搜索： a288964-id:a288964
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0, 1, 3, 17, 53, 62, 163, 717, 3489, 3727, 43391, 45596, 619313, 644063, 667229, 2756003, 24124223, 24784883, 160941559, 164719333, 33664415, 11451017, 268428987, 819836496, 20845424563, 21181779967, 193553388003, 196368607553, 5773568883787, 5849866645327
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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按随机顺序对n个项目进行快速排序的平均时间的分子。
根据文献中使用的假设，通过快速排序对n个项目进行随机排序的平均数显示为-C*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n），其中C=2、3或4。例如，请参见，A115107号和A288964型上述公式也可能有其他变化。
假设X_n是对对称群S_n中的数字列表进行排序所需的随机比较数，而R_n是枢轴的秩。根据Havil（2003，第128-130页），我们得到X_n=n+X{R_n-1}+X{n-R_n}，因为选择枢轴需要1个比较时间单位，而n-1个比较需要将数据划分为两个数字列表（小于枢轴，大于枢轴）。无论我们如何选取轴心，我们都必须假设R_n与（X_1，…，X_n）联合独立。我们让X_0=0。
用E（.）表示期望，用E（.|。这简化为E（X_n）=n+（2/n）*Sum_{r=0..n-1}E（X_r）。与Havil（2003）一样，通过求解递归，我们得到E（X_n）=fr（n）=-3*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。这里a（n）=分子（E（X_n））和A096620型（n） =分母（E（X_n））。
注意E（X_n）*n！=（-3*n+2*（1+n）*谐波数（n））*n=A063090型（n） ，根据该序列的文档，A063090型（n） /（n*n！）是“在随机插入n个节点的二进制搜索树中查找节点所需的平均比较次数”。见Knuth（1998年，第3卷，第430-431页，练习6，第454-455页）。
其他作者（例如，Cameron（1996））不将枢轴的选择视为比较时间。在这种情况下，如果我们让Y_n是快速排序用来对长度为n的随机列表进行排序的修改的比较数，我们得到修改的递归Y_n=n-1+Y_{R_n-1}+Y_}n-R_n}，从中我们得到E（Y_n）=n-1+（2/n）*Sum_{R=0..n-1}E（Y_R）。求解这个修正的递推，我们得到E（Y_n）=-4*n++2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。在这种情况下，A115107号（n） =分子（E（Y_n））=分子（-4*n+2*（1+n）*谐波数（n））和A288964型（n） =n！*E（Y_n）=n！*（-4*n+2*（1+n）*谐波数（n））。
（结束）
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参考文献
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Peter J.Cameron，《组合数学：主题、技术和算法》，剑桥大学出版社，1996年；见第66-68页。
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》。纽约：Springer-Verlag，1996年，第143和258-259页。
朱利安·哈维尔，《伽玛：探索欧拉常数》，普林斯顿大学出版社，2003年；见第128-130页。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第3卷，1998年；见第427-431页和第454-455页。
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链接
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S.B.Ekhad和D.Zeilberger，快速分拣运行时间的详细分析，arXiv:1903.03708[math.PR]，2019年。[它们具有n-1而不是n的递归性，从中可以得到平均比较次数的-4*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。]
埃里克·魏斯坦的数学世界，快速排序[他使用哈维尔的重现法。]
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配方奶粉
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分数fr（n）的G.f:-（x+2*log（1-x））/（1-x”^2-弗拉德塔·乔沃维奇2004年7月5日
a（n）=1+（1/n！）*Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling1（n，k）*（k-1）*2^k-弗拉德塔·乔沃维奇，2004年7月5日
a（n）=分子（-n+2*H^{2}（n）），其中H^{2%n（n）=Sum_{k=1..n}调和数（k）是二阶调和数-亚历山大·阿达姆楚克2004年11月1日
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例子
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MAPLE公司
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a:=n->数字（2*（n+1）*（Psi（n+1，+γ）-3*n）；
seq（a（n），n=0..26）#彼得·卢什尼2019年8月26日
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数学
