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A047969号

连接数a（n，k）=（n+1）^（k+1）-n^（k+1）（n>=0，k>=0）的平方数组由向上反对偶读取。

+0
44

1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 7, 1, 1, 7, 19, 15, 1, 1, 9, 37, 65, 31, 1, 1, 11, 61, 175, 211, 63, 1, 1, 13, 91, 369, 781, 665, 127, 1, 1, 15, 127, 671, 2101, 3367, 2059, 255, 1, 1, 17, 169, 1105, 4651, 11529, 14197, 6305, 511, 1, 1, 19, 217, 1695, 9031

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,5

如果每一行以初始0开头（即a（n，k）=（n+1）^k-n^k），那么每一行都是前一行的二项式变换-亨利·博托姆利2001年5月31日

a（n-1，k-1）是正整数的有序k元组的数目，使得这些整数中最大的是n-阿尔福德·阿诺德2005年9月7日

发件人阿尔福德·阿诺德2006年7月21日：（开始）

中的序列A047969号也可以使用欧拉阵列进行计算(A008292号)和帕斯卡三角(A007318号)如下所示：（参见。A101095标准).

1 1 1 1 1 1

-----------------------------------------

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 3 5 7 9 11

-----------------------------------------

1 3 6 10 15 21

4 12 24 40 60

1 3 6 10

1 7 19 37 61 91

-----------------------------------------

1 4 10 20 35 56

11 44 110 220 385

11 44 110 220

1 4 10

1 15 65 175 369 671

-----------------------------------------（完）

发件人彼得·巴拉2008年10月26日：（开始）

上述备注阿尔福德·阿诺德可以这样概括：这个数组的转置是欧拉数三角形的希尔伯特变换A008292号（请参见A145905号希尔伯特变换的定义）。在这种情况下，A008292号最好将其视为A型全自面体的h矢量阵列。参见A108553号用于D型置换面体h向量数组的希尔伯特变换。将此数组与A009998号.

多项式n^k-（n-1）^k，k=1,2,3，。。。，它给出了该数组列中的非零项，满足黎曼假设：它们的零点位于复平面中的垂直线Re s=1/2。请参见A019538年关于A型置换面体对偶的单纯形复形的多项式n^k-（n-1）^k和Stirling多项式之间的联系。

（结束）

经验：（n+1）^（k+1）-n^（k+1）是长度为k+1的数字数组在0..n，k>0中的第一个差异数-R.H.哈丁2013年6月30日

a（n-1，k-1）是宽度k和高度n的条形图的数量。例如：a（1,2）=7，因为我们有[1,1,2]、[1,2,1]、[2,1,1]、[1,2,2]，[2,1,2]、[2,2,1]和[2,2,2]；a（2,1）=5，因为我们有[1,3]、[2,3]，[3,1]、[3,2]和[3,3]（条形图是以组成形式给出的）。这一评论相当于A.Arnold 2005年9月的评论-Emeric Deutsch公司2017年1月30日

参考文献

J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第54页。

链接

T.D.Noe，三角形的行数n=0..100，展平

A.Blecher、C.Brennan、A.Knopfmacher和H.Prodinger，条形图的高度和宽度《离散应用数学》。180, (2015), 36-44.

埃里克·魏斯坦的数学世界，Nexus编号

配方奶粉

发件人弗拉基米尔·克鲁奇宁：（开始）

阵列行的例如f的O.g.f.：（（1-x）*exp（y））/（1-x*exp（y））^2。

T（n，m）=和{k=0..m}k*（-1）^（m+k）*斯特林2（m，k）*C（n+k-1，n），T（n，0）=1。（完）

发件人Wolfdieter Lang公司，2021年5月7日：（开始）

T（n，m）=a（n-m，m）=（n-m+1）^（m+1）-（n-m）^，。。。，。

数组的O.g.f.列k：polylog（-（k+1），x）*（1-x）/x）。请参阅彼得·巴拉上面的注释和欧拉三角A008292号公式依据弗拉德塔·乔沃维奇2002年9月2日。

数组行的示例f.:exp（y）*（1+x*（exp（y）-1））*exp（x*exp。

三角形指数行多项式R（n，y）=Sum_{m=0}T（n，m）*（y^m）/m！的O.g.fG（x，y）=经验（x*y）*（1-x）/（1-x*exp（x*y））^2。

（结束）

例子

数组a开始：

[答：][0 1 2 3 4 5 6。。。

[0] 1 1 1 1 1 1 1 ...

[1] 1 3 7 15 31 63 ...

[2] 1 5 19 65 211 ...

[3] 1 7 37 175 ...

...

三角形T开始于：

n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。

0: 1

1: 1 1

2: 1 3 1

3: 1 5 7 1

4: 1 7 19 15 1

5: 1 9 37 65 31 1

6: 1 11 61 175 211 63 1

7: 1 13 91 369 781 665 127 1

8: 1 15 127 671 2101 3367 2059 255 1

9: 1 17 169 1105 4651 11529 14197 6305 511 1

10: 1 19 217 1695 9031 31031 61741 58975 19171 1023 1

... -Wolfdieter Lang公司2021年5月7日

数学

扁平[表[n=d-e；k=e；（n+1）^（k+1）-n^（k+1），{d，0，100}，{e，0，d}]](*T.D.诺伊2012年2月22日*）

黄体脂酮素

（最大值）

T（n，m）：=如果m=0，则1其他和（k！*（-1）^（m+k）*stirling2（m，k）*二项式（n+k-1，n），k，0，m）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁，2018年1月28日*/

交叉参考

囊性纤维变性。A047970美元.

囊性纤维变性。A009998号,A108553号（D型置换面体h向量数组的希尔伯特变换），A145904号,A145905号.

数组a的第n行序列：A000012号,A000225号（k+1），A001047号（k+1），A005061号（k+1），A005060号（k+1），A005062号（k+1），A016169号（k+1），A016177号（k+1），A016185号（k+1），A016189年（k+1），A016195号（k+1），A016197号（k+1）。

数组a的k列序列：（连接数）：A000012号,A005408号,A003215号,A005917号（n+1）中，A022521号,A022522号,A022523号,A022524号,A022525号,A022526号,A022527号,A022528号.

囊性纤维变性。A343237型（行倒三角形）。

关键词

非n,表,美好的,容易的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的

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