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（来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索： a005153-编号：a005133
显示找到的139个结果中的1-10个。 第页12 三 4 5 6 7 8 9 10...14
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A208244型 将n写成实际数字之和的方法数量(A005153号)和一个三角形数字(A000217号). +20
21
1, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 4, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 2, 4, 3, 2, 3, 4, 2, 4, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 2, 4, 6, 2, 2, 4, 4, 1, 5, 4, 2, 4, 4, 3, 4, 4, 2, 4, 3, 2, 5, 3, 2, 4, 4, 2, 5, 4, 2, 6, 4, 3, 5, 3, 1, 6, 3, 3, 5, 5, 3, 5, 3, 3, 5, 4 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
猜想：对于所有n>0，a（n）>0。
作者已经验证了n到10^8的这一点，并猜测了以下改进：如果n>6不在20、104、272、464、1664之间，那么n可以写成p+q，其中p是一个偶数，q是一个正三角形数。
链接
孙志伟，n=1..50000时的n，a（n）表
朱塞佩·梅尔菲，关于实数的两个猜想，J.数论56（1996）205-210[MR96i:11106型].
Sai Teja Somu和Duc Van Khanh Tran，关于实数和多边形数的和，arXiv:2403.13533[math.NT]，2024。
孙志伟，素数和三角数之和，J.Comb。数论1（2009），65-76。
孙志伟，涉及素数和二次型的猜想，arxiv:1211.1588[math.NT]，2012-2017年。
例子
a（15）＝1，因为15＝12+3，其中12是实际数，3是三角数。
数学
f[n_]：=f[n]=系数整数[n]
Pow[n_，i_]：=Pow[n，i]=部件[部件[f[n]，i]，1]^
Con[n_]：=Con[n]=总和[If[Part[Part[f[n]，s+1]，1]<=DivisorSigma[1，Product[Pow[n，i]，{i，1，s}]]+1，0，1]，{s，1，Length[f[n]]-1}]
pr[n]：=pr[n]=n>0&&（n<3||Mod[n，2]+Con[n]==0）
a[n_]：=a[n]=和[If[pr[n-k（k+1）/2]==真，1，0]，{k，0，（Sqrt[8n+1]-1）/2}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，100}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000040型,A005153号,A208243型,A132399型,A187785号.
关键词
非n,看
作者
孙志伟2013年1月11日
状态
已批准
A208243型 写2n-1=p+q的方法的数量，其中p是素数，q和q+2都是实数(A005153号). +20
20
0, 0, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 3, 3, 5, 6, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 4, 3, 4, 2, 5, 7, 4, 4, 5, 4, 5, 7, 4, 5, 8, 2, 5, 7, 5, 5, 6, 6, 4, 7, 4, 5, 9, 3, 5, 9, 4, 6, 6, 5, 5, 7, 3, 3, 7, 3, 6, 8, 5, 4, 8, 4, 5, 8, 4, 4, 5, 3, 5, 8, 6, 3, 6, 4, 5, 12, 5, 5, 5, 3, 6, 8, 5, 4, 8, 4, 4, 8, 4, 6, 9, 5 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,4
评论
猜想：对于所有n=3,4，…，a（n）>0，。。。
作者已验证n到2*10^8。众所周知，有无穷多的实数q，其中q+2也是实用的。
孙志伟也做出了以下类似的推测：
（1） 每个奇数n>5都可以写成p+q，p和p+6都是素数和q的实数。此外，任何不等于55的奇数n>3都可以写成p+q，p和p+2都是素数和q。
（2） 每个整数n>10都可以写成x+y（x，y>0），其中6x-1和6x+1都是质数，y和y+6都是实数。
此外，任何整数n>=6360都可以写成x+y（x，y>0），其中6x-1和6x+1都是质数，y和y+2都是实际数。
链接
孙志伟，n=1..10000时的n，a（n）表
G.梅尔菲，关于实用数的两个猜想，J.数论56（1996）205-210[MR96i:11106型].