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分子[表[2*Sum[Sum[1/i，{i，1，k}]，{k，1，n}]-n，{n，0，20}]]（*或*）
分子[表[2*（n+1）*谐波数[n]-3*n，{n，0，50}]](*G.C.格鲁贝尔2018年9月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{h（n）=和（k=1，n，1/k）}；
对于（n=0，50，打印1（分子（2*（n+1）*h（n）-3*n），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2018年9月1日
（岩浆）[分子（2*（n+1）*谐波数（n）-3*n）：[0.50]]中的n//G.C.格鲁贝尔2018年9月1日
（Python）
从分数导入分数
从itertools导入计数，islice
def agen（）：#术语生成器
Hn=分数（0，1）
对于计数（0）中的n：
屈服（-3*n+2*（1+n）*Hn）分子
Hn+=分数（1，n+1）
打印（列表（islice（agen（），27））#迈克尔·布拉尼基2022年4月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 3, 6, 5, 10, 35, 140, 126, 1260, 1155, 13860, 12870, 12012, 45045, 360360, 340340, 2042040, 1939938, 369512, 117572, 2586584, 7436429, 178474296, 171609900, 1487285800, 1434168450, 40156716600, 38818159380, 1164544781400, 4512611027925, 2187932619600
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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此外，初始项为0（实际上这是A093419号)，q_n=-4*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n）（Cameron）的分母。囊性纤维变性。A115107号.
按随机顺序快速排序n个项目的平均时间。
根据文献中使用的假设，通过快速排序对n个项目进行随机排序的平均数显示为-C*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n），其中C=2、3或4。例如，请参见，A115107号和A288964型上述公式也可能有其他变化。
假设X_n是对对称群S_n中的数字列表进行排序所需的随机比较数，而R_n是枢轴的秩。根据Havil（2003，第128-130页），我们得到X_n=n+X{R_n-1}+X{n-R_n}，因为选择枢轴需要1个比较时间单位，而n-1个比较需要将数据划分为两个数字列表（小于枢轴，大于枢轴）。无论我们如何选取轴心，我们都必须假设R_n与（X_1，…，X_n）联合独立。我们让X_0=0。
用E（.）表示期望，用E（.|。这简化为E（X_n）=n+（2/n）*Sum_{r=0..n-1}E（X_r）。正如在Havil（2003）中一样，求解递归，我们得到E（X_n）=fr_1（n）=-3*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。在这里A093418号（n） =分子（E（X_n））=分子（fr_1（n）），a（n）=分母。
注意E（X_n）*n！=（-3*n+2*（1+n）*谐波数（n））*n=A063090型（n） ，根据该序列的文档，A063090型（n） /（n*n！）是“在随机插入n个节点的二进制搜索树中查找节点所需的平均比较次数”。见Knuth（1998年，第3卷，第430-431页，练习6，第454-455页）。
其他作者（例如，Cameron（1996））不将枢轴的选择视为比较时间。在这种情况下，如果我们让Y_n是快速排序用来对长度为n的随机列表进行排序的修改的比较数，我们得到修改的递归Y_n=n-1+Y_{R_n-1}+Y_}n-R_n}，从中我们得到E（Y_n）=n-1+（2/n）*Sum_{R=0..n-1}E（Y_R）。求解这个修正的递推，我们得到E（Y_n）=fr_2（n）=-4*n++2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。在这种情况下，A115107号（n） =分子（E（Y_n））=分子（-4*n+2*（1+n）*谐波数（n））和A288964型（n） =n！*E（Y_n）=n！*（-4*n+2*（1+n）*谐波数（n））。此外，a（n）=分母（E（Y_n））=分分母（fr_2（n））。
（结束）
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参考文献
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Peter J.Cameron，《组合数学：主题、技术和算法》，剑桥大学出版社，1996年；见第66-68页。
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》。纽约：Springer-Verlag，1996年，第143和258-259页。
朱利安·哈维尔，《伽玛：探索欧拉常数》，普林斯顿大学出版社，2003年；见第128-130页。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第3卷，1998年；见第427-431页和第454-455页。
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链接
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S.B.Ekhad和D.Zeilberger，快速分拣运行时间的详细分析，arXiv:1903.03708[math.PR]，2019年。[它们具有n-1而不是n的递归性，从中可以得到平均比较次数的-4*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。]
