816339744(9)309615660(6)4581987(603)104929(1657)84377。。。到50位数。括号内的数字显示了这种十进制扩展与Pi/4的不同之处。数字-1,2,-31,692必须加在括号内的数字上,以提供正确的十进制扩展到50位数:Pi/4=0.78539816339744(8)309615660(8)4581987(572)104929(2349)84377。。。。(结束)

枫木

A000364号:=过程(n)

abs(欧拉(2*n));

结束过程:

顺序(1/2*(A000364号(n) -(-1)^n),n=0..20)#彼得·巴拉2016年11月10日

数学

使用[{nn=30},取[CoefficientList[Series[Tan[x]*Sin[x]/2,{x,0,nn}],x]范围[0,nn]!,{1,-1,2}]](*哈维·P·戴尔2012年4月27日*)

交叉引用

囊性纤维变性。A009744号,A000364号,A004174号,A019675年,A278080号,A278195号.

上下文顺序:A057692号 A058244号 A245051型*A010789号 A333349型 A224863号

相邻序列:A024232 A024233号 A024234号*A024236号 A024237型 A024238

关键字

,容易的

作者

R、 哈丁

扩展

扩展和标志测试1997年3月15日。

更多条款来自哈维·P·戴尔2012年4月27日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年10月27日23:26。包含338047个序列。(运行在oeis4上。)