孙志伟，涉及素数和二次型的猜想，arxiv:1211.1588[math.NT]，2012-2017年。
例子
a（14）=2，因为2*14-1=27=11+16=23+4，其中11和23是素数，16,16+2,4,4+2是实数。
数学
f[n_]：=f[n]=系数整数[n]
Pow[n_，i_]：=Pow[n，i]=部件[部件[f[n]，i]，1]^
Con[n_]：=Con[n]=总和[If[Part[Part[f[n]，s+1]，1]<=DivisorSigma[1，Product[Pow[n，i]，{i，1，s}]]+1，0，1]，{s，1，Length[f[n]]-1}]
pr[n]：=pr[n]=n>0&&（n<3||Mod[n，2]+Con[n]==0）
a[n_]：=a[n]=总和[如果[pr[2k]==True&&pr[2k+2]==True&&PrimeQ[2n-1-2k]==真，1，0]，{k，1，n-1}]
Do[打印[n，“”，a[n]]，｛n，1100｝]
交叉参考
囊性纤维变性。A000040型,A005153号,A199920型.
关键词
非n
作者
孙志伟2013年1月11日
状态
已批准
A225223型 形式为p-1的素数，其中p是一个实数(A005153号). +20
4
3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 53, 59, 71, 79, 83, 89, 103, 107, 127, 131, 139, 149, 167, 179, 191, 197, 199, 223, 227, 233, 239, 251, 263, 269, 271, 293, 307, 311, 347, 359, 367, 379, 383, 389, 419, 431, 439, 449, 461, 463, 467, 479, 499, 503, 509 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1，1
链接
查尔斯·格里塔斯四世，n=1..10000时的n，a（n）表
例子
a（5）=17，因为18是一个实际数字，18-1=17，它是第五个这样的素数。
数学
实用Q[n]：=模块[｛f，p，e，prod=1，ok=True｝，如果[n<1||（n>1&&OddQ[n]），False，如果[n==1，True，f=因子整数[n]；{p，e}=转座[f]；Do[If[p[i]]>1+Divisor Sigma[1，prod]，ok=False；中断[]]；prod=prod*p[[i]]^e[[i]，{i，长度[p]}]；确定]]]；
选择[表[Prime[n]+1，{n，1200}]，PracticalQ]-1（*使用T.D.Noe的程序A005153号*)
黄体脂酮素
（PARI）实用（n）={
如果（n%2，返回（n==1））；
my（f=系数（n），P=1）；
对于（i=1，#f[，1]-1，
P*=西格玛（f[i，1]^f[i、2]）；
如果（f[i+1，1]>P+1，返回（0））
);
n> 0个
}；
选择（p->isPractical（p+1），素数（300））\\查尔斯·R·Greathouse IV2013年5月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A005153号,A085498号.
关键词
非n
作者
弗兰克·M·杰克逊2013年5月2日
状态
已批准
A322860型 实数的特征函数，A005153号：如果n在A005153号，则a（n）=1，否则a（n）=0。 +20
4
1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1
评论
实数的特征函数，A005153号.
链接
安蒂·卡图恩，n=1..65537时的n，a（n）表
特征函数的索引项
配方奶粉
a（n）=[A030057型（n） >n]，其中[]是艾弗森支架。
黄体脂酮素
（PARI）A322860型=是_A005153号\\请不要通过将副本从一个位置粘贴到其他位置来复制代码，如果需要更正或改进某些内容，几乎不可能跟踪所有副本-M.F.哈斯勒2023年6月19日
交叉参考
囊性纤维变性。A005153号,A030057型,A225559型（部分总和）。
关键词
非n
作者
安蒂·卡图恩，2018年12月31日
状态
已批准
A225559型 实数的数量<=n，其中实数为A005153号. +20
三
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
a（n）类似于A000720号.