M.Kauers和P.Paule，混凝土四面体施普林格，2011年；见第4页。[他们同意卡梅隆的反复出现，即在15107年1月和该序列中的分母。]
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配方奶粉
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a（n）=分母（2*（n+1）*谐波数（n+1）-1）-加里·德特利夫斯2011年9月14日
a（n）=分母（（H（n+1）+H（n））/（H（n+1）-H（n）-加里·德特利夫斯2011年10月3日
对于fr_1（n）=E（X_n）：-（X+2*log（1-X））/（1-X弗拉德塔·乔沃维奇2004年7月5日）。
对于fr_2（n）=E（Y_n）的G.f:-2*（x+log（1-x））/（1-x”^2（Cameron（1996），第68页）。（结束）
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例子
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fr_1（n）=0，1，3，17/3，53/6，62/5，163/10，717/35，3489/140，…=-3*n+2*（1+n）*谐波数（n）=A093418号（n） /a（n）=A288964型（n） /n！+n（Havil的复发，这与Knuth的复发有关——见上面的评论）。
fr_2（n）=0，0，1，8/3，29/6，37/5，103/10，472/35，2369/140，…=-4*n+2*（1+n）*谐波数（n）=A115107号（n） /a（n）=A288964型/不！（卡梅隆的复发，与考尔斯和保尔的复发一样——见上文评论）。
fr_1（n）和fr_2（n）都等于按随机顺序快速排序n个项目的平均时间，但假设略有不同。
（结束）
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数学
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分母[表[2*（n+1）*谐波数[n+1]-1，{n，0，50}]](*G.C.格鲁贝尔2018年9月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{h（n）=和（k=1，n，1/k）}；
对于（n=0，50，打印1（分母（2*（n+1）*h（n+1）-1），“，”）\\G.C.格鲁贝尔，2018年9月1日
（岩浆）[分母（2*（n+1）*谐波数（n+1//G.C.格鲁贝尔2018年9月1日
（Python）
从分数导入分数
从itertools导入计数，islice
def agen（）：#术语生成器
Hn=分数（0，1）
对于计数（0）中的n：
产量（-3*n+2*（1+n）*Hn）分母
Hn+=分数（1，n+1）
打印（列表（islice（agen（），30））#迈克尔·布拉尼基2022年4月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A063090型
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| a（n）/（n*n！）是在随机插入n个节点的二进制搜索树中查找节点所需的平均比较次数。 |
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+10
15
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1, 6, 34, 212, 1488, 11736, 103248, 1004832, 10733760, 124966080, 1575797760, 21403457280, 311623441920, 4842481190400, 80007869491200, 1400671686758400, 25902542427955200, 504597366114508800, 10328835149402112000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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a（n）是当插入顺序为p（1），p（2），…时，查找树中形成的所有条目所需的比较次数的所有排列p的和。。。p（n）。为了推导出给定的公式，首先根据k=p（1）的值对树进行分组。对于给定的k，p确定了{1，…，k-1}的置换，它给出了左子树的结构。通过对称性，右子树的贡献将与左子树相同。现在计算并简化。
a（n）modn是n-2还是0取决于n是否为素数-加里·德特利夫斯2012年5月28日
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参考文献
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D.E.Knuth，《计算机程序设计的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第3卷，第427页，C（n）。
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链接
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配方奶粉
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a（1）=1，a（n）=n*n！+2*Sum_{k=1}^{n-1}（n-1）/k！*a（k）。
a（n）=（2*n-1）*（n-1）！+（n+1）*a（n-1）。
例如：-（x+2*log（1-x））/（1-x”^2-弗拉德塔·乔沃维奇，2003年9月15日
a（n）=2*（n+1）*abs（斯特林1（n+1，2））-3*n*n-弗拉德塔·乔沃维奇，2004年7月6日
a（n）=n*（（2*n+2）*h（n）-3*n），其中h（n-加里·德特利夫斯2012年5月28日
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MAPLE公司
