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A002805号 |
| 调和数H(n)的分母=和{i=1..n}1/i。 (原名M1589 N0619)
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363
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1, 2, 6, 12, 60, 20, 140, 280, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 4084080, 77597520, 15519504, 5173168, 5173168, 118982864, 356948592, 8923714800, 8923714800, 80313433200, 80313433200, 2329089562800, 2329089562800, 72201776446800
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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H(n)/2是一堆n张牌在不倾倒的情况下可以伸出桌子边缘的最大距离。
如果n不在{1,2,6}中,那么a(n)至少有一个素因子,而不是2或5。例如,a(5)=60有一个素因子3,a(7)=140有一个素数因子7。这意味着每个H(n)=A001008号(n)/A002805号(n) ,n不是来自{1,2,6},具有无限十进制表示。有关证明,请参阅J.Havil参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
a(n)/A001008号(n) =1/H(n)是以下经典水箱和管道问题的解。蓄水池与n条不同的水管相连。对于第k根管道,填满空水箱需要k个时间单位(比如说,天),因为k=1,2。。。,n根管子加起来填满空水箱需要多长时间?1/H(n)以时间单位的分数给出答案。
一般来说,如果第k条管道需要d(k)天才能填满空水箱,那么所有管道加在一起需要1/Sum_{k=1..n}1/d(k)=HM(d(1)。。。,d(n))/n天,其中HM表示谐波平均值HM。对于所述问题,HM(1,2,…,n)/n=A102928号(n) /(n)*175541英镑(n) )=1/H(n)。
有关经典水箱和管道问题,请参见中给出的Hunger-Vogel参考(希腊语和德语)A256101型,问题27,第29页,其中n=3,d(1)、d(2)和d(3)分别为6天、4天和3天。在这篇参考文献的第97页上,人们可以找到关于此类问题历史的评论(在德语中称为“Brunnenaufgabe”)。(结束)
上述蓄水池和管道问题的一个例子出现在《九本算术书》第六卷第26题中。数字有1/2、1、5/2、3和5(天),结果是15/75(天。见第68页的参考(德语)。
约翰内斯·特罗普夫克(Johannes Tropfke)参考文献中有关于此类蓄水池问题的历史记载,见A256101型第4.2.1.2节Zisternen问题(Leistungsprobleme),第578-579页。
在斐波纳契的《利伯·阿巴奇》(Liber Abaci)中,这种问题出现在L.E.Sigler译本的第281页和第284页。(结束)
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参考文献
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Chiu Chang Suan Shu,Neun Bücher arithmetischer Technik,由Kurt Vogel,Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften,Band 4,Friedr翻译和评论。Vieweg&Sohn,布伦瑞克,1968年,第68页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《具体数学》。Addison Wesley,马萨诸塞州雷丁市,1990年,第259页。
J.Havil,Gamma(德语),Springer,2007年,第35-6页;《伽玛:探索欧拉常数》,普林斯顿大学出版社,2003年。
D.E.Knuth,《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley,雷丁,马萨诸塞州,第1卷,第615页。
G.Pólya和G.Szegő,《分析中的问题和定理》,第二卷,施普林格,1976年版重印,1998年,第251期,第154页。
L.E.Sigler,斐波纳契的《解放阿巴奇》,斯普林格出版社,2003年,第281、284页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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安塔尔·伊万尼,同步网络中的领导者选举《Sapientiae大学学报》,Mathematica,5,2(2013)54-82。
彼得·萧,调和数的分母,arXiv:1607.02863[math.NT],2016年。
Jonathan Sondow和Eric W.Weisstein,数学世界:调和数.
吴炳灵、陈永高、,关于调和数的分母,arXiv:1711.00184[math.NT],2017年。
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公式
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a(n)=分母(和{k=1..n}(2*k-1)/k)-加里·德特利夫斯2011年7月18日
a(n)=连续分数1/(1-1^2/(3-2^2/-彼得·巴拉2024年2月18日
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例子
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H(n)=[1,3/2,11/6,25/12,137/60,49/20,363/140,761/280,7129/2520,…]=A001008号/A002805号.
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MAPLE公司
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seq(denom(总和((2*k-1)/k,k=1..n),n=1..30)#加里·德特利夫斯2011年7月18日
f: =n->denom(加(1/k,k=1..n))#N.J.A.斯隆2013年11月15日
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数学
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分母[Drop[FoldList[#1+1/#2&,0,Range[30],1]](*哈维·P·戴尔2000年2月9日*)
表[分母[谐波数[n]],{n,1,40}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月20日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
导入数据。比率(%),分母)
a002805=分母。总和。地图(1%)。enumFromTo 1
a002805_list=映射分母$scanl1(+)$map(1%)[1..]
(圣人)
def harmonic(a,b):#参见F.Johansson链接。
如果b-a==1:返回1,a
m=(a+b)//2
p、 q=谐波(a,m)
r、 s=谐波(m,b)
返回p*s+q*r,q*s
定义A002805号(n) :H=谐波(1,n+1);返回分母(H[0]/H[1])
(岩浆)[分母(谐波数(n)):[1..40]]中的n//文森佐·利班迪2015年4月16日
(GAP)列表([1..30],n->DenominatorRat(总和([1..n],i->1/i))#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年12月20日
(Python)
从分数导入分数
定义a(n):返回和(范围(1,n+1)中i的分数(1,i))。分母
打印([a(n)代表范围(1,30)中的n])#迈克尔·布拉尼基2021年12月24日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,压裂,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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