登录

OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

提示 （来自的问候整数序列在线百科全书!) A096620型 -3*n+2*（1+n）*谐波数（n）的分母。 19 1, 1, 1, 3, 6, 5, 10, 35, 140, 126, 1260, 1155, 13860, 12870, 12012, 45045, 360360, 340340, 2042040, 1939938, 369512, 117572, 2586584, 7436429, 178474296, 171609900, 1487285800, 1434168450, 40156716600, 38818159380, 1164544781400, 4512611027925, 2187932619600 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式) 抵消 0.4 评论 此外，初始项为0（实际上这是A093419号)，q_n=-4*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n）（Cameron）的分母。囊性纤维变性。A115107号. 按随机顺序快速排序n个项目的平均时间。 发件人Petros Hadjicostas公司2019年10月25日：（开始） 根据文献中使用的假设，通过快速排序对n个项目进行随机排序的平均数显示为-C*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n），其中C=2、3或4。例如，请参见，A115107号和A288964型上述公式也可能有其他变化。 假设X_n是对对称群S_n中的数字列表进行排序所需的随机比较数，而R_n是枢轴的秩。根据Havil（2003，第128-130页），我们得到X_n=n+X{R_n-1}+X{n-R_n}，因为选择枢轴需要1个比较时间单位，而n-1个比较需要将数据划分为两个数字列表（小于枢轴，大于枢轴）。无论我们如何选取轴心，我们都必须假设R_n与（X_1，…，X_n）联合独立。我们让X_0=0。 用E（.）表示期望，用E（.|.）表示条件期望，我们得到E（X_n）=Sum_{r=1..n}E（n+X_{r_n-1}+X_{n-r_n}|r_n=r）*P（r_n=r）=n+（1/n）*（E（X_{r-1}）+E（X_{n-r}））最后一步是假设r_n与（X_1，…，X_n）无关。这简化为E（X_n）=n+（2/n）*Sum_{r=0..n-1}E（X_r）。与Havil（2003）一样，通过求解递归，我们得到E（X_n）=fr_1（n）=-3*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。在这里A093418号（n） =分子（E（X_n））=分子（fr_1（n））和a（n）=分母（E（X_n））=分母（fr_1（n））。 注意E（X_n）*n！=（-3*n+2*（1+n）*谐波数（n））*n=A063090型（n） 并且根据该序列的文档，A063090型（n） /（n*n！）是“在随机插入n个节点的二进制搜索树中查找节点所需的平均比较次数”。见Knuth（1998年，第3卷，第430-431页，练习6，第454-455页）。 其他作者（例如，Cameron（1996））不将枢轴的选择视为比较时间。在这种情况下，如果我们让Y_n是快速排序用来对长度为n的随机列表进行排序的修改的比较数，我们得到修改的递归Y_n=n-1+Y_{R_n-1}+Y_}n-R_n}，从中我们得到E（Y_n）=n-1+（2/n）*Sum_{R=0..n-1}E（Y_R）。通过求解这个修正的递归，我们得到E（Y_n）=fr_2（n）=-4*n++2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。在这种情况下，A115107号（n） =分子（E（Y_n））=分子（-4*n+2*（1+n）*谐波数（n））和A288964型（n） =n！*E（Y_n）=n！*（-4*n+2*（1+n）*谐波数（n））。此外，a（n）=分母（E（Y_n））=分分母（fr_2（n））。 （结束） 参考文献 Peter J.Cameron，《组合数学：主题、技术和算法》，剑桥大学出版社，1996年；见第66-68页。 J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》。纽约：Springer-Verlag，1996年，第143和258-259页。 朱利安·哈维尔，《伽玛：探索欧拉常数》，普林斯顿大学出版社，2003年；见第128-130页。 D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第3卷，1998年；见第427-431页和第454-455页。 链接 G.C.格鲁贝尔，n=0..1000时的n，a（n）表 S.B.Ekhad和D.Zeilberger，快速分拣运行时间的详细分析，arXiv:1903.03708[数学.PR]，2019年。[它们具有n-1而不是n的递归性，从中可以得到平均比较次数的-4*n+2*（1+n）*HarmonicNumber（n）。] M.Kauers和P.Paule，混凝土四面体施普林格，2011年；见第4页。[他们同意卡梅隆的反复出现，即在A115107号和该序列中的分母。] 埃里克·魏斯坦的数学世界，快速排序他使用哈维尔递推法，该递推法按顺序产生分子A093418号和该序列中的分母。] 埃里克·魏斯坦的数学世界，谐波数. 维基百科，快速排序.[这篇文章使用了Cameron的递推公式，得出了A115107号和该序列中的分母。] 配方奶粉 a（n）=分母（2*（n+1）*谐波数（n+1）-1）-加里·德特利夫斯2011年9月14日 a（n）=分母（（H（n+1）+H（n））/（H（n+1）-H（n）-加里·德特利夫斯2011年10月3日 发件人Petros Hadjicostas公司2019年10月25日：（开始） 对于fr_1（n）=E（X_n）：-（X+2*log（1-X））/（1-X弗拉德塔·乔沃维奇2004年7月5日）。 对于fr_2（n）=E（Y_n）的G.f:-2*（x+log（1-x））/（1-x”^2（Cameron（1996），第68页）。（结束） 例子 由扩展Petros Hadjicostas公司2019年10月25日：（开始） fr_1（n）=0，1，3，17/3，53/6，62/5，163/10，717/35，3489/140，…=-3*n+2*（1+n）*谐波数（n）=A093418号（n） /a（n）=A288964型（n） /n！+n（Havil的复发，这与Knuth的复发有关——见上面的评论）。 fr_2（n）=0，0，1，8/3，29/6，37/5，103/10，472/35，2369/140，…=-4*n+2*（1+n）*谐波数（n）=A115107号（n） /a（n）=A288964型/n！（卡梅隆的复发，与考尔斯和保尔的复发一样——见上文评论）。 fr_1（n）和fr_2（n）都等于按随机顺序快速排序n个项目的平均时间，但假设略有不同。 （结束） 数学 分母[表[2*（n+1）*谐波数[n+1]-1，{n，0，50}]](*G.C.格鲁贝尔2018年9月1日*） 黄体脂酮素 （PARI）{h（n）=和（k=1，n，1/k）}； 对于（n=0，50，打印1（分母（2*（n+1）*h（n+1）-1），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2018年9月1日 （岩浆）[分母（2*（n+1）*谐波数（n+1//G.C.格鲁贝尔2018年9月1日 （Python） 从分数导入分数 从itertools导入计数，islice def agen（）：#术语生成器 Hn=分数（0，1） 对于计数（0）中的n： 产量（-3*n+2*（1+n）*Hn）分母 Hn+=分数（1，n+1） 打印（列表（islice（agen（），30））#迈克尔·布拉尼基2022年4月17日 交叉参考 囊性纤维变性。A063090型,A093418号（一组分子），A115107号（另一组分子），A288964型. 本质上与A093419号. 上下文中的序列：A295320型 A093419号 A160049型*A331124型 A299209型 A007479美元 相邻序列：A096617号 1966年6月18日 A096619号*A096621号 A096622号 A096623号 关键词 非n,压裂 作者 埃里克·韦斯特因2004年7月1日 扩展 偏移校正人加里·德特利夫斯2011年9月14日 状态 经核准的

查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间：2024年4月19日11:31 EDT。包含371792个序列。（在oeis4上运行。）