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A[1]：=1：
对于从2到30的n，做A[n]：=（2*n-1）*（n-1）+（n+1）*A[n-1]外径：
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）{h（n）=和（k=1，n，1/k）}；
对于（n=1,30，打印1（n！*（2*（n+1）*h（n）-3*n），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2018年9月1日
（岩浆）[因子（n）*（（2*n+2）*谐波数（n）-3*n）：[1..30]]中的n//G.C.格鲁贝尔2018年9月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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插入的名称中的公式中缺少方括号罗布·阿森2014年9月21日
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状态
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经核准的
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A115107号
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| q_n=-4*n+2*（1+n）*谐波数（n）的分子。 |
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+10
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0, 0, 1, 8, 29, 37, 103, 472, 2369, 2593, 30791, 32891, 452993, 476753, 499061, 2080328, 18358463, 18999103, 124184839, 127860511, 26274175, 8982005, 211524139, 648798629, 16562041459, 16891532467, 154883957203, 157646059403, 4649180818987, 4724140023307
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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按随机顺序快速排序n个项目的平均时间。
根据文献中使用的假设，通过快速排序对n个项目进行随机排序的平均数显示为-C*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n），其中C=2、3或4。例如，请参见，A093418号和A288964型上述公式也可能有其他变化。
假设X_n是对对称群S_n中的数字列表进行排序所需的随机比较数，而R_n是枢轴的秩。根据Havil（2003，第128-130页），我们得到X_n=n+X{R_n-1}+X{n-R_n}，因为选择枢轴需要1个比较时间单位，而n-1个比较需要将数据划分为两个数字列表（小于枢轴，大于枢轴）。无论我们如何选择枢轴，我们都必须假设X_n和R_n是独立的随机变量。我们让X_0=0。
用E（.）表示期望，用E（.|.0..n-1}E（X_r）。与Havil（2003）一样，通过求解递归，我们得到E（X_n）=-3*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。在这里A093418号（n） =分子（E（X_n））和A096620美元（n） =分母（E（X_n））。
注意E（X_n）*n！=（-3*n+2*（1+n）*谐波数（n））*n=A063090型（n） ，根据该序列的文档，A063090型（n） /（n*n！）是“在随机插入n个节点的二进制搜索树中查找节点所需的平均比较次数”。见Knuth（1998年，第3卷，第430-431页和练习6，第454-455页）。
其他作者（例如，Cameron（1996））不将枢轴的选择视为比较时间。在这种情况下，如果我们让Y_n是快速排序用来对长度为n的随机列表进行排序的修改的比较数，我们得到修改的递归Y_n=n-1+Y_{R_n-1}+Y_}n-R_n}，从中我们得到E（Y_n）=n-1+（2/n）*Sum_{R=0..n-1}E（Y_R）。通过求解这个修正的递归，我们得到E（Y_n）=fr_2（n）=-4*n++2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。在这种情况下，a（n）=分子（E（Y_n））=分子A288964型（n） =n！*E（Y_n）=n！*fr（n）。此外，A096620型（n） =分母（E（Y_n））=分母。
（结束）
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参考文献
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Peter J.Cameron，《组合数学：主题、技术和算法》，剑桥大学出版社，1996年；见第66-68页。
J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》。纽约：Springer-Verlag，1996年，第143和258-259页。
朱利安·哈维尔，《伽玛：探索欧拉常数》，普林斯顿大学出版社，2003年；见第128-130页。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第3卷，1998年；见第427-431页和第454-455页。
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链接
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M.Kauers和P.Paule，混凝土四面体施普林格，2011年；见第4页。[他们同意Cameron的重复性，即在这个序列中产生分子，在A096620美元.]