链接
罗伯特·伊斯雷尔，n=1..10000时的n，a（n）表
Eric W.Weisstein，数学世界：实数
维基百科，实际数字
例子
a（13）=6，因为有6个实数<=13，即1、2、4、6、8和12。
MAPLE公司
isprac:=proc（n）局部L，i，P；
五十： =排序（ifactors（n）[2]，（a，b）->a[1]<b[1]）；
如果L[1][1]<>2，则返回假fi；
P： =2^（L[1][2]+1）-1；
对于i从2到nops（L）do
如果L[i][1]>P+1，则返回假fi；
P： =P*（L[i][1]^（L[i][2]+1）-1）/（L[ic][1]-1）；
od；
真的
结束进程：
isprac（1）：=真：
N： =100:#以获得（1）。。a（否）
P： =选择（isprac，[1，seq（i，i=2..N，2）]）：
五： =矢量（N）：
对于从2到nops（P）的n，V[P[n-1]。。P[n]-1]：=n-1日：
伏[P[-1]。。N] ：=N：
转换（V，列表）#罗伯特·伊斯雷尔2019年5月29日
数学
PracticalQ[n_]：=模块[{f，p，e，prod=1，ok=True}，如果[n<1||（n>1&&OddQ[n]），False，如果[n==1，True，f=FactorInteger[n]；{p，e}=转座[f]；Do[If[p[i]]>1+Divisor Sigma[1，prod]，ok=False；中断[]]；prod=prod*p[[i]]^e[[i]，{i，长度[p]}]；确定]]]；t={}；n3=1；n4=0；当[n3<100时，（如果[PracticalQ[n3]，n4++]；附加到[t，n4]；n3++）]；t（*使用T.D.诺伊的程序A005153号*)
交叉参考
囊性纤维变性。A000720号,A005153号.
关键词
非n
作者
弗兰克·M·杰克逊2013年5月10日
状态
已批准
A273773型 素数p使得没有实际数字(A005153号)存在于p及其继承者之间。 +20
三
43, 67, 101, 137, 163, 181, 229, 241, 281, 313, 353, 421, 433, 487, 563, 601, 617, 641, 653, 673, 769, 821, 823, 853, 883, 907, 937, 941, 1009, 1061, 1093, 1277, 1303, 1361, 1423, 1429, 1433, 1447, 1489, 1549, 1571, 1579, 1601, 1607, 1609, 1613, 1657, 1667, 1697, 1741, 1747 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1，1
评论
根据Margenstern和Weingartner的证明（见链接），实数的密度大于素数的密度。Margenstern计算出，在区间1到10^12内，实际数的密度大约是素数密度的1.2767倍（1.3411/1.059）。这个序列表明，连续素数之间不存在实际数的位置集具有一定的正则性，并且似乎是无限的。
链接
Frank M Jackson，n=1..100000时的n，a（n）表
莫里斯·马根斯坦，白兰地：理论、观察与推测，《数论杂志》37（1）：1-361991。
A.Weingartner，实数与除数分布《数学季刊》66（2）：743-7582015。
维基百科，实际数字
例子
a（6）=181，下一个素数是191。在整数区间[181191]中没有实际数字。这是第六次发生这种情况。
数学
实用Q[n]：=模块[｛f，p，e，prod=1，ok=True｝，如果[n<1||（n>1&&OddQ[n]），False，如果[n==1，True，f=因子整数[n]；{p，e}=转座[f]；Do[If[p[i]]>1+Divisor Sigma[1，prod]，ok=False；中断[]]；prod=prod*p[[i]]^e[[i]，{i，长度[p]}]；确定]]]；count[n_Integer]：=模块[{t=0，m}，Do[If[PracticalQ[m]，t++]，{m，素数[n]，素数[1]-1}]；t] ；lst={}；Do[If[count[n]==0，AppendTo[lst，Prime[n]]]，{n，1，1000}]；第一次
交叉参考
囊性纤维变性。A005153号.
