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四边形的

四边形，有时也称为四边形或四边形（Johnson 1929，p.61）是四边形多边形。如果没有明确说明声明，全部四个多边形顶点通常是躺在一个飞机.（如果点不在飞机，四边形称为倾斜四边形的.）四边形有三种拓扑类型（Wenninger1983年，第50页）：凸四边形（左图），凹四边形图）和交叉四边形（或蝴蝶或蝴蝶；右图）。

有两面的四边形平行称为梯形而具有相反对的四边形平行的边称为平行四边形.

四边形向量

对于平面凸四边形（上图左），让边的长度为一,b条,c（c）,和d日,这个半周长 秒、和多边形对角线 第页和q个. The多边形对角线是垂直的 若（iff） a^2+c^2=b^2+d^2.

边长平方和的方程式为

a^2+b^2+c^2+d^2=p^2+q^2+4x^2，
(1)

哪里x个是连接到中点的多边形对角线（Casey 1888年，第22页）。

对于双中心四边形，的外接圆和内圆满足

2r^2（R^2-s^2）=（R^2-s^2”^2-4r^2s^2，
(2)

哪里R（右）是外半径,第页在中半径（inradius）、和秒是中心的分离。

给定平面上任意五个点的一般位置，四个点将形成凸四边形。这个结果是所谓的幸福的末端问题（霍夫曼1998年，第74-78页）。

对于平面凸四边形的面积，有一个很好的公式，它是根据其两条对角线对应的向量表示的。表示四边形的边通过矢量一,b条,c（c）、和d日安排如下a+b+c+d=0和向量的对角线第页和q个这样安排p=b+c和q=a+b。那么

K（K）=1/2 |细节（pq）|
(3)
=1/2|p×q|，
(4)

哪里测定（A）是行列式和像素是二维的交叉产品.

关于平面凸四边形的面积，有许多漂亮的公式，包括

K（K）=1/2pqsintheta
(5)
=1/4（b^2+d^2-a^2-c^2）坦提塔
(6)

（拜尔1987年，第123页），Bretschneider的公式

K（K）=1/4平方米（4p^2q^2-（b^2+d^2-a^2-c^2）^2）
(7)
=sqrt（（s-a）（s-b）（s-c）（s-d）-1/4（ac+bd+pq）（ac+b-pq））
(8)

（柯立芝1939；伊万诺夫1960；拜尔1987，第123页）其中秒是半周长、和美丽的公式

K=平方（（s-a）（s-b）（s-c）（s-d）-abcdcos^2[1/2（a+b）]）
(9)

（Bretschneider 1842；Strehlke 1842；柯立芝1939；拜尔1987，第123页）。

四边形质心

四边形顶点的质心位于双介质（即线路M_（AB）M_（CD）和M_（AD）M_（BC）连接对立面中点)（Honsberger 1995，第36-37页）。此外，它是中点线路的M_（AC）M_（BD）连接对角线的中点自动控制和BD公司（Honsberger 1995，第39-40页）。

四边形平分线

四个人角平分线四边形的横断四个相邻平分线共环的点（Honsberger，1995年，第35页）。

四边形平铺

任何非本人-交叉四边形平铺平面。

这六个距离之间有关系d（12）,d（13）,d（14）,d（23）,d（24）、和d（34）在四边形的四个点之间（温伯格1972):

0=d_（12）^4d_（34）^2+d_（13）^4d（24）^2+d_（14）^4d_（23）^2++d_（23）2d（41）^2+d（23）^2d（34）^2d_（42）^2-d_（12）^2ds（23）^2d_（32）^2-d_（23）^2d_。
(10)

这可以通过设置凯利·蒙格尔行列式

288V^2=|0 1 1 1 1；10d_（12）^2d_（13）^2d（14）^2；1d（21）^20d（23）^2d（24）^2；1d（31）^2d（32）^20d（34）^2；1d_（41）^2d_（42）^2d（43）^2 0|
(11)

等于0（对应于四面体卷0），从而给出距离平面四边形顶点之间（Uspensky 1948，第256页）。

四边形的一种特殊类型是循环四边形，其中圆圈可以被限定让它接触到每一个多边形顶点.另一个特殊类型是切向四边形,其中有一个圆，并内切，使其与每条边相切。四边形既循环又相切的称为双中心的四边形的.

另请参见

反中心,双中心四边形,Bimedian公司,布拉马古塔的公式,布雷奇奈德公式,蝴蝶定理,凯莱·门格尔决定因素,完全四边形,循环四边形,钻石,八点圆定理,同类四边形的,法诺公理,莱昂安妮定理,菱形（Lozenge）,麦芽糖,正中四边形,平行四边形,托勒密定理,理性四边形的,矩形,菱形（Rhombus）,斜四边形,方形,切向四边形,梯形,范奥贝尔定理,瓦里农的定理,维滕鲍尔平行四边形 探索此主题在数学世界教室里

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四边形的

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“四边形。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html

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