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例子
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q_n=fr（n）=0，0，1，8/3，29/6，37/5，103/10，472/35，2369/140，2593/126，…=a（n）/A096620型（n）=A288964型（n） /n！。
使用注释中的符号，Y_3=3-1+Y{R_3-1}+Y{3-R_3}=2+Y{R_3-1}+Y{3-R_3}，其中（随机）枢轴R_3在集合{1,2,3}上具有均匀分布（并且它独立于Y_1、Y_2、Y_3）。
由于P（R_3=R）=1/3，R=1,2,3，我们得到Y_3=2+Y_0+Y_2=2+0+1=3 w.P.1/3；Y_3=2+Y_1+Y_1=2 w.p.1/3；Y_3=2+Y_2+Y_0=2+1+0=3 w.p.1/3。因此，fr（3）=E（Y_n）=3*（1/3）+2*（1/3A096620型(3) = 3. （结束）
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数学
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a[n_]：=分子[-4n+2（n+1）谐波数[n]]；数组[a，29](*罗伯特·威尔逊v2006年5月1日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{h（n）=和（k=1，n，1/k）}；
对于（n=1,30，打印1（分子（-4*n+2*（n+1）*h（n）），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2018年9月1日
（岩浆）[分子（-4*n+2*（n+1）*谐波数（n））：[1..30]]中的n//G.C.格鲁贝尔2018年9月1日
（Python）
从交响乐输入谐波
定义A115107号（n） ：返回（（n+1<<1）*谐波（n）-（n<<2））.p#柴华武2024年2月4日
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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188965元
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| 要对所有n！项进行排序的键比较数！n个元素的最佳双象限快速排序排列。 |
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+10
15
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0、0、2、16、114、866、7188、65580、655872、7157376、84775680、1084343040、14906039040、219267751680、3437854963200、57247256424960、1009189972869120、18779054120386560、367876307230064640、7568437652936294400、163164173556503347200、3678547646214424166400
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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链接
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M.Aumüller、M.Dietzfelbinger、C.Heuberger、D.Krenn和H.Prodinger，双枢轴快速排序：关联格路径的最优性、分析和零点，arXiv:1611.00258[math.CO]，2016年。
M.Aumüller、M.Dietzfelbinger、C.Heuberger、D.Krenn和H.Prodinger，双枢轴快速排序：关联格路的最优性、分析和零点，组合概率。计算。28(4) (2019), 485-518.
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配方奶粉
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MAPLE公司
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haralt:=proc（n）local k:add（（-1）^k/k，k=1。。n） ：结束进程：
a:=proc（n）local v，v1，v2：如果n=0或n=1，则v:=0：结束if；如果n=2，则v:=2：结束，如果：如果n=3，则v：=16：结束，前提是：
如果4<=n，则v1:=9/5*n*谐波（n）-1/5*n*haralt（n）-89/25*n+67/40*谐波（n）-3/40*haralt（n）-83/800+1/10*（-1）^n：
如果0=n mod 2，则v2:=-1/320*1/（n-3）-3/320*1/（n-1）：结束，如果：
如果1=n mod 2，则v2:=3/320*1/（n-2）+1/320*1/n：结束，如果：
v:=n*（v1+v2）：结束如果：v:end进程：
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数学
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haralt[n_]：=总和[（-1）^k/k，{k，1，n}]；
a[n_]：=开关[n，0|1，0，2，2，3，16，_，n！）+1/n））]；
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黄体脂酮素
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（PARI）列表a（nn）={my（x='x+O（'x^nn））；concat（[0,0]，Vec（serlaplace（-8*log（1-x）/（5*（1-x*x^2/1600+17*x/1600+3/800））}\\Petros Hadjicostas公司和米歇尔·马库斯，2020年5月4日，例如，摘自Aumüller等人（2016）第29页
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A067699号
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| 在排序算法QuickSort的一个版本中，对大小为n且具有n个相同元素的数组进行的比较数。 |
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+10
14