关键词
非n
作者
弗兰克·M·杰克逊2016年5月29日
状态
已批准
A279048型 当n是实际数时，a（n）=0(A005153号)否则，当乘以n时，2的最小幂变得可行。 +20
三
0, 0, 1, 0, 2, 0, 2, 0, 1, 1, 3, 0, 3, 1, 1, 0, 4, 0, 4, 0, 1, 2, 4, 0, 2, 2, 1, 0, 4, 0, 4, 0, 1, 3, 2, 0, 5, 3, 1, 0, 5, 0, 5, 1, 1, 3, 5, 0, 2, 1, 2, 1, 5, 0, 2, 0, 2, 3, 5, 0, 5, 3, 1, 0, 2, 0, 6, 2, 2, 1, 6, 0, 6, 4, 1, 2, 2, 0, 6, 0, 1, 4, 6, 0, 2, 4, 2, 0, 6, 0, 2, 2, 3, 4, 2, 0, 6, 1, 1, 0 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
评论
一个猜想孙志伟说明任何有理数都可以表示为分母为实数的不同单位分数之和。为了证明这个猜想，大卫·艾普斯坦（见链接）使用了这样一个事实，即每个自然数反复乘以2最终都会变得实用。
链接
文森佐·利班迪，n=1..5000时的n，a（n）表
David Eppstein，具有实际分母的埃及分数2016年11月20日
孙志伟，关于含有素数的单位分数的一个猜想，预印本，2015年。
例子
a（11）=3，因为11*2^3=88是一个实际数字，3是2的最小幂，当乘以11时，它变得实际。
数学
practicalQ[n_]：=模块[{f，p，e，prod=1，ok=True}，如果[n<1||（n>1&&OddQ[n]），False，如果[n==1，True，f=FactorInteger[n]；｛p，e｝=转座酶[f]；Do[If[p[i]]>1+Divisor Sigma[1，prod]，ok=False；中断[]]；prod=prod*p[[i]]^e[[i]，{i，长度[p]}]；确定]]]；表[（m=n；k=0；而[！practicalQ[m]，m=2*m；k++]；k），{n，100}]
交叉参考
囊性纤维变性。A005153号.
关键词
非n
作者
弗兰克·M·杰克逊2016年12月4日
状态
已批准
A327832型 n的实际分量：n的最大除数，它是一个实际数(A005153号). +20
三
1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, 1, 2, 1, 12, 1, 2, 1, 16, 1, 18, 1, 20, 1, 2, 1, 24, 1, 2, 1, 28, 1, 30, 1, 32, 1, 2, 1, 36, 1, 2, 1, 40, 1, 42, 1, 4, 1, 2, 1, 48, 1, 2, 1, 4, 1, 54, 1, 56, 1, 2, 1, 60, 1, 2, 1, 64, 1, 66, 1, 4, 1, 2, 1, 72, 1, 2, 1, 4, 1, 78, 1, 80, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
发件人安德烈亚斯·温加特纳，2021年6月30日：（开始）
设r_m是a（n）=m的整数n的自然密度，则r_m为正当且仅当m为实际值时。在这种情况下，r_m=（1/m）*P_m，其中P_m是素数P<=σ（m）+1的（1-1/P）乘积（参见Weingartner 2015年的Cor.1）。（m，rm）的前几个值是（1，1/2）、（2，1/6）、（4，2/35）、（6，32/1001）、（8，24/1001），（12，36864/2800733）。。。
随着y的增长，满足a（n）>y的整数n的自然密度渐近于c*exp（-gamma）/log（y），其中c=1.33607…是实际数字计数渐近中的常数因子(A005153号)γ=0.577215…是欧拉常数（见Weingartner（2015）的等式（3））。例如，大约1%的整数n满足a（n）>exp（75），因为c*exp（-gamma）/75=0.010…（End）
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
保罗·波拉克和洛拉·汤普森，实用的伪装者《Mathematicae Debrecen出版物》，第82卷，第3-4期（2013年），第651-717页，arXiv预印本，arXiv:1201.3168[数学.NT]，2012年。
安德烈亚斯·温加特纳，具有较大实际分量的整数《Mathematicae Debrecen出版物》，第87卷，第3-4期（2015年），第439-447页，arXiv预印本，arXiv:1411.6974v2[math.NT]，2014-2015年。
配方奶粉
如果n=Product_{i=1..r}p_i^e_i，则定义n_0=1，n_j=Product_{i=1..j}p_i^e_i.a（n）=n_j，其中j是p_{j+1}>sigma（n_j）+1的第一个索引，如果不存在这样的索引，则定义j=r。
当且仅当A（n）=n时，数字n才是实际的。
a（n）=1当且仅当n为奇数。
A000203号（a（n））=A225561型（n） ●●●●。
例子
a（22）＝2，因为22的除数是{1，2，11，22}，其中{1，2}是实用的，2是最大的。
数学
f[p，e]：=（p^（e+1）-1）/（p-1）；a[n_]：=如果[（ind=Position[（fct=FactorInteger[n]）[[；；，1]]/（1+FoldList[Times，1，f@@@最多@fct]), _?（#>1&）]）=={}，n，次数@@（功率@@@fct[[1；；ind[[1，1]-1]]）]；数组[a，100]
黄体脂酮素
（PARI）\\使用是_A005153号
a（n）=fordiv（n，d，如果（是_A005153号（n/d），返回（n/ds））\\米歇尔·马库斯2021年7月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A005153号,A225561型,A225574型.