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0, 4, 8, 14, 18, 24, 30, 38, 42, 48, 54, 62, 68, 76, 84, 94, 98, 104, 110, 118, 124, 132, 140, 150, 156, 164, 172, 182, 190, 200, 210, 222, 226, 232, 238, 246, 252, 260, 268, 278, 284, 292, 300, 310, 318, 328, 338, 350, 356, 364, 372, 382
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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参考文献
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托马斯·科尔曼（Thomas H.Cormen）、查尔斯·雷瑟森（Charles E.Leiserson）和罗纳德·里维斯（Ronald L.Rivest）。算法简介。麦格劳-希尔图书公司，2000年。（介绍此版本的QuickSort。）
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链接
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黄显奎（Xien-Kuei Hwang）、斯万特·简森（Svante Janson）和蔡宗希（Tsung-Hsi Tsai），分治递归二分法的精确解和渐近解：理论和应用《ACM算法交易》13:4（2017），#47。
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配方奶粉
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a（n）=2*天花板（n+1）/2）+a（天花板（n/2））+a（地板（n/2中）），其中a（1）=0，a（2）=4，a（3）=8。
对于n>=1，a（n）=b（n-1），其中b（0）=0，b（2*n。
（结束）
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黄体脂酮素
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（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义b（n）：如果n==0，则返回0，否则b（n//2）+b（（n-1）//2）+n+2+（n&1）
定义a（n）：返回b（n-1）
打印（[a（n）代表范围（1,53）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年8月8日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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Karla J.Oty（oti（AT）uscolo.edu），2002年2月5日
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状态
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经核准的
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A288970型
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| 要对所有n！项进行排序的键比较数！通过最佳试验枢轴快速排序对n个元素进行排列。 |
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+10
13
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0、0、2、16、112、848、7032、64056、639888、6974928、82531296、1054724256、14487894144、212971227264
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这三个枢轴要素从固定指数中选择（例如，最后三个要素）。在选择轴之后，“最优”策略将预期的分区成本最小化。
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链接
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M.Aumüller和M.Dietzfelbinger，多通道快速分拣有多好？《ACM算法交易》（TALG），第13卷第1期，2016年。
M.Aumüller和M.Dietzfelbinger，多通道快速分拣有多好？，arXiv:15100.04676[cs.DS]，2016年。
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A288971型
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| 要对所有n！项进行排序的键比较数！通过最优四轴快速排序对n个元素进行排列。 |
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+10
13
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0, 0, 2, 16, 112, 848, 7008, 63648, 635040, 6915168, 81757440, 1044161280, 14334076800, 210595524480
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这4个枢轴元素是从固定索引中选择的（例如，最后4个元素）。在选择轴之后，“最优”策略将预期的分区成本最小化。
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链接
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M.Aumüller和M.Dietzfelbinger，多数据透视快速排序有多好？《ACM算法交易》（TALG），第13卷第1期，2016年。
M.Aumüller和M.Dietzfelbinger，多通道快速分拣有多好？，arXiv:15100.04676[cs.DS]，2016年。
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交叉参考
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关键词
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非n,更多
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A330852型
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| 出现在第n个累积量k（n）=（-1）^n*2^n*（A（n）-（n-1）公式中的有理数A（n”）的分子*快速排序中比较数的极限分布的zeta（n）），对于n>=2，A（0）=1，A（1）=0。 |
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+10
9
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1, 0, 7, 19, 937, 85981, 21096517, 7527245453, 19281922400989, 7183745930973701, 3616944955616896387, 273304346447259998403709, 76372354431694636659849988531, 25401366514997931592208126670898607, 110490677504100075544188675746430710672527, 37160853195949529205295416197788818165029489819
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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Hennequin在1989年的论文中推测了他的累积量公式，并在1991年的论文中将其证明。
首先，他计算了数字（B（n）：n>=0），其中B（0）=1，B（0
和{r=0..p}箍筋1（p+2，r+1）*B（p-r）/（p-r和{r=0..p}F（r）*F（p-r）=0，其中F（r*2 ^a）。
则A（n）=L_n（B（1），。。。，B（n）），其中L_n（x_1，…，x_n）是Bell的对数多项式。
Hoffman和Kuba（2019年、2020年）给出了Hennequin累积量公式的另一种证明，并给出了常数（-2）^n*A（n）的另一个计算方法，它们用A_n表示。另见Finch（2020年）。
下面的Maple程序基于Tan和Hadjicostas（1993），其中还列出了数字（A（n）：n>=0）。
其余参考文献给出了快速排序中比较数的极限分布理论（因此我们省略了对该主题的任何讨论）。
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参考文献
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Pascal Hennequin，《分析emoyenne d'algorithmes，tri-radie et arbres de recherche》，博士论文，巴黎理工大学（1991），第83页。
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链接
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S.B.Ekhad和D.Zeilberger，快速分拣运行时间的详细分析，arXiv:1903.03708[math.PR]，2019年。[它们具有快速排序中比较数的前八个矩，从中可以导出Hennequin的前八种渐近累积量。]
James A.Fill和Svante Janson，极限Quicksort密度函数的光滑性和衰减性收录于：D.Gardy和A.Mokkadem（编辑），《数学和计算机科学》，《数学趋势》，Birkhäuser出版社，巴塞尔，2000年，第53-64页。
James A.Fill和Svante Janson，快速排序渐近，《算法杂志》，44（1）（2002），4-28。
史蒂文·芬奇，BST和DST的递归PGF，arXiv:2002.02809[cs.DS]，2020年；参见第1.4节。[他给出了s>=2的常数a_s=（-2）^s*a（s）。]
P.Hennequin等人，快速排序算法的组合分析《Informatique theéoretique et applications》，23（3）（1989），317-333。
M.E.霍夫曼和M.库巴，对数积分、zeta值和分层二项式系数，arXiv:1906.08347[math.CO]，2019-2020；见第5.2节。[他们研究了s>=2的常数a_s=（-2）^s*a（s）。]
米雷尔·雷格尼尔，快速排序的极限分布《信息技术与应用》，23（3）（1989），335-343。
乌韦·罗斯勒，快速排序的极限定理《信息技术与应用》，25（1）（1991），85-100。
Kok Hooi Tan和Petros Hadjicostas，快速排序中极限分布的密度和生成函数《技术报告#568》，卡内基梅隆大学统计系，宾夕法尼亚州匹兹堡，美国，1993年；见第10页。
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例子
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前几个分数A（n）是
1, 0, 7/4, 19/8, 937/144, 85981/3456, 21096517/172800, 7527245453/10368000, 19281922400989/3810240000, 7183745930973701/177811200000, ...
前几个分数（-2）^n*A（n）（在霍夫曼和库巴以及芬奇中为A_n）是
1, 0, 7, -19, 937/9, -85981/108, 21096517/2700, -7527245453/81000, 19281922400989/14883750, -7183745930973701/347287500, ...
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MAPLE公司
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#生成序列（B（n）：n>=0）
B:=proc（m）选项记住：局部v，g，f，B:
如果m=0，则v:=1:end如果：如果m=1，则v:0:end，如果：
如果2<=m，则
g:=proc（k）加（（-1）^a*B（k-a）/（a！*（k-a）*2^a），a=0。。k） ：结束进程：
f:=过程（r）加（斯特林1（r+1，i+1）*g（r-i），i=0。。r） ：结束进程：
b:=proc（p）（-1）^p*（添加（箍筋1（p+2，r+1）*b（p-r）/（p-r）！，r=1。。p） +添加（f（rr）*f（p-rr），rr=1。。p-1）+2*（-1）^p*p*添加（（-1）^a*B（p-a）/（a！*（p-a*2^a），a=1。。p） +2*添加（箍筋1（p+1，i+1）*g（p-i），i=1。。p） ）/（p-1）：结束进程：
v：=简化（b（m））：end if：v：结束过程：
#生成序列（A（n）：n>=0）
A:=proc（m）选项记住：local v：
如果m=0，则v:=1:end如果：如果m=1，则v:0:end，如果：
如果2<=m，则v:=-（m-1）*加（A（k+1）*B（m-1-k）/（k！*（m-1-k）！），k=0。。m-2）+B（m）：结束，如果：v:end进程：
#生成A（n）的分子序列
seq（数字（A（n）），n=0。。15);