关键词
非n
作者
阿米拉姆·埃尔达尔2019年9月27日
状态
已批准
A174434号 中的数字A093891号，但不是A005153号. +20
2
10、70、350、490、572、770、836、910、1190、1330、1430、1610、1750、1870、2030、2090、2170、2210、2470、2530、2584、2590、2750、2870、2990、3010、3128、3190、3230、3250、3290、3410、3430、3710、3850、3944、4130、4216、4270、4550、4690、5032、5390、5576 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1，1
评论
如果n的不同除数之和构成所有素数到sigma（n），但不构成所有整数到sigma-（n）时，则数字n在这个序列中。
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..2000时的n，a（n）表
数学
测试[n_]：=模[{d=除数[n]，t，lim，x}，t=系数表[1+x^i，{i，d}]，x]；lim=PrimePi[长度[t]-1]；计数[t[[1+素数[Range[lim]]]，_？（#>0&）]==lim&&Count[t，0]>0]；选择[范围[1000]，测试]
交叉参考
囊性纤维变性。A005153号,A093891号.
关键词
非n
作者
T.D.诺伊2010年3月19日
状态
已批准
A268156型 实数序列中相邻无平方对的最小无平方项(A005153号). +20
2
1, 3486, 41106, 50358, 77142, 102090, 104610, 118734, 119910, 142662, 155298, 159654, 173910, 192210, 193290, 203010, 205062, 212898, 220818, 228018, 232518, 238170, 239946, 241878, 254478, 265278, 266178, 272118, 273378, 303630, 306210, 311178, 323778, 326370, 331890, 335478, 335946, 336102 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
评论
相邻的无平方实数对的第一次出现是1，2。
相邻的无平方实际数三元组的第一次出现是792834792858792870。
链接
阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表
维基百科，实际数字
维基百科，无平方整数
例子
a（2）=3486=2*3*7*83并且是平方自由的。下一个实际数字是3498＝2*3*11*53，也是平方数。这是第二次这样的配对。
数学
PracticalQ[n_]：=模块[{f，p，e，prod=1，ok=True}，如果[n<1||（n>1&&OddQ[n]），False，如果[n==1，True，f=FactorInteger[n]；{p，e}=转座[f]；Do[If[p[i]]>1+Divisor Sigma[1，prod]，ok=False；中断[]]；prod=prod*p[[i]]^e[[i]，{i，长度[p]}]；确定]]]；lst=选择[Range[1000000]，PracticalQ]；lst1={}；执行[If[SquareFreeQ[lst[[n]]]和&SquarefreQ[rst[[n+1]]]，附加到[lst1，lst[n]]，{n，1，长度[lst]-1}]；lst1级
交叉参考
囊性纤维变性。A005117号,A005153号,A265501型.
关键词
非n
作者
弗兰克·杰克逊2016年1月27日
状态
已批准
第页12 三 4 5 6 7 8 9 10...14

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