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数学
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B[m_]：=B[m]=模[{v，g，f，B}，如果[m==0，v=1]；如果[m==1，v=0]；如果[2<=m，g[k_]：=总和[（-1）^a*B[k-a]/（a！*（k-a）*2^a），{a，0，k}]；f[r]：=总和[StirlingS1[r+1，i+1]*g[r-i]，{i，0，r}]；b[p_]：=（-1）^p*（Sum[StillingS1[p+2，r+1]*b[p-r]/（p-r）！，{r，1，p}]+总和[f[rr]*f[p-rr]，{rr，1，p-1}]+2*（-1）^p*p*总和[（-1）^a*B[p-a]/（a！*（p-a）*2^a），{a，1，p}]+2*总和[StirlingS1[p+1，i+1]*g[p-i]，{i，1，p}]）/（p-1）；v=简化[b[m]]]；v] ；
A[m_]：=A[m]=模[{v}，如果[m==0，v=1]；如果[m==1，v=0]；如果[2<=m，v=-（m-1）！*总和[A[k+1]*B[m-1-k]/（k！*（m-1-k）！），{k，0，m-2}]+B[m]]；v] ；
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A330860型
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| 出现在第n个累积量k（n）=（-1）^n*2^n*（A（n）-（n-1）公式中的有理数的分母*快速排序中比较数的极限分布的zeta（n）），对于n>=2，A（0）=1，A（1）=0。 |
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+10
9
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1, 1, 4, 8, 144, 3456, 172800, 10368000, 3810240000, 177811200000, 9957427200000, 75278149632000000, 1912817782149120000000, 53023308921173606400000000, 17742659631203112173568000000000, 426249654980023566857797632000000000, 9600207854287580784554747166720000000000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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Hennequin在1989年的论文中推测了他的累积量公式，并在1991年的论文中将其证明。
首先，他计算数（B（n）：n>=0），其中B（0）=1，B（0）=0，由递推式给出p>=0
和{r=0..p}箍筋1（p+2，r+1）*B（p-r）/（p-r和{r=0..p}F（r）*F（p-r）=0，其中F（r*2 ^a）。
则A（n）=L_n（B（1），。。。，B（n）），其中L_n（x_1，…，x_n）是Bell的对数多项式。
Hoffman和Kuba（2019年、2020年）给出了Hennequin累积量公式的另一种证明，并给出了常数（-2）^n*A（n）的另一个计算方法，它们用A_n表示。另见Finch（2020年）。
Maple程序A330852型基于Tan和Hadjicostas（1993），其中还列出了数字（A（n）：n>=0）。
有关快速排序中比较数的极限分布理论的参考文献列表（我们在此不讨论），请参阅序列的参考文献A330852.
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参考文献
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帕斯卡·亨尼金（Pascal Hennequin），《算法分析》（Analyse en moyenne d’algorithmes），《tri-radie et arbres de recherche》，博士论文，巴黎理工大学（1991），第83页。
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链接
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S.B.Ekhad和D.Zeilberger，快速分拣运行时间的详细分析，arXiv:1903.03708[math.PR]，2019年。[它们具有快速排序中比较数的前八个矩，从中可以导出Hennequin的前八种渐近累积量。]
史蒂文·芬奇，BST和DST的递归PGF，arXiv:2002.02809[cs.DS]，2020年；见第1.4节。[他给出了s>=2的常数a_s=（-2）^s*a（s）。]
P.Hennequin，快速排序算法的组合分析《Informatique theéoretique et applications》，23（3）（1989），317-333。
M.E.霍夫曼和M.库巴，对数积分、zeta值和分层二项式系数，arXiv:1906.08347[math.CO]，2019-2020；参见第5.2节。[他们研究了s>=2的常数a_s=（-2）^s*a（s）。]
Kok Hooi Tan和Petros Hadjicostas，快速排序中极限分布的密度和生成函数，美国宾夕法尼亚州匹兹堡卡内基梅隆大学统计系第568号技术报告，1993年；见第10页。
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例子
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前几个分数A（n）是
1, 0, 7/4, 19/8, 937/144, 85981/3456, 21096517/172800, 7527245453/10368000, 19281922400989/3810240000, 7183745930973701/177811200000, ...
前几个分数（-2）^n*A（n）（在霍夫曼和库巴以及芬奇中为A_n）是
1, 0, 7, -19, 937/9, -85981/108, 21096517/2700, -7527245453/81000, 19281922400989/14883750, -7183745930973701/347287500, ...
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MAPLE公司
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#生成A（n）的分母序列。
seq（denom（A（n）），n=0。。40